1、2018 届河北省石家庄市第二中学高三 12 月月考数学（理）试题一、选择题1已知全集 Ux是小于 9 的正整数 ， 1,234,56AB，则 UAB等于（ ）A. 1，2 B. 3，4 C. 5，6 D. 3，4，5 ，6，7，82设 i是虚数单位，复数 1ai为纯虚数，则实数 a的值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 3已知命题 :,0npN，则 p为（ ）A. ,nB. ,210nC. 21 D. 4若变量 ,xy满足约束条件21 xy，则 3zxy的最大值为（ ） A. -7 B. -1 C. 1 D. 25中国古代数学著作算法统综 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不
2、为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“ 有一个走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里 6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A. 4 B. C. 8 D. 127已知点 0,5M及抛物线 4yx上一动点 ,Nxy，则 MN的最小值为（ ） A. 5 B. 23 C. D. 8已知函数sin06fx的最小正周期是 ，将函数 yfx的图象向左平移 6个单位长度后所得的函数为 yg
3、x，则函数的 ygx图象（ ）A. 有一个对称中心,012B. 有一条对称轴 6C. 有一个对称中心,03D. 有一条对称轴 4x9已知正项等比数列 na的前 项和为 nS，且 8425，则 91012aa的最小值为（ ）A. 10 B. 15 C. 20 D. 2510如图在正方体 1ABCD中，点 O为线段 BD的 中点. 设点 P在线段 1C上，直线 OP与平面 所成的角为 ，则 sin的 取值范围是( )A. 3,B. 6,3C. 62,3D. 2,111设 1F、 2分别为双曲线2xyab（ 0a， b）的左、右焦点， P为双曲线右支上任一点若 2P的最小值为 8，则该双曲线离心率
4、e的取值范围是（ ） A. 0, B. 1,3 C. 2, D. 3,12已知 fx是定义域为 0,的单调函数，若对任意的 0,x，都有13log4fx，且方程 32694xa在区间 0,3上有两解，则实数 a的取值范围是（ ）A. 05a B. C. 5 D. 二、填空题13甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 14已知直线 l： 0xya，点 2,A， ,0B. 若直线 l上存在点 P满足 AB，则实数a的取值范围为_.15在矩形 ABC
5、D中， 3B， CD,则 ACB_.16已知椭圆2:1(0)xyab， ,B是 的长轴的两个端点，点 M是 C上的一点，满足30,45MAB，设椭圆 C的离心率为 e，则 2_.三、解答题：17、 已知公差不为零的等差数列 na的前 项和为 nS，若 205,且 137 ,a成等比数列.（）求数列 na的通项公式；（）设数列 b满足 )1(nna，求数列 nb的前 项和 nT18、在 ABC的内角 ,的对边分别为 ,c，已知 si3cos0A， 27a,b.（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADC,求 B的面积.19在四棱锥 P中， P平面 D， E是 P的中点， 90ABC
6、， 60B， 2A.（1 ）求证： E；（2 ）求二面角 的余弦值 .20已知动圆 与圆 21:1xy外切，又与直线 :1lx相切 .（1 ）求动圆 C的圆心的轨迹方程 E；（2 ）若动点 M为直线 l上任一点，过点 ,0P的直线与曲线 E相交 ,AB两点.求证： 2MABMPkk.21已知左、右焦点分别为 12F、 的椭圆21:0xyCab与直线 1y相交于 、 两点，使得四边形 12AB为面积等于 的矩形. （1 ）求椭圆 C的方程；（2 ）过椭圆 1上一动点 P（不在 x轴上）作圆2:1Oxy的两条切线 PCD、 ，切点分别为 CD、 ，直线 D与椭圆 交于 EG、 两点， 为坐标原点，
7、求 EG的面积 OEGS的取值范围.22已知函数 2fxab.(1)讨论函数 gef在区间 0,1上的单调性；(2)已知函数12xhef，若 0h，且函数 hx在区间 0,1内有零点，求 a的取值范围.参考答案1 D 2A 3D 4D 5C 6A 7C 8B 9C 10B 11B 12A二填空题13甲 14 2, 1512. 16. 31三解答题17 解：（） 数列 na是等差数列，设 na的公差为 d， 731,a成等比数列，7123a ， )6()2(11d得 d 0， 2.2 分54511aS 得 41da.4 分,2a 得 n .5 分（） )2()2()1( nabnn .6 分 1
