1、2016-2017 学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1若 =a+bi（a，bR ） ， i 是虚数单位，则乘积 ab 的值是（ ）A15 B3 C 3 D52已知集合 A=x|2x2x1 0，集合 B=x|y= ，则 AB=（ ）A （0，1） B （0，1 C （1，+） D1，+ ）3已知 mR， “函数 y=2x+m1 有零点”是“ 函数 y=logmx 在（0，+）上为减函数” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C
2、充要条件 D既不充分也不必要条件4在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2=（ab） 2+6，C= ，则ABC 的面积是（ ）A B C D35已知 sin（+ ）+sin= ， 0，则 cos（+ ）等于（ ）A B C D6已知向量 ， 满足| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 可以是（ ）A4 B3 C D27如图，ABC 的 AB 边长为 2，P ，Q 分别是 AC，BC 中点，记 + =m， + =n，则（ ）Am=2，n=4 Bm=3 ， n=1Cm=2 ，n=6 Dm=3n，但 m，n 的值不确定8数列a n满足 a1=1，且对任意
3、的 m，n N*都有 am+n=am+an+mn，则等于（ ）A B C D9已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足：当 x0 时，f（x）=xsinx，若不等式 f（4t ）f（2mt 2+m）对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ， 0） C （ ，0） （ ，+） D （， ）（，+）10若 a，b 是函数 f（x）=x 2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于（ ）A6 B7 C8 D911已知函数 f（x ）= 则 f（ ）+f（ ）+f（ ）=（
4、）A2017 B2016 C4034 D403212定义：如果函数 f（x）在 a，b上存在 x1，x 2（a x1x 2b）满足 f（x 1）=，f（x 2）= ，则称函数 f（x）是a，b上的“ 双中值函数”，已知函数 f（x）=2x 3x2+m 是0，2a上“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ，1）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13设 f（n）=2+2 4+27+210+23n+13（nN *） ，则 f（n）等于 14某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为 AB 的烟囱，测绘人员取与烟囱
5、底部 B在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得BCD=75，BDC=60 ，CD=40 米，并在点C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为 30，且 CE=1 米，则烟囱高 AB= 米15设| |=| |= ，若函数 f（x）=| +x |（xR）的最小值为 1，则 = 16对于函数 f（x）= |x3| x2+（3a）|x|+b 有六个不同的单调区间，则 a 的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设命题 p：函数 f（x）=lg（ax 2x+ ）的值域为 R；命题 q：3 x9xa 对一切实数 x 恒成立，如果命题“p
6、 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围18已知ABC 的面积 S 满足 2 S1，且 =2，ACB=（1）若 =（sin2A，cos2A ） ， =（cos2B，sin2B） ，求| +2 |的取值范围；（2）求函数 f（）=sin （+ ）4 sincos+cos（ ） 2 的最大值19已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的前 n 项和为 Tn，满足a1=b1，2a 2=b2，S 2+T2=13，2S 3=b3（）求数列a n、b n通项公式；（）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和为 Cn20设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，且 cos
7、C+ =1（1）求角 A 的大小；（2）若 a=1，求ABC 的周长 l 的取值范围21已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a1= ，a n+2SnSn1=0（n2） （1）判断 是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求 Sn 和 an；（3）求证： 22设 f（x）= ，g（x）=alnx（a0） （）求函数 F（x）=f （x）g（x）的极值；（）若函数 G（x）=f（x） g（x）+（a1）x 在区间 内有两个零点，求实数 a 的取值范围；（）求证：当 x0 时，lnx + 02016-2017 学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、
