1、金融工程复习题一、名词解释1. 绝对定价法和相对定价法绝对定价法：根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。相对定价法：利用标的资产价格与衍生证券价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生证券价格。2. 风险中性定价原理定价衍生证券时，假设所有投资者对于标的资产所蕴含的价格风险的态度都是中性的，既不偏好也不厌恶。此条件下，所有证券的预期收益率都等于无风险利率，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流都应使用无风险利率进行贴现求得现值。3. 最小方差优套期保值比率指套期保值的目标是使
2、得整个套期保值组合收益的波动最小化的套期保值比率，具体体现为套期保值收益的方差最小化。4. 远期利率协议远期利率协议是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始，在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以特定货币表示的名义本金的协议。5. 利率互换和货币互换利率互换：双方同意在未来一定期限内根据同种货币的相同名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据事先选定的某一浮动利率计算，而另一方根据固定利率计算。货币互换：在未来约定期限内将一种货币的本金和固定利息与另一方货币的等价本金和固定利息交换。6. 期权内在价值与时间价值内在价值：是 0 与多方行使期权时所获收益贴现值的较大值。时间价值：在期权尚未到
3、期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益可能性所隐含的价值。二、问答题 1. 无套利定价的主要特征是什么？ 第一，套利活动在无风险的状态下进行，也就是，最差的情况下套利者的最终损益为零，而不会为负。第二，无套利的关键技术是所谓的复制技术，即用一组证券来复制另外一组证券。复制技术的要点是使复制组合的现金流特征，与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头与被复制组合的空头相互之间应该完全实现头寸对冲。第三，无风险的套利活动从初始现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也不需要任何维持资本（需要以金融市场的无限制卖空为前提） 。2. 远期价格与期货价格有什么关系
4、？ 二者十分相似，都是理论交割价格，唯一的区别是远期和期货合约交易机制的不同：远期合约在签订之后不再变化直至到期交割清算，而期货合约则每日盯市结算结清浮动盈亏。具体来讲，当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。远期和期货的价格差异幅度还取决于合约有效期的长短。此外，税收，交易费用，保证金的处理方式，违约风险流动性等等因素的差异也会导致远期价格和期货价格差异。3. 如何证明无收益资产的现货-远期平价定理？远期价格 F 是使远期合约价值 f 为
5、零的交割价格 K，则有： F=SerTt假设 K ，即交易对手报出的交割价格大于现货价格的终值。此时套利者可以按无风险利率 rSerTt借入 S 现金，期限为 T-t。然后用 S 购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在 T 时刻，该套利者可将一单位标的资产交割换得 K 现金，并归还借款本息 ，从而实现 K- SerTt的无风险利润。ert若 KX，则执行看涨期权，组合 A 的价值为 ST；若 STX，则不执行看涨期权，组合 A 的价值为 X。因此，在 T 时刻，组合 A 的价值为：max(ST, X)而在 T 时刻，组合 B 的价值为 ST。由于 max(ST, X
6、)ST，因此，在 t 时刻组合 A 的价值也应大于等于组合 B，即：c + S，cST ()rTte()rTte由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：c max(S , 0)()rTtXe2.2 看跌期权价格的下限无收益情形考虑如下两个组合：组合 C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合 D：金额为 的现金()rTtXe在 T 时刻，如果 ST X，期权将不被执行，组合 C 价值为 ST，即在组合 C 的价值为：max (ST, X)假定组合 D 的现金以无风险利率投资，则在 T 时刻组合 D 的价值为 X。由于组合 C 的价值在 T 时刻大于等于组合 D，因此组合
