1、邢台市 20182019 学年高三上学期一轮摸底考试数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则A=x|90)A. B. C. D. 3 2333 233【答案】D【解析】【分析】由双曲线方程求得 ，根据离心率和 列方程组，解方程组求得 的值，由此得到b c2=a2+b2 a,c实轴 的值.2a【详解】双曲线方程知 ，由离心率得 ，结合 ，解得 ，故实b=1ca=2 c2=a2+b2 a=33,c=233轴长 .故选 D.2a=233【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，包括离心率、实
2、轴等知识，考查了方程的思想.在题目给定的条件中，双曲线的方程是未知， 给定；离心率的值给定，相当于给定的b值；再结合双曲线中固有的条件 ，相当于两个未知数 ，两个方程以及c2=a2+b2 a,c，解方程可求得 的值.值得注意的是，实轴长是 而不是.c2=a2+b2 a,c 2a6.函数 的图像大致为f(x)=x3xx2+1A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】由于 ，故函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除 A,C 两个f(x)=x3+xx2+1=f(x)选项. ，通过观察图像可知，D 选项中 时，函数
3、值小于 ，故排除 D 选项.f(12)=31012 x=12 12综上所述，本题选 B.【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式，选择正确的函数图像.此类问题主要的解决方法是根据函数的奇偶性、单调性等等去判断，特殊点的方法也是常用的手段.属于基础题.7.若 ， 满足约束条件 则 的最小值为x y x0,2y3,xy4, yxA. B. C. 0 D. 37 13 25【答案】B【解析】【分析】画出可行域，目标函数表示的是可行域内的点和原点连线的斜率，结合图像可求得这个最小的斜率.【详解】画出可行域如下图所示，目标函数表示的是可行域内的点和原点连线的斜率，由图可知，过点 时，斜率取得最小值为 ，故
4、选 B.A(6,2)26=13【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，目标函数是斜率型，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.下列函数满足 的是f(log32)=f(log23)A. B. C. D. f(x)=2x+2x f(x)=x2+2x f(x)=x2+1x f(x)=x1x+1【答案】C【解析】【分析】根据对数的换底公式可知，题目要找的是满足 的函数，将 代入选项中的函数进行f(x)=f(1x) 1x验证，从而得出正确选项.【详解】由于 ，故问题等价于满足 的函数.对于 A 选项，log32=1log23 f(x)=f(1x)，不符合题意.对于 B 选项， ，不符合题意.对于 C
5、 选项，f(1x)=21x+21xf(x) f(1x)=1x2+2xf(x)，符合题意.对于 D 选项， ，不符合题意.故f(x)=x+1x,f(1x)=1x+x=f(x) f(1x)=1x11x+1=1x1+xf(x)选 C.【点睛】本小题主要考查函数的定义，考查函数的对应法则，还考查了对数换底公式相关的公式： ，属于基础题.logab=1logba9.函数 在 上的最小值为f(x)=exx23 2,+)A. B. C. D. e36 e2 e34 2e【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，由此得到函数在区间 上的单调性，并求出极值和最值.2,+)【详解】依题意 ，故函数在区间 上单调递减
6、，f(x)= ex(x23)2(x22x3)= ex(x23)2(x3)(x+1) (2,3)在区间 上单调递增，故函数在 处取得极小值也即是最小值，且最小值为(3,+) x=3.故选 A.f(3)=e3323=e36【点睛】本小题考查函数最小值的求法，考查利用导数求函数的最值的方法.属于基础题.求函数的最值可以考虑以下几个方面：如果函数是二次函数，则可利用配方法求得函数的最值.如果函数是单调的函数，可利用单调性求得最值.如果函数符合基本不等式应用的条件，则可利用基本不等式来求得最值.还有一种方法就是利用函数的导数来求得函数的单调区间、极值进而求最值.10. 的内角 ， ， 的对边分别为， ，