8、选择题（本大题共 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1若 =a+bi（a，bR ） ， i 是虚数单位，则乘积 ab 的值是（ ）A15 B3 C 3 D5【考点】复数相等的充要条件【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，把等式的左边化简到最简形式，再根据两个复数相等的充要条件，求出 a、b 的值【解答】解： =a+bi（a，b R） ，i 是虚数单位， =a+bi， =a+bi，1+3i=a+bi，a=1，b=3，ab=3，故选 C2已知集合 A=x|2x2x1 0，集合 B=x|y=
9、 ，则 AB=（ ）A （0，1） B （0，1 C （1，+） D1，+ ）【考点】交集及其运算【分析】化简集合 A、B，求出 AB 即可【解答】解：集合 A=x|2x2x10= x|（2x+1） （x 1）0=x| x1= ，1，集合 B=x|y= =x| =x| =（0，1）（1，+ ） ，AB=（0，1） 故选：A3已知 mR， “函数 y=2x+m1 有零点”是“ 函数 y=logmx 在（0，+）上为减函数” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数的性质求出 m 的等价条件，结合充分条件
10、和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数 y=f（x）=2 x+m1 有零点，则 f（0） =1+m1=m1，当 m0 时，函数 y=logmx 在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y=logmx 在（0，+）上为减函数，则 0m1，此时函数 y=2x+m1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y=2x+m1 有零点”是“函数 y=logmx 在（0，+）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B4在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2=（ab） 2+6，C= ，则ABC 的面积是（ ）A B C D3【考点】余弦定理【分析】将“c 2=（ab）
11、2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到 c2=a2+b22abcosC，比较两式，得到 ab 的值，计算其面积【解答】解：由题意得，c 2=a2+b22ab+6，又由余弦定理可知，c 2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，2ab +6=ab，即 ab=6S ABC = = 故选：C5已知 sin（+ ）+sin= ， 0，则 cos（+ ）等于（ ）A B C D【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】先将 sin（ ）用两角和正弦公式化开，然后与 sin 合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案【解答】解：sin（ ）+sin = sin+ +sin=
12、= sin（ ）=cos（+ ）=cos（ ）=sin （ ）=故选 D6已知向量 ， 满足| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 可以是（ ）A4 B3 C D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知展开 ，代入| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，即可求得 【解答】解：由已知向量量 ， 满足| |=2，| |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，得 = = ，即 ， 或 故选：D7如图，ABC 的 AB 边长为 2，P ，Q 分别是 AC，BC 中点，记 + =m， + =n，则（ ）Am=2，n=4 Bm=3 ， n=1Cm=2 ，n=6 Dm=3n，
13、但 m，n 的值不确定【考点】平面向量数量积的运算【分析】由于 P，Q 分别是 AC，BC 中点，可得 m= + = = ；由于 P，Q 分别是 AC，BC 中点，可得 ，代入 n= + = + 展开即可得出【解答】解：P，Q 分别是 AC，BC 中点，m= + = = = = =2；P，Q 分别是 AC，BC 中点， ， ，n= + = + = =6故选：C8数列a n满足 a1=1，且对任意的 m，n N*都有 am+n=am+an+mn，则等于（ ）A B C D【考点】数列的求和【分析】数列a n满足 a1=1，且对任意的 m，n N*都有 am+n=am+an+mn，可得an+1an
14、=1+n，利用“累加求和”可得 an，再利用“裂项求和” 即可得出【解答】解：数列a n满足 a1=1，且对任意的 m，n N*都有 am+n=am+an+mn，a n+1an=1+n，a n=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）+a 1=n+（n 1）+2+1= = 则 =2 + + =2 = 故选：A9已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足：当 x0 时，f（x）=xsinx，若不等式 f（4t ）f（2mt 2+m）对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ， 0） C （ ，0） （ ，+） D （， ）（，+）【考点】函数恒成立问题