7、C 的价值在 t 时刻也应大于等于组合 D，即： p + S pS()rte()rte由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：p max( S, 0)()rTte11. 欧式看涨期权与看跌期权的平价关系如何确定？1,无收益资产欧式看涨期权与看跌期权考虑以下两个组合：组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为执行价格现值的现金组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为 max(ST, X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻 t 必须具有相等的价值，即：这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（P
8、arity） 。它表明欧式看涨期权的价值可根据同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。如果公式不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使公式成立。根据以上平价公式，我们可以得到我们可以用金融工程的眼光来看待这个公式，它表示看涨期权等价于借钱买入股票，并买入一个看跌期权来提供保险。和直接购买股票相比，看涨期权多头有两个优点：保险和可以利用杠杆效应。 2 有收益资产欧式看涨期权与看跌期权在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合 A 中的现金改为收益的现值与执行价格现值之和，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：根据上式我们可以得到：也就是说在其它条件
9、相同的情况下，如果红利的现值增加，有收益资产的欧式看涨期权的价值会下跌。 12. 布莱克-舒尔斯-默顿偏微分方程如何推导？三、计算题 1. 假设一个无红利支付的股票，当前时刻 t 股票价格为 S，基于该股票的看涨期权的有效期是 T，在这个有效期内，股票价格或者上升到 Su，或者下降到 Sd。当股票价格上升到 Su 时，期权的收益为 fu，如果股票的价格下降到 Sd 时，期权的收益为 fd。 试用无套利方法确定该股票期权在当前时刻 t 的价值 f。解：首先，构造一个由 股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，假设无风险利率为 r。()Sut=0 drTtSufefS由 于 没 有 套 利 机 会
10、 ，上 涨 到 时 ， 贴 现 到 时 刻 的 总 收 益 下 降 到 时 ， 贴 现 到 时 刻 的 总 收 益 所以， f()()-rTtrTtfefudSfuS把 带 入 得 ：P62,1.假设一种无红利支付 的股票目前市价 20 元，无风险连续复利年利率为 10%，求该股票三个月远期价格。如果三个月后该股票市价为 15 元，求这份交易数量为 100 单位的远期合约多头方的价值。答：F Ser(Tt) 20 e0.1 0.25 20.51，三个月后，对于多头( 将来买入资产) 来说，该远期合约的价值为(1520.51) 100551。2.假设一种无红利支付 的股票目前市价 20 元，无风
11、险连续复利年利率为 10%，目前市场上该股票三个月远期价格为 23 元，请问应如何进行套利？答：F Ser(Tt) 20 e0.1 0.2520.523，在这种情况下，套利者可以按无风险利率 10%借入现金 X 元三个月，用以购买 X/20 单位的股票，同时卖出相应份数该股票的远期合约，交割价格为 23 元。三个月后，该套利pectr)( ()rTtcSXe SpXeDctTr)()rTtcpSXe者以 X/20 单位的股票交割远期，得到 23X/20 元，并归还借款本息 Xe0.1 0.25 元，从而实现(23X/20) Xe0.1 .250 元的无风险利润。4.某股票预计在 2 个月和 5
12、 个月后每股分别派发 1 元股息，该股票目前市价等于 30 元，所有期限的无风险连续复利年利率均为 6%，某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期合约空头，交易单位为 100。请问：该远期价格等于多少？3 个月后，该股票价格涨到 35 元，无风险利率仍为 6%，此时远期合约空头价值等于多少？答：2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值e 0.062/12+e0.065/121.97 元。远期价格 (30 1.97)e0.060.528.88 元。若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值为 0。在 3 个月后的这个时点，2 个月后派发的 1 元股息的现值= e 0.062/12=0.99