7、.已知 ， ， 成等比数列， ，ABC A B C b sinA sinB sinC a1 ca=94【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查利用正弦定理进行边角互化，考查余弦定理的应用，还考查了化归与转化的数学思想方法.解题的思路方面，主要采用“顺序结构”的策略来求解.也就是题目给定三个数成等比数列，那么利用等比中项的性质列出方程，由于是涉及三角形的问题，故考虑用正弦定理进行转化.然后题目给了一个角的余弦值，那么考虑用余弦定理表示出来，再转化为题目所要求的形式即可求解出结果，这个是分层推进，步步为营的方法.11.已知三棱锥 的侧棱两两垂直， ， ， 为棱 上的动点， 与PABC PA=PC
8、=2 PB= 3 Q BC AQ侧面 所成角为，则 的最大值为PBC tanA. B. C. D. 73 217 213 357【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图像，作出所要求的直线 与面 所成的角，利用点到直线的距离来求得AQ PBC这个角的最大正切值.【详解】作出图像如下图所示，依题意可知 ，所以 平面 ，故PAPB,PAPC PA PBC是所求直线与平面成的角.由于 ，其中 ，当 最短时，正切值取得最PQA tan=PAPQ PA=2 PQ大值.当 时， 最短， ，在直角三角形 中，利用等面积得PQBC PQ BC= PB2+PC2= 7 PBC，解得 .此时 .故选 C.12 3
9、2=12 7PQ PQ=2217 tan=22217=213【点睛】本小题主要考查直线与平面所成的角的正切值，以及正切值最小值的求法，属于基础题.12.将函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到 的图像，若函数f(x)=sin4x+cos4x8 g(x)在 上单调递减，则正数 的最大值为y=g(x) 12,4 A. B. 1 C. D. 12 32 23【答案】A【解析】【分析】先化简 的表达式，平移后得到 的解析式，再求出 的解析式，然后利用 的f(x) g(x) g(x) g(x)单调减区间列不等式组，求得 的取值范围，进而求得正数 的最大值. 【详解】依题意， ，向左平移 个单位长度得到
10、f(x)=(1cos2x2 )2+(1+cos2x2 )2=1+cos22x2 =3+cos4x4 8.故 ，下面求函数的减区间：34+14cos4(x+8)=34+14cos(4x+2)=3414sin4x g(x)=3414sin(4x)由 ，由于 故上式可化为 ，由于函数 在2+2k4x2+2k 0 8+k2x8+k2 g(x)上单调递减，故 ，解得 ，所以当 时， 为正数 的最大值.-12,4 8+k2128+k24 326k12+2k k=0 =12 故选 A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算
11、能力. 是不能够直接合并sin4x+cos4x起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为 的形式.求解三角函数单Asin(x+)+B调区间时，要注意 是正数还是负数 .A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量， 满足 ， ， ，则 _b |a|=1 |b|=2 |a2b|= 10 ab=【答案】74【解析】【分析】将 两边平方，化简后可求得 的值.|a-2b|= 10 ab【详解】对 两边平方得 ， ，即|a-2b|= 10 (a2b)2=10a24ab+4b2=10，解得 .14ab+422=10 ab=74【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量
12、数量积的求解，属于基础题.解决方法是对已知条件两边平方后，代入已知向量模的条件，解方程组可求得 的值.ab14.若一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱的两个底面的圆周都在球 的表面上，则球 的表面O O积为_【答案】 8【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中 是球的半径， 是圆柱底面半径，BC AB是圆柱高的一半，故 ，所以球的表面积为 .AC BC2=AC2+AB2=1+1=2 4BC2=8【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.15.