15、【分析】根据函数的单调性问题转化为 2mt2+4t+m0，通过讨论 m 的范围，得到关于 m的不等式，求出 m 的范围即可【解答】解：由 f（x）=x sinx，可得 f（x）=1cosx0，故 f（x）在0，+）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（ x）在 R 上单调递增，由 f（ 4t）f（2mt 2+m） ，可得4t 2mt2+m，即 2mt2+4t+m0，当 m=0 时，不等式不恒成立；当 m0 时，根据条件可得 ，解之得 ，综上，m（， ） ，故选：A10若 a，b 是函数 f（x）=x 2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可
16、适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p，ab=q，再由 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 a，b 的方程组，求得 a，b 后得答案【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得 a0，b0，又 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得 或 解得： ；解得： p=a+b=5，q=14=4 ，则 p+q=9故选：D11已知函数 f（x ）= 则 f（ ）+f（ ）+f（ ）=（ ）A20
17、17 B2016 C4034 D4032【考点】函数的值【分析】根据函数的奇偶性求值即可【解答】解：f（x ）= = =2+ ，令 g（x+ ）= ，得 g（x+ ）是奇函数，f（ ）+f（ ）+f（ ）=22016=4032，故选：D12定义：如果函数 f（x）在 a，b上存在 x1，x 2（a x1x 2b）满足 f（x 1）=，f（x 2）= ，则称函数 f（x）是a，b上的“ 双中值函数”，已知函数 f（x）=2x 3x2+m 是0，2a上“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ，1）【考点】函数与方程的综合运用【分析】根据
18、定义得出 =8a22a，相当于 6x22x=8a22a 在0，2a上有两个根，利用二次函数的性质解出 a 的范围即可【解答】解：f（x）=2x 3x2+m 是0，2a上的“双中值函数” ， =8a22a，f （x）=6x 22x，6x 22x=8a22a 在0，2a上有两个根，令 g（x）=6x 22x8a2+2a，=4+24（8a 22a）0，g（0）0，g（2a）0，2a ， a 故选 A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13设 f（n）=2+2 4+27+210+23n+13（nN *） ，则 f（n）等于 （8 n+51） 【考点】数列的求和【分析】首先根据
19、题意分析出 f（n）是首项为 2，公比为 8 的等比数列的前 n+5 项和，然后由等比数列前 n 项和公式求之即可【解答】解：数列 2、2 4、2 7、2 10、2 3n+13 是首项为 2，公比为 23=8 的等比数列，所以 故答案是： （8 n+51） 14某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为 AB 的烟囱，测绘人员取与烟囱底部 B在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得BCD=75，BDC=60 ，CD=40 米，并在点C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为 30，且 CE=1 米，则烟囱高 AB= 1+20 米【考点】解三角形的实际应用【分析】先根据三角形的内角和求出CBD，
20、再根据正弦定理求得 BC，即可求得 AB【解答】解：CBD=180 BCDBDC=45 ，在CBD 中，根据正弦定理得 BC= =20 ，AB=1+tan30CB=1+20 （米） ，故答案为：1+20 15设| |=| |= ，若函数 f（x）=| +x |（xR）的最小值为 1，则 = 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积的模长公式将条件进行化简，利用构造法，转化为一元二次函数进行求解即可【解答】解：由于 ，函数 （xR ）的最小值为 1，则 ，即 的最小值为 1，令 ，设 g（x）=2x 2+2tx+2，当且仅当 时，g（x）取得最小值 ，因此 ，解得 ，所以 故答案为：1
21、6对于函数 f（x）= |x3| x2+（3a）|x|+b 有六个不同的单调区间，则 a 的取值范围为 （2，3） 【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由偶函数的定义，可知函数 f（x）是偶函数，从而易得 f（ 2） ，同时，若 f（x）有六个不同的单调区间，则由函数为偶函数，则只要证明函数在（0，+）上有三个单调区间即可即：f（x）=0 有两个不同的正根【解答】解：函数 f（x）= +（3 a）|x|+bf（ x）=f（x）f（x）是偶函数f（x）有六个不同的单调区间又因为函数为偶函数当 x0 时，有三个单调区间即：f（x）=x 2ax+3a=0 有两个不同的正根解得：2a3故答案为：（
22、2，3）三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设命题 p：函数 f（x）=lg（ax 2x+ ）的值域为 R；命题 q：3 x9xa 对一切实数 x 恒成立，如果命题“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解【解答】解：若函数 f（x）=lg（ax 2x+ ）的值域为 R，则当 a=0 时，f（x）=lg（x）的值域为 R 满足条件，若 a0，要使函数 f（x）的值域为 R，则 ，即 ，即 0a2，综上 0a2；若 3x9xa 对一
