1、衡阳市八中 2018 届高三第五次月考试题理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 P=0，1，M=x|x P，则集合 M 的子集个数为（ ） A.8 B.16 C.32 D.642.下列命题中，真命题是（ ）A.ac2bc 2是 ab 的充分不必要条件 B.xR，e x0C.若 ab，cd，则 a-cb-d D.xR，2 xx 23.若 展开式中第 32 项与第 72 项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为（ ）1()nxA. B C D.5102C5210352105
2、2104C4.已知双曲线 C:2xa- yb=1 的焦距为 10 ，点 P（2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为（ ）A. 20-8=1 B. 20- 5=1 C. 25x- 0y=1 D. 280x- y=15.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 （ ）寸 （注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）A.4 B.3 C. 2 D.16.定义某种运算 Sab，运算原理如下图所示，则130lgn)45ta( e的值为（ ）A.4 B.8
3、 C.13 D.15【来源：全,品中&高*考+网】 【来源：全,品中&高*考+网】7.奥运会期间，某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A. B. C. D. 12438CA1248CA12483CA1248C8.若函数 ，满足 ，则 的值为（ ）()sin)fx()()faxf()6faA B 0 C D32 1129.设 为等差数列，且 ，则数列 的前 13 项的和为na3710142,7aana13SA63 B109 C117 D21010.如右图，正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 1，线段
4、B1D1上有两个动点E，F， 且 EF= ，则下列结论中错误的个数是（ ）（1）ACBE；（2）若 P 为 AA1上的一点，则 P 到平面 BEF 的距离为 ；（3）三棱锥 ABEF 的体积为定值；（4）在空间与三条直线 DD1，AB，B 1C1都相交的直线有无数条A3 B2 C1 D011已知函数 ，则函数 ()yfx的零点个数是（ ）(0)()lnxfA4 B3 C2 D112.已知点 C 为线段 上一点， P为直线 AB外一点，PC 是 的平分线， I为 PC 上一点，满足APB)0(|(BI， ， ，则 的值为（ ）|4|0|BAA. 2 B. 3 C. 4 D.5第卷（共 90 分）
5、二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.函数 ， 的单调递减区间为 _3sin(2)4yx0,14. 已知数列 na的前 项和为 nS， 1a， *2()nSaN，则 na _15.已知 满足 ，则 的取值范围是_,xy23064xy16.下列说法：FB1A1D1 C1 BCD AE（1）命题“ ”的否定是“ ”；,20xR,20xR（2）关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是 ；22siniaa3a（3）对于函数 ，则有当 时， ，使得函数 ()(0)1|xf且 1(,)k在 上有三个零点；()gxfkR（4） 1201edx其中正确的个数是_三、解答题 （本大
6、题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知直线 与直线 是函数4x54x的图象的两条相邻的对称轴 ()sin)(0,)2fx（）求 的值； ,（）若 ， ，求 的值3(,)44(5fsin18.（本小题满分 12 分）如图，已知正方形 和矩形 所在ABCDEF的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点。2AB1FM（）求证 /平面 ； ME（）求二面角 的大小；D（）试在线段 上确定一点 ,使得 与 所成的角是 60.CPCD19.（本小题满分 12 分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒
7、温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为 ，乙组能使生物13成活的概率为 ，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.12（）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（）如果乙小组成功了 4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（）若甲乙两小组各进行 2 次试验，设试验成功的总次数为 ，求 的期望.20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 （ ）的离心率 ，过点 的直2:1xyCab0a63eR(1,0)线 与椭圆 交于 两点，且 .lC,PQRQ（）当直线 的倾斜角为 时，求三角形 的面积；l
8、06OP（）当三角形 的面积最大时，求椭圆 的方程O21 （本小题满分 12 分）已知函数 有且只有一个零点，其中 ()ln)fxax0a（）求 的值；a（）若对任意的 ，有 成立，求实数 的最大值；(0,)x2()fkk（）设 ，对任意 , 证明：不等式()hf1212,)(xx恒成立12122()x选做题：请考生在 22、23 中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修 4-4：坐标系与参数方程】22 （本小题满分 10 分）极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴x
9、oyox为极轴已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程l tC为 2sin8cos（）求曲线 的直角坐标方程；C（）设直线 与曲线 交于 两点，求弦长 l,AB|AB【选修 4-5：不等式选讲】23 （本小题满分 10 分）对于任意的实数 和 ，不等式 恒成立，记实数(0)ab|abMa的最大值是 Mm（）求 的值；（）解不等式 |1|2|x衡阳市八中 2018 届高三第五次月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A A B B C D B C D D B二 填空题