13、小周公司的班车早上 7 点到达 地，停留 15 分钟.小周在 6:50 至 7:45 之间到达 地搭A A乘班车，且到达 地的时刻是随机的 ，则他能赶上公司班车的概率为_A【答案】511【解析】【分析】时间总长度为 分钟，其中能赶上班车的时间有 分钟，利用几何概型求得相应的概率.55 25【详解】依题意，从 6:50 至 7:45 之间一共有 分钟，其中 点 之前能赶上班车，故能赶55 7 15上班车的时间有 分钟，由几何概型的概率计算公式得 ，即他能赶上公司班车的概率252555=511为 .511【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查实际生活中的概率问题，属于基础题.16.点 在椭圆
14、上， 的右焦点为 ，点 在圆 上，则P C:x24+y23=1 C1 F Q C2:x2+y2+6x8y+21=0的最小值为_|PQ|PF|【答案】 256【解析】【分析】先求得椭圆 的值，求得圆的圆心和半径.设左焦点为 将所求的最小值，转化为a,c F1来求解.当 四点共线时，取得最小值，利用两点间的距离公式来求得|PQ|+|PF1|2a P,Q,F1,C2这个最小值.【详解】依题意可知，椭圆的 ，设左焦点为 .圆的方程配方得a=2,c=1 F1(1,0)，故圆心为 ，半径为 .根据椭圆的定义有：(x+3)2+(y4)2=22 C2(3,4) r=2，故当 时，上式取得最小值，即|PQ|PF
15、|=|PQ|(2a|PF|1)=|PQ|+|PF1|2a P,Q,F1,C2，即最小值为 .|PQ|+|PF1|2a=|C2F1|r2a= (3+1)2+4224=256 256【点睛】本小题主要考查椭圆的定义以及几何性质，考查圆的一般方程化为标准方程，考查与椭圆和圆有关的距离的最小值的求法，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数，这个是本题中转化的关键.圆的方程化为标准方程主要是通过配方法.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、
16、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.在数列 中， ，且 ， ， 成等比数列.an a1=1 an 2n an+1（1）求 ， ， ；a2 a3 a4（2）求数列 的前 项和 .a2n n Sn【答案】 （1）见解析；（2）4n+143【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质列方程，然后求得 的值.（2）利用（1）的结论，判断数列a2,a3,a4是等比数列，由此求得数列的前 项和 .a2n n Sn【详解】 （1） ， ， 成等比数列， .an 2n an+1 anan+1=(2n)2=4n ， ，a1=1 a2=4a1=4同理得 ， .a3=4 a4=16（2） ，anan+1=(2n)
17、2=4n ，an+1an+2anan+1=an+2an=4则数列 是首项为 4，公比为 4 的等比数列，a2n故 .Sn=4(1-4n)1-4 =4n+1-43【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查利用等比数列的定义判断数列为等比数列.属于基础题.18.甲、乙两人 2013-2017 这五年的年度体检的血压值的折线图如图所示.（1）根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；（2）根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值 关于年份 的线性回归方程，y x并据此估计乙在 2018 年年度体检的血压值.（附： ， ）b=ni=1(xix)(yi
18、y)ni=1(xix)2 =ni=1xiyinxyni=1x2inx2 a=ybx【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由图像可知，甲的波动更大，利用图像所给数据和方差的计算公式计算得方差的值.（2）将数据代入回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并令 ，求得 年x=2018 2018度的预测值.【详解】 （1）甲的波动更大.甲这五年年度体检的血压值的平均值为 ,100+110+120+115+1055 =110其方差为 .(100-110)2+(110-110)2+(120-110)2+(115-110)2+(105-110)25 =50（2） ， ，x=2015y
19、=115 ，b=(-2)(-5)+(-1)5+1(-5)+25(-2)2+(-1)2+12+22 =1.a=115-2015=-1900故 关于 的线性回归方程为 .y xy=x-1900当 时， ，x=2018y=2018-1900=118故可估计乙在 2018 年年度体检的血压值为 118.【点睛】本小题主要考查样本方差的计算，考查回归直线方程的计算，并用回归直线方程进行预测，属于基础题.19.如图，在三棱锥 中， 平面 ABC，且 ， PABC PA PA=AB=BC=2 AC=22证明： 为直角三角形；(1) PBC设 A 在平面 PBC 内的射影为 D，求四面体 ABCD 的体积(2
20、)【答案】 （1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）由已知得到 .可证 .又由条件可证 ，进而得到AB2+BC2=AC2 ABBC PABC平面 ，得 .可证得结论.BC PAB BCPB（2）先找到并证明 为线段 的中点，即可求得 D 到面 ABC 得距离，进而可求得四面体D PB的体积.ABCD【详解】 （1） ， ， .AB=BC=2 AC=22 AB2+BC2=AC2.ABBC平面 ， .PA ABC PABC， 平面 .ABPA=A BC PAB又 平面 ， . BC ABC BCPB故 为直角三角形.PBC（2） 为线段 的中点，证明如下，D PB， .PA=AB ADPB又
21、 平面 ， .BC PAB ADBC， 平面 .PBBC=B AD PBC取 的中点 ， 平面 平面 .AB H PA ABC，DH ABC， 面积为 2.DH=12PA=1 ABC四面体 的体积为 . ABCD1312=23【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用20.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： 与直线 l： 交于 M， N 两点x2=6y y=kx+3当 时，求 的面积的取值范围；(1) 172ln2【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，求导后对分成 三类，讨论函数的单调区间.
