1、2018 届河北省邢台市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 ，则复数的实部为（ ）A. -3 B. 3 C. -1 D. 1【答案】C【解析】复数 ， ，故实部为-1.故答案为：C。2. 已知集合 ， ，则 的元素的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】集合 ， 元素个数为 5 个。故答案为：C。3. 设 是两个互相垂直的单位向量， 则 （ ）A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】 是两个互相垂直的单位向量
2、，故得到 ，故答案为：A4. 棱长为 的正方体的 8 个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D故答案为：D。5. 若双曲线 的焦点都在直线 的下方， 则 的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D故答案为：D。6. 在 中， ， ， ，现有以下四个命题；的面积为 ；中最大角的余弦值为 那么，下列命题中为真命题的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ；根据正弦定理得到 这是不对的，故是假命题；则 是真命题。的面积为 ，三角形的面积是 ，故原命题是假命题；中最大角的余弦值为 ，最大角为角 B，根据余弦定理得到 。是真命题。根
3、据或且非命题的判断知， 为假命题，故 A 不对； ，为真，故 B 正确。 两者均为假，故命题为假； 为真， 为假，故 为假。故答案为：B。7. 执行如图的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 12 B. 13 C. 15 D. 18【答案】C【解析】根题意得到，n=1,S=1,N=2,S=3;N=3,S=6;N=4,S=10;N=5,S=15;此时 S11,输出 S=15.故答案为：C。8. 设 满足约束条件 ，且目标函数 的最大值为 16，则 （ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4【答案】A【解析】根据题意画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数化为 ，当目标函数过点时，有
4、最大值 16 ，此时 故答案为：A。9. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意得到 在 上恒成立，得到 ， 故答案为：A。10. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. 或 6C. D. 或【答案】D【解析】根据三视图得到原图是左侧为三棱柱，右边可能是一个三棱锥，也可能是四棱锥，分这两种情况；当右边是三棱锥时，体积为 当右边是四棱锥时，体积为 故得到体积为 或 。故答案为：D。点睛：这个题目考查的是
5、三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上11. 若在区间 上，函数 的图像总在函数 的图像的上方， 则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意条件函数 的图像总在函数 的图像的上方可以转化为根据二倍角公式化简为画出图像可得 故答案为：D。12. 若函数 存在唯一的极值， 且此极值不小于 1，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对函数求导得到 因为函数存在唯一极值，导
6、函数存在唯一的零点，且零点大于 0，故得到 x=1 是唯一的极值，此时故答案为：B。点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，还有就是求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 某地区有 1000 家超市，其中大型超市有 150 家，中型超市有 250 家，小型超市有 600 家.为了了解各超市的营业情况，从中抽取一个容量为 60
7、的样本若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有_ 家【答案】36【解析】根据分层抽样，按照比例得到小型超市有 故答案为：36.14. 若 ，且为钝角，则 _【答案】-5【解析】 ，则 故答案为：-5.15. 已知函数 的最小值为 8，且 ， ，则 _【答案】5【解析】函数的最小值为 这个函数关于 a 是单调递增的，当 a=4,根据零点存在定理得到 ，此时 .故答案为：5.16. 设 ， 分别为曲线 上不同的两点， ，若 ，且 ，则_【答案】8【解析】曲线 ，化简为 根据抛物线的定义得到 又因为 ，故 故答案为：8.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物
8、线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 为数列 的前 项和，且 .（1）若 ，求 ；（2）若 ，求数列 的前 30 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）将式子因式分解，得到 ， ，等比数列求和得到结果；（2），裂项相消求和即可。解析：（1） ， ， ， . .（2） ， . ， .18. 从 2017 年 1 月 18 日开始，支付宝用户可以通过“ 扫福字”和
9、“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福） ，除夕夜 22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了 80 位该校在读大学生，就除夕夜 22：18 之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福） ，得到具体数据如下表：（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这 80 位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福的人数；（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生
10、会从集齐五福的学生中，选取 2 位男生和 3 位女生逐个进行采访，最后再随机选取 3 次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的 3 次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式： .附表：【答案】 （1）不能（2） ，8125（3）【解析】试题分析：（1）根据列联表中的数据，得到 的观测值为 ，故得到结果；（2）先得到样本中集齐五福的频率为 ，再由总人数乘以频率即可；（3）根据古典概型的计算公式得到，总事件个数为 10，满足条件的事件为 9，求得频率为 .解析：（1）根据列联表中的数据，得到 的观测值为，故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.（2）这
11、 80 位大学生集齐五福的频率为 .据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福的人数为 .（3）设选取的 2 位男生和 3 位女生分别记为 ，随机选取 3 次采访的所有结果为， ， ， ，共有 10 个基本事件，至少有一位男生的基本事件有 9 个，故所求概率为 .19. 如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱 中， ， 为棱 上一点.（1）证明：平面 平面 ；（2）在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由） ，并求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，可从线面垂直入手，即证 平面 ，进而得到面面垂直；（2）先找到过 A 的一个垂直于面.
12、的一个平面，优点 A 向两个面的交线作垂线即可，解析：（1）证明：底面 为菱形， .在直四棱柱 中， 底面 ， . ， 平面 .又 平面 ，平面 平面 .（2）解：设 与 交于点 ，连接 ，过 作 ， 为垂足， 即为 在平面 内的正投影.理由如下： 平面 ， ，又 ， ， 平面 ， ，又 ， 平面 . ， ， ，由 得 ，过 作 ，垂足为 ，由 得 . .20. 已知椭圆 的焦距与椭圆 的短轴长相等，且 与 的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为 ，与直线 （ 为坐标原点）垂直的直线与 交于 两点，且与圆相切（1）求 的方程；（2）若 ，求圆 的方程【答案】 （1） （2）【解析】试题分析
13、：（1）根据题意得到 ，解出参数值即可；（ 2）联立直线和椭圆，得到二次方程，由韦达定理和弦长公式得到 ，求出 m 值。解析：（1）由题意可得 ， ，故 的方程为 .（2）联立 ，得 ， ，又 在第一象限， .故可设的方程为 .联立 ，得 ，设 ， ，则 ， ， ，解得 ，满足 ，又 到直线的距离为 ，则 ，故圆 的方程为 .点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用
