1、2018 届河北省邢台市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 的元素的个数为（ ）A=xN|2x5 B=x|(x2)(x7)0 ABA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】集合 ， A=xN|2x5=xN|x52 B=x|(x-2)(x-7)0=x|2x7元素个数为 5 个。AB=3,4,5,6,7故答案为：C。2. 设 是两个互相垂直的单位向量， 则 （ ）a,bA. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】 是两个互
2、相垂直的单位向量，则 ， .|a|=|b|=1.(a+b)(a-4b)=a2-3ab-4b2=1-4=-3故选 A.3. 设复数满足 ，则复数的实部为 （ ）A. -2 B. 2 C. -1 D. 1【答案】A【解析】由 ，得 .所以 ， , 实部为-2.故选 A.4. 若双曲线 的焦点都在直线 的下方，则 的离心率的取值范围为（ ）C:y2x2b2=1(b0) x+2y4=0 CA. B. C. D. (4,+) (1,4) (2,+) (1,2)【答案】D【解析】根据题意得到 ， 焦点都在直线 的下方，即焦点坐标满足x+2y-4=0,代入得到 x+2y-4sinAsinC中最大角的余弦值为
3、 p4:ABC18那么，下列命题中为真命题的是 （ ）A. B. p3p4C. D. p1p2 (p2)(p4)【答案】B【解析】 ；根据正弦定理得到 这是不对的，故是假命题；则 是真命题。p1:2sinCsinB11,输出 S=15.故答案为：C。7. 设 满足约束条件 ，且目标函数 的最大值为 16，则 （ ）x,y a=A. 10 B. 8 C. 6 D. 4【答案】A【解析】根据题意画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数化为 ，当目标函数过点y=2x+z时，有最大值 16 ，此时 故答案为：A。8. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正
4、方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. 或 6C. D. 或【答案】D【解析】根据三视图得到原图是左侧为三棱柱，右边可能是一个三棱锥，也可能是四棱锥，分这两种情况；当右边是三棱锥时，体积为 当右边是四棱锥时，体积为 V=4+13222=203故得到体积为 或 。故答案为：D。点睛：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上9. 已知函数 的最小值为
5、 8，则（ ）f(x)=a+log2(x22x+a)A. B. C. D. a(4,5) a(5,6) a(6,7) a(7,8)【答案】B【解析】因为 在 上单调递减，在 上单调递减，所以 .(1,+)设 ，易知此函数为增函数，且 ，所以 .g(x)=x+log2(x-1) g(5)=78 a(5,6)故选 B.10. 若在区间 上，函数 的图像总在函数 的图像的上方， 则 的最大值为（ (n,m) f(x)=2cos2x mn）A. B. C. D. 76 43 53【答案】D【解析】根据题意条件函数 的图像总在函数 的图像的上方可以转化为f(x)=2cos2x g(x)=-7-43sin
6、x根据二倍角公式化简为画出图像可得 sinx(32,1 x(3,43,mn=53故答案为：D。11. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为 ，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的 4 倍，则此圆柱的高是其底面半径的（ ）A. 倍 B. 2 倍 C. 倍 D. 3 倍2【答案】B【解析】设圆柱的高为 ，底面半径为，圆柱的外接球的半径为 ，则 .h R R2=(h2)2+r2因为圆锥的母线与底面所成角为 ，所以圆锥的高为 ，母线长 .60 l=2r所以圆锥的侧面积为 ，lr=2r2所以 ,所以 ，所以 ，所以 .4R2=4(h2)2+r2=42r2 (h2)2+r2=
7、2r2 hr=2故选 B.12. 过圆 的圆心 的直线与抛物线 相交于 两点，且 ，则点 到圆 上任P:(x+1)2+y2=79 A,B PB=3PA A P意一点的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 . .A(x1,y1),B(x2,y2)P(-1,0)因为 ，所以 .又 ,得 .x1=13则 .故所求最大值为 .故选 D.点睛：圆上的点到定点的距离最值问题可以转为圆心到定点的距离：圆心到直线的距离加半径为圆上的点到圆上点的最大值；圆心到直线的距离减半径为圆上的点到圆上点的最大值.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横
8、线上13. 若 ，且为钝角，则 _tan(4)=【答案】-5【解析】 ，则 sin2=413tan=23tan(4)=tan1tan+1=23123+1=5.故答案为：-5.14. 某超市经营的某种包装优质东北大米的质量 （单位： ）服从正态分布 ，任意选取一袋这种大米，质量在 的概率为_ （附：若 ，则 ，24.825.4kg P(-Z+)=0.6826）P(-2Z+2)=0.9544【答案】0.8185【解析】因为 ，所以 .所以 .P(24.8Z25.4)=P(-X+2)=12(0.6826+0.9544)=0.3413+0.4772=0.818515. 设 的展开式中的常数项为 -16
9、，则 _(21x)4【答案】-1【解析】 的展开式中的常数项为 .(2-1x)4 16-aC1423(-1)=16+32a=-16所以 .a=-1故答案为：-1.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.16. 若函数 恰有 2 个零点，则的取值范围为_【答案】 (2,1(0,13【解析】原问题等价于函数 与函数 恰有 个零点，y=a 2当 时， ，则函数在区间 上单调递减，在区间
10、上单调递增，且：x0 g(x)=3x23=3(x21) (1,+)；当 时，分类讨论：x0若 ，则 ，x1 g(x)=22(x1)1=2x+31若 ，则 ，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得的取值范围为 .(-2,-1(0,13点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必需作答，第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17. 设