22、a12,0a12,a0（2）由（1）知当且仅当 时， 存在两个极值点，同时用韦达定理写出这两个极-12-12 f(x)=0 x1=1- 1+2a2 x2=1+1+2a2（）当 时， ，-120 x(x1,x2) f(x)0所以 在 上单调递减 ，在 上单调递增.f(x) (0,1+1+2a2 ) (1+1+2a2 ,+)（2）证明：由（1）知当且仅当 时， 存在两个极值点 .-12g(12)=-72-ln2从而 .f(x1)x2-72-ln2【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式成立的问题，考查了分类讨论的数学思想，属于难题.在求出函数的定义并对函数求导后，要注
23、意通分，因为根据定义域，分母往往是不用考虑的.再根据开口方向和判别式对参数进行分类讨论，由此得到函数的单调区间.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数）.以坐标原点为极点，xOy C x=2t+1y=|2t1|轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x M 2=4cos+2msinm2（1） 求 和 的直角坐标方程 ；C M（2）若 与 恰有 4 个公共点，求 的取值范围.C M m【答案】 （1） ， ；（2 ）y=|x2| (x2)2+(ym)2=4 (2,22)【解析】【分析】（1）利用代入消元法消去，得到 的直角坐标方程.利用直角坐标和极坐标相互转化的公式求
24、C得曲线 的直角坐标方程.（2）先利用点到直线的距离公式，求得 相切时 的值，再求得M C,M m有三个公共点时 的值，进而求得 有 个公共点时 的取值范围.C,M m C,M4 m【详解】 （1）由 ，得 ，y=|2t-1|=|2t+1-2| y=|x-2|故 的直角坐标方程为 .C y=|x-2|由 ，得 ，2=4cos+2msin-m2 x2+y2=4x+2my-m2故 的直角坐标方程为 .M (x-2)2+(y-m)2=4（2）当 和 相切时 ，圆 的圆心到直线 的距离 ，C M M y=x-2 d=|m|2=2且 ，则 .m0 m=22当 与 恰有 3 个公共点时， .C M m=2
25、故当 与 恰有 4 个公共点时， 的取值范围为 .C M m (2,22)【点睛】本小题主要考查参数方程化为直角坐标方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.23.设函数 .f(x)=|3xa2|+|3x3|+a（1）当 时，求不等式 的解集；a=2 f(x)17【答案】 （1） ；（2 ）(56,32) (,5)(4,+)【解析】【分析】（1）当 时，利用零点分段法去绝对值，将 表示成分段函数的形式，由此求得不等a=2 f(x)式的解集.（2）利用绝对值不等式求得 的最小值，令这个最小值大于 ，解不等式求得f(x) 17的取值范围.【详解】 （1）当 时， ，a=-2 f(x)=|3x-4|+|3x-3|-2=5-6x,x1-1,117则 或 ，解得 或 ，a2-317-a a2-34故的取值范围为 .(-,-5)(4,+)【点睛】本小题主要考查不含参数的绝对值不等式的解法，也考查了含有参数的绝对值不等式的解法.属于中档题.