23、切实数 x 恒成立，则设 g（x）=3 x9x，则 g（x）=3 x（3 x） 2，=设 t=3x，则 t0，则函数等价为 y=tt2=（t ） 2+ ，即 a ，若“p 且 q”为真命题，则 ，即 a2则若“ p 且 q”为假命题，则 a2 或 a 18已知ABC 的面积 S 满足 2 S1，且 =2，ACB=（1）若 =（sin2A，cos2A ） ， =（cos2B，sin2B） ，求| +2 |的取值范围；（2）求函数 f（）=sin （+ ）4 sincos+cos（ ） 2 的最大值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的最值【分析】 （1）由已知数量积可得 abcos=2，代入
24、S= ，可得 tan2 ，1，从而求出 的范围，再由向量模的公式可得 |=54sin2，从而求得答案；（2）化简函数 f（）=sin （ + ）4 sincos+cos（ ） 2，令 t=sin+cos=，然后利用配方法求得函数 f（ ）的最大值【解答】解：（1）由 =2，得 ，又ACB= ，得 abcos=2，S= =tan2 ，1，而 （0，） ， ， =（sin2A ， cos2A） ， =（cos2B，sin2B） ， ， ， ， ，54sin21， 3，| +2 |1， ；（2）f（）=sin （+ ） 4 sincos+cos（ ）2=设 t=sin+cos= ， ， ，t ，y=
25、 = ，对称轴 t= ，当 t= 时 ymax=219已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的前 n 项和为 Tn，满足a1=b1，2a 2=b2，S 2+T2=13，2S 3=b3（）求数列a n、b n通项公式；（）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和为 Cn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】 （）设等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，由已知列式求得首项和等差数列的公差及等比数列的公比，则数列a n、b n通项公式可求；（）把数列a n、b n通项公式代入 cn= ，然后利用错位相减法求得数列c n的前 n项和为 Cn【解答】解：（）设
26、等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，则 ，解得 ，故 ；（）由（）得：c n= = ， ，两式相减得：= 20设ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，且 cosC+ =1（1）求角 A 的大小；（2）若 a=1，求ABC 的周长 l 的取值范围【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】 （I）利用正弦定理、和差化积即可得出；（II）利用正弦定理、和差化积、三角函数的单调性即可得出【解答】解：（）由已知得 cosC+ =1即 sinAcosC+ sinC=sinB，又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， sinC=cosAs
27、inCsinC0，cosA= 又A（0，） ， （）由正弦定理得 = sinB，c= sinC，l=a+b+c=1+ sinB+ sinC=1+ sinB+sin（A +B）=1+2 A= ，B ， ，sin 故ABC 的周长 l 的取值范围是（2，321已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a1= ，a n+2SnSn1=0（n2） （1）判断 是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求 Sn 和 an；（3）求证： 【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和；数列递推式【分析】 （1）当 n2 时，a n=SnSn1=2SnSn1，两边同除以 SnSn1，可得 ，从而可得
28、 为等差数列；（2）由（1）知 是以首项为 2，公差为 2 的等差数列，从而可得 Sn，利用an+2SnSn1=0（n2） ，可求 an；（3）利用 ，表示 S12+S22+Sn2，利用放缩法变为，从而利用裂项法求和，即可证得【解答】解：（1）S 1=a1= ，当 n2 时，a n=SnSn1=2SnSn1， 为等差数列，首项为 2，公差为 2（2）由（1）知 =2+（n 1）2=2n， 当 n2 时，a n= （3） = 22设 f（x）= ，g（x）=alnx（a0） （）求函数 F（x）=f （x）g（x）的极值；（）若函数 G（x）=f（x） g（x）+（a1）x 在区间 内有两个零点
29、，求实数 a 的取值范围；（）求证：当 x0 时，lnx + 0【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）求导数的变号零点，然后据此得到原函数的极大值或极小值点；（2）先利用导数研究函数的单调性、极值及最值的情况，然后结合数形结合思想构造出关于 a 的不等式（组）求解；（3）先将原不等式变形为两个函数比较大小的情形，然后转换为两个函数最值的比较问题，还是利用导数研究【解答】解：（1）F（x）=f（x）g（x）= =故 F（x）在 上递减，在 上递增，所以 为极小值点，所以 = ，无极大值（2） 所以 由 G（x）=0 得 x=1 或 x=a（舍去） 当 x（0，1）时，G（x）0，G（x）单调递减；x （ 1，+）时，G （x）0，G（x）单调递增要使 G（x）在 上有两个零点需满足： ，即 ，解得 下面比较 的大小因为 = 故 故 a 的范围是 （3）原不等式等价于 由（1）知 f（x）=x 2lnx 的最小值为 设 h（x）= ，则 因为 x0，所以 h（x）在（0，2）单调递增，在（2，+）单调递减h（x） max=h（2）= 又因为 所以 f（x） minh（x） min，故 所以 x0 时，lnx 2016 年 12 月 21 日