11、为数列 的前 项和 ，且 Sn an a2n+(n2n)ann2n=0（1）若 ，判断数列 的单调性 ；Snan（2）若 ，求数列 的前 项和 1(n+1)an n Tn【答案】 （1）数列 单调递增 .（2）Snan【解析】试题分析：（1）由条件得 ，得 ，进而得 ，可得数列单增；(an+n)(an-2n)=0 an=2n Snan=2-21-n（2）由 ，可以利用裂项相消法求和.1(n+1)an=- 1n(n+1)=-(1n- 1n+1)试题解析：（1） ， ， ， . .于是 ，an=2n Sn=2n+1-2 Snan=2n+1-22n =2-21-n故数列 单调递增 .Snan（2）
12、， ， ，1(n+1)an=- 1n(n+1)=-(1n- 1n+1) .18. 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点， 为棱 上一点， 且ABCDA1B1C1D1 F,G CC1,AA1 AB平面 GM/ B1EF（1）证明： 为 的中点；E AB（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值B1EF【答案】 （1）见解析（2）4242【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ，利用 ， 证得四边形 为平行四N AN ANB1E B1NAE边形，则 ，所以 为 的中点；AE=B1N E AB（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .不妨令正方体的棱长为 2，利用两个面的D-xyz
13、法向量求解即可.试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以N AN M G，因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，GMAN B1EF GM ABB1A1 ABB1A1 GMB1E即 ，又 ，所以四边形 为平行四边形，则 ，所以 为 的中点.ANB1E B1NAE AE=B1N E AB（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .不妨令正方体的棱长为 2，则D D-xyz，可得 ， ，设 是平面 的法向B1(2,2,2),E(2,1,0),F(0,2,1),A1(2,0,2) EF=(-2,1,1) m=(x,y,z) B1E
14、F量，则 .令 ，得 .mB1E=-y-2z=0mEF=-2x+y+z=0 z=2 m=(-1,-4,2)易得平面 的一个法向量为 ，ABC1D1所以 .cosm,n=mn|m|n|= 22221=4242故所求锐二面角的余弦值为 .424219. 某鲜奶店每天以每瓶 3 元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶 7 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理（1）若鲜奶店一天购进 30 瓶鲜牛奶，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：瓶，）的函数解析式；（2）鲜奶店记录了 100 天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶） ，绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为 25瓶时，频数为
15、5）：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（）若该鲜奶店一天购进 30 瓶鲜奶， 表示当天的利润（单位：元） ，求 的分布列及数学期望；（）若该鲜奶店计划一天购进 29 瓶或 30 瓶鲜牛奶，你认为应购进 29 瓶还是 30 瓶？请说明理由【答案】 （1） （2）（） 元（）应购进 30 瓶.E(X)=111.95【解析】试题分析：（1）讨论 和 时两种情况即可；n30n29（2） （） 的可能取值为 85，92，99，106，113，120，分别求得概率，即可得分布列，利用期望公式可得期望值；（）（）购进 29 瓶时，计算当天利润的数学期望，与 比较大小下结论即可.111
16、.95试题解析：（1）当 时， ；n30 y=30(7-3)=120当 时， .故 .n29 y=7n-90(n29)120(n30) (nN)（2）（） 的可能取值为 85，92，99，106，113，120，X， ， ， ，P(X=85)=0.05P(X=92)=0.1P(X=99)=0.1P(X=106)=0.05， .P(X=113)=0.1P(X=120)=0.6的分布列为X元.E(X)=(85+106)0.05+(92+99+113)0.1+1200.6=111.95（）购进 29 瓶时，当天利润的数学期望为t =(254-43)0.05+(264-33)0.1+(274-23)0
17、.1+(284-13)0.05+2940.7=110.75，因为 ，所以应购进 30 瓶.20. 已知椭圆 的焦距与椭圆 的短轴长相等，且 与 的长轴长相等，这两W个椭圆在第一象限的交点为 ，直线与直线 （ 为坐标原点）垂直，且与 交于 两点A O W M,N（1）求 的方程；W（2）求 的面积的最大值MON【答案】 （1） （2）y24+x23=1 3【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，即可得方程；a2=4a2-b2=1 （2）联立 ， ，又 在第一象限，得 ，可设的方程为 ，联立y2x2=19 A kOA=yx=13 y=-3x+m得 ，设 ，分别计算 和 到直线的距离为 得31x2-1
18、8mx+3m2-12=0 M(x1,y1),N(x2,y2) |MN| d的面积 进而得解.MON试题解析：（1）由题意可得 ， ，故 的方程为 .a2=4a2-b2=1 a2=4b2=3 W y24+x23=1（2）联立 ，得 ， ，又 在第一象限， .x2=3613y2=413 y2x2=19 A kOA=yx=13故可设的方程为 .y=-3x+m联立 ，得 ，31x2-18mx+3m2-12=0设 ，则 ， ，M(x1,y1),N(x2,y2) x1x2=3m2-1231 ，|MN|= 1+(-3)2 (x1+x2)2-4x1x2= 104331-m231又 到直线的距离为 ，则 的面积 ，O d=|m|10 MON S=12d|MN|=23|m| 31-m231