10、（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16答案 ,812n17,3三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）已知直线 与直线 是函数4x54x的图象的两条相邻的对称轴 ()sin)(0,)2fx（）求 的值； ,（）若 ， ，求 的值3(,)44(5fsin解：（）因为直线 、 是函数 f（x）=sin（x+）图象的两条相邻的对称轴， 所以，函数的最小正周期 T=2 =2，从而 ， 因为函数 f（x）关于直线 对称 所以 ，即 （5 分） 又因为 ， 所以 （6 分） （）由（1） ，得 由题意， （7
11、分） 由 ，得 从而 （8 分） ，（10 分） = （12 分）18.（本小题满分 12 分）如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 互相垂直，AB= ，AF=1，M 是线段 EF 的中点。2（）求证 AM/平面 BDE； （）求二面角 ADFB 的大小；（）试在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF 与 CD 所成的角是 60.解 ()记 AC 与 BD 的交点为 N,连接 NE, N.M 分别是 AC.EF 的中点，ACEF 是矩形，四边形 ANEM 是平行四边形， AMNE。 NE平面 BDE， AM平面 BDE， AM平面BDE。（） 建立如图所示的空间直角坐标系。
12、则是 N .E（0,0,1）, NE= ,2,02(,1)AFAB，ABAD，且 =AAFDAB平面 ADF。 (2,0)AB为平面 DAF 的法向量。又 NED= =0,1)(2,0) F= ,=0 NE为平面 BDF 的法向量。 2(,)cos=1与 NE的夹角是 60。即所求二面角 ADFB 的大小是 60。（）设 P(t,t,0) (0t )得 (2,1)PFtCD=（ 2，0，0）2又PF 和 CD 所成的角是 60 )()(60cos22tt解得 t= 或 t= （舍去） ，即点 P 是 AC 的中点。2319.（本小题满分 12 分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物
13、小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为 ，乙组能使生物13zx yNMFE BCD A成活的概率为 ，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.12（）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（）如果乙小组成功了 4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（）若甲乙两小组各进行 2 次试验，设试验成功的总次数为 ，求 的期望故 的分布列为0 1 2 3 4P 93616故 12 分5146312910E20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 （ ）的离心率 ，过点
14、 的直线2:1xyCab0a63eR(1,0)与椭圆 交于 两点，且 .lC,PQ2RQ（）当直线 的倾斜角为 时，求三角形 的面积；l06OP（）当三角形 的面积最大时，求椭圆 的方程OC解: 由 得 ，所以 -2 分63e2ab22:3xyb设 ，则由 ， ，得 -3 分12(,)(,)PxyQPRQur(1,0)1230xy由 知直线 斜率存在设为 ,得直线 的方程 ，代入 得Rurlkl(1)kx22:3Cxyb，由 知 ，且 解得 ，222(31)630kxkb2PRur021613kx2123kx-6 分-8 分121231OPQkkSRyxV（1） 代入得 -10 分3k30OP
15、QSV（2） （ 时）012123312kkyxk时三角形 的面积最大，把 代入得 213,kP23k253b2a于是椭圆 的方程为 -12 分C215xy21 （本小题满分 12 分）已知函数 有且只有一个零点，其中 ()ln)fxax0a（）求 的值；a（）若对任意的 ，有 成立，求实数 的最大值；(0,)x2()fxkk（）设 ，对任意 , 证明：不等式()hf1212,)(x恒成立12122()xx解：（）f（x）的定义域为（a，+） ， 由 f（x）=0，得 x=1aa当ax1a 时，f（x）0；当 x1a 时，f（x）0，f（x）在区间（a，1a上是增函数，在区间1a，+）上是减函
16、数，f（x）在 x=1a 处取得最大值由题意知 f（1a）=1+a=0，解得 a=1（）由（）知 f（x）=ln（x+1）x，当 k0 时，取 x=1 得，f（1）=ln210，知 k0 不合题意当 k0 时，设 g（x）=f（x）kx 2=ln（x+1）xkx 2则 / (1)()kx令 g/（x）=0，得 x1=0， 若 0，即 k 时，g（x）0 在 x（0，+）上恒成立，g（x）在0，+）上是增函数，从而总有 g（x）g（0）=0，即 f（x）kx 2在0，+）上恒成立若 ，即 时，对于 ，g（x）0，g（x）在 上单调递减于是，当取 时，g（x 0）g（0）=0，即 f（x 0） 不
17、成立故 不合题意综上，k 的最大值为 （） 由 h（x）=f（x）+x=ln（x+1） 不妨设 x1x 21，则要证明 ，只需证明 ，即证 ，即证 设 ，则只需证明 ，化简得 设 ，则 ，2/(1)0t（t）在（1，+）上单调递增，（t）（1）=0即 ，得证故原不等式恒成立选做题：请考生在 22、23 中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修 4-4：坐标系与参数方程】22 （本小题满分 10 分）极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2=8cos（I）求 C 的直角坐标方程；（）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|解：（I）由曲线 C 的极坐标方程为 sin 2=8cos，即 2sin2=8cos，化为 y2=8x（II）把直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入 y2=8x 化为 3t216t64=0解得 t1=8，t 2= 弦长|AB|=|t 1t 2|= = 【选修 4-5：不等式选讲】23 （本小题满分 10 分）对于任意的实数 和 ，不等式 恒成立，记实数(0)ab|abMa的最大值是 Mm