13、 元。远期价格(35 0.99)e0.063/1234.52 元。此时空头远期合约价值100(28.88 34.52)e0.063/12 556 元。P. 130，1.假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付 6 个月期的 LIBOR，同时收取 8%的年利率（半年计一次复利） ，名义本金为 1 亿美元。互换还有 1.25 年的期限。3 个月，9 个月和 15 个月的LIBOR（连续复利率）分别为 10%，10.5%和 11%。上一次利息支付日的 6 个月 LIBOR 为 10.2%（半年计一次复利） 。试分别运用债券组合和 FRA 组合计算此笔利率互换对金融机构的价值。答： （1）运用债券
14、组合：从题目中可知 万， 万，因此，得 $40k*$510k 1*B()innrtrtfixtflkeA亿美元0.1250.1750.1254$.984fixBe亿美元.fle所以此笔利率互换对该金融机构的价值为 98.4102.5427 万美元（金融机构要支付 427）（2）运用 FRA 组合：3 个月后的那笔交换对金融机构的价值是 0.1250.51.87e万 美 元由于 3 个月到 9 个月的远期利率为727.10.75的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 = 0.110440.15/2e所以 9 个月后那笔现金流交换的价值为 0.1570.5.844万 美 元同理可计算得从现在开始
15、 9 个月到 15 个月的远期利率为 11.75%，对应的每半年计一次复利的利率为12.102%。所以 15 个月后那笔现金流交换的价值为 0.1250.51.879e万 美 元所以此笔利率互换对该金融机构的价值为 7497万 美 元3假设美元和日元的 LIBOR 的期限结构是平的，在日本是 4%而在美国是 9%（均为连续复利率） 。某一金融机构在一笔货币互换中，每年收入日元，利率 5%，同时付出美元，利率 8%。两种货币的本金分别为 1000 万美元和 120000 万日元。这笔互换还有 3 年期限，每年交换一次利息，即期汇率为 1 美元=110 日元。是分别运用债券组合和远期外汇组合计算此
16、笔货币互换对该金融机构的价值。（1）运用债券组合：如果以美元为本币，那么 万美元0.910.920.938864.DBee万日元.4.4.6125F ，所以此笔货币互换对该金融机构的价值为 0V=SFDB互 换 .万 美 元（2）运用远期外汇组合：即期汇率为 1 美元110 日元，或者是 1 日元0.009091 美元。因为美元和日元的年利差为 5，根据 ，)(tTrfSe一年期、两年期和三年期的远期汇率分别为 0.51.997.24053.e6与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为 0.9186万 美 元.2.47万 美 元0.930.15.6e万 美 元与最终的本金交换等价的远期合约的价
17、值为.2214万 美 元因为该金融机构收入日元付出美元，所以此笔货币互换对该金融机构的价值为万美元201.46.741.695.P. 140，1.假设 A，B 公司都想借入 1 年期的 100 万美元借款，A 想借入与 6 个月期相关的浮动利率借款，B 想借入固定利率借款。两家公司信用等级不同，故市场向他们提供的利率也不同（如表所示） ，请简要说明两公司应如何运用利率互换进行信用套利。两公司的借贷成本A B借入固定利率 10.8% 12.0%借入浮动利率 LIBOR+0.25% LIBOR+0.75%答：从表中可以看出，A 公司的借款利率均比 B 公司低；但是在固定利率市场上 A 比 B 低
18、1.2%，在浮动利率市场上 A 仅比 B 低 0.5%。因此 A 公司在两个市场上均具有绝对优势，但 A 在固定利率市场上具有比较优势，B 在浮动利率市场上具有比较优势。 所以，A 可以在其具有比较优势的固定利率市场上以 10.8%的固定利率借入 100 万美元，B 在其具有比较优势的浮动利率市场上以 LIBOR+0.75%的浮动利率借入 100万美元，然后运用利率互换进行信用套利以达到降低筹资成本的目的。由于本金相同，双方不必交换本金，只交换利息现金流，即 A 向 B 支付浮动利息，B 向 A 支付固定利息。（双方享有的互换利益为（LIBOR+12.15%）- （LIBOR+11.55%）=0.7%。假设双方平均分配，即各方筹资成本下降 0.35%。A 支付 LIBOR-0.1%实质上融入浮动利率贷款，B 支付 11.65%实质上融入固定利率贷款。通过计算，双方交换现金流时，每半年 A 向 B 支付按 LIBOR 计算的利息，B 向 A 支付 10.9%计算的利息。）