8、43221Tn .7 分 11)22n（ .9 分 (5)=41n .10 分18、解:（1）由 si3cos0A得 tan3A，又 0,，得23A. 2分由余弦定理 22ab.又127,cosb代入并整理得 15c，故 4c. 5分（2） 2,7,ACBA，由余弦定理2cosabc. 7分 D，即 为直角三角形，则 csAC，得 7C. 9分由勾股定理223A.又2，则236DAB， 1sin26ABDS. 12分19试题解析：（1）取 PC的中点 F，连接 ,E，则 |FC.因为 C，所以 A. 2 分因为 P平面 ， D平面 B，所以 PAD又所以 CD平面 PA因为 C平面 PA，所以
9、 CDP；又 |EFCD，所以 EF； 4 分又因为 , EF，所以 平面因为 平面 ，所以 . 5 分（2）以 B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.则 0,， ,10A， 3,0C， 23,0D， 3,21E， 0,2P3C， 2E. 6 分设平面 的法向量为 1,nxyz，则 1, 0.AnE所以 , 20.xyz令 1x，所以 1,32. 8 分由（1）知 CD平面 PA， F平面 PC，所以 DAF.同理 F，所以 平面 E所以平面 E的一个法向量 231,n. 10 分所以 11226cos, 4n， 11 分由图可知，二面角 ACEP为锐角，所以二面角 ACEP的余弦
10、值为 64.12 分20 试题解析：(1)由题知动圆圆心 到 2,0距离与到直线 2x距离相等； 2 分所以动圆圆心 的轨迹方程为： 28y. 4 分(2)由题知设 12,1,AxyBMt，当直线 斜率为 0时，不符合题意，所以可设直线 的方程为 xmy， 5 分联立 218xmy，消去 ，得 2 280,6430m恒成立，有 1121212,xx ， 7 分而 MPtk， 8 分12121212AByxytxtyttx10 分21221212848yytxtmtx，所以 MABMPkk成立. 12 分21 试题解析：（1 ）四边形 12ABF为面积等于 2的矩形， 2c，故 c， 2 分椭圆
11、方程化为2xya，且点 ,，点 A 在椭圆上， 21a，整理得4250a，解得 24。椭圆 1C的方程为214xy； 4 分（2 ）设 ,Pxy，则以线段 OP为直径的圆的方程为22200014xy，又圆 O的方程为 y， 两式相减得直线 CD的方程为 01xy. 6 分由 02 x消去 y 整理得 222004xy直线 CD与椭圆 1交于 EG、 两点， 222200006441xyyx，设 12,Ey，则2012120|yx7 分又原点到直线 CD 的距离为 201dxy， 2012204112OEG xySy 2200xx9 分设 22001=34ty， 204x， 182t 10 分又
12、 OEGSt在 1,8t上单调递增， 3062OEGS，所以 的面积 OEGS的取值范围为 306,2. 12 分22试题解析：解：(1)由题得 21xgeab，所以 21xgea.当 32a时， 0gx，所以 在 0,上单调递增； 1 分当 1e时， ，所以 gx在 ,1上单调递减； 2 分当 32a时，令 0，得 ln20,a， 3 分所以函数 gx在区间 ,ln2a上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增.综上所述，当 3a时， gx在 0,1上单调递增；当 312e时，函数 在区间 ,ln2a上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增； 当 a时，所以 gx在 0,1上单调递减. 4
13、 分(2) 212xxhefeabx， 1xabg，设 0为 在区间 0,内的一个零点，则由 0h，可知 hx在区间 0,x上不单调，则g在区间 ,内存在零点 1x，同理， gx在区间 ,1内存在零点 2，所以 g在区间 ,1内至少有两个零点. 6 分由(1)知，当 32a时， g在 0,上单调递增，故 在 0,内至多有一个零点，不合题意.当 1e时， x在 ,1上单调递减，故 gx在 ,1内至多有一个零点，不合题意，所以32a， 8 分由 10h，得 be， 102ge. 10 分此时 gx在区间 ,lna上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增.因此， 1， 2ln,1xa，必有 0b， 10geb.由 gae， ，解得 2ea. 12 分
