1、基于小波变换的奇异信号检测课题报告课题名称 奇异信号检测 班 级 测控 083 班 姓 名 龚良洪 指导老师 丰明坤 1、傅里叶变换和小波的简要介绍小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅里叶变换的基础之上的由干博里叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对博里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换、Gnbor 变换、时频分析、小波变换、RandonW1gner 变换、分数阶博里叶变换、线调频小波变换、循环统
2、计量理论和调幅一调频信号分析等。其中，短时博里叶变换和小波变换也是应传统的博里叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数 g(f)的一个短时间间隔内是平稳( 伪平稳)的，并移动分析窗函数，使 f(f)g(z一 t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时到的功率谱。但从本质上讲，短时博里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用个固定的短时窗函数。因而短时傅里叶变换在信导分析上还是存在着不可逾越的缺陷。波变换是种信号的时间一尺度(时间一频率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresoution Analysis)
3、的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中央带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。傅里叶变换是众多科学领域(持别是信号处理、图像处理、量子物理等)里重要的席用工具之一。从实用的观点看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指( 积分 )博里叫变换和傅里叶级数。为了计算博里叶变换，需要用数值积分即取 f(t)在
4、 R 亡的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其它方面的处理工作，对信号的要求是；在时域和频域应是离散的，且都是有限长。下面我们将给出离散时间傅里叶变换(DFT) 约定义。傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把 f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可以把对原函数 f(t)的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换 F(w)的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。虽然博里叶变换能够将信号的时域待征和频域持征联系起来，能分别从信号的时域和频
5、域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何领域信息。而其博里叶谱是信号的统汁特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于博里叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，尤其是对非干稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域持征都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能将时域和领域结合起来描述观察信号的时频联合待征
6、，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法在信号处理中重要方法之是博里叶变换(FoMierTrMsroM)、它架起了时间域和频率域之间的桥梁。 对很多信号来说，情里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是、博里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时刚言息，它不能告诉人们在段时间里发生了什么变化。而很多待号都包含有人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始或结束。达些特性是信号的最重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一
7、定信息，这些信息的精度依赖于时间窗的大小、盖博变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窃的大小都相问。然而，对很多情号为了获得更精确时间或频率信息，需要可变的时间窗2、一维小波变换小波变换提出了变化的时间窗；当需要精确的低频信息时，采用比的时间窗，当需要精确的高频传息时，采用短的时间窗。小波变换用的不足时间一频率域，而是时间一尺度域。尺度越大采斤越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。什么是小波? 小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在与正弦波的比较。正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形它是博里叶变换的基础。出图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形这是小波变换
8、的基础。因此用小波能更好地更好信号的局部特件。小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩” 。因为 f(t)是一个离散的信号，所以我们可以将信号用 f(k)的形式表示，k1 到 length(f)，所以对于一具体的尺度 a，cwt 将计算 b 从 l 到 1ength(f)所对应的每一个系数值 Wf(a， b)。s 为待分析的信号，在计算中通常是以离散的形式给出，如在 MATIAB 自身所带有的 noissin 信号等。scales 为连续小波变换的尺度向量，wname 为小波函数名。如果尺度为离散的值 a1，a2 、a3则尺度向量 scales 可以表示为：a1，
9、a2，a3的形式，值与值之间用逗号或者空格隔开；倘若尺度向量由起始尺度 amin、终止尺度 amax、尺度步长 astep 三者组成，则尺度向量 scales 可以表示为：amin：astep ：amax的形式( 中括号“”此时可省略)；倘若尺度向量同时包括上面两种情况，则把离散尺度写在前面，步长表示方式写在后面，如：a1， a2，a3，amin：astep ：amax 。wname 是小波函数名，如：haar， dbl，db2 ，meyer 等。 coefs 是指返回系数矩阵 (小波变换系数) ，矩阵的行数为小波变换中尺度的个数，列数为信号采样点的个数，如 noissin 信号的采样点个数为
10、 l000，矩阵第一行的值对应第一个尺度变换后的系数，第二行的值对应第二个尺度变换后的系数，以后依此类推。对于格式， “plot”是用来画出小波变换后系数的图形，在图形中，系数的大小是以灰度的深浅来表示，颜色越深，则变换后的系数 Wf(a，b)越大。另外，(1)尺度必须为正实数。(2) 逗号可以换成空格的形式。(3)当尺度步长astep 没有显式给出时，则表示 astep 取默认步长 1。不同尺度对应的灰度值图如下所示：3、信号奇异性检测信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号重要的特征之一。比如，在故障诊断(特别是机械故障诊断)中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而
11、对突变点的检测在故陪诊断中有着非常至要的意义。长期以来，傅里叶变换是研究函数奇异性的丰要工具，其方法是研究函数在傅里叶变换域的衰减以推断函数是否具有奇异性及奇异件的大小。但傅里叶变换缺乏空间局部性，它只能确定“个函数奇异性的整体性质，而谁以确定奇异点在空间的位置及分布情况。我们知道，小波变换具有空间局部比性质，因此，利用小波变换来分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小是比较有效的。通常情况下，信号奇异性分两种情况：一种是信号在某个时刻内，其幅值发生文变，引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种类型的间断点；另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是，信号的一阶微分有突变产生、且一阶微分是不
12、连续的，称为第二种类型的间断点。通常，用李普西兹指数来描述函数的局部奇异性。下面我们给出个描述信号奇异度的一般定义。3.1 检测第一种类型的间断点用小波分析来检测第一类间断点情况下，信号幅位变化的准确时间，即间断点的准确位置。在这个例子中，信号的不连续是由于低频持征的正弦信号在后半部分中，突然有中高频特征的正弦信号加入了。分析的目的是将中高频特征的正弦信号加入的时间点检测出来。下例是对一个给定的含有突变点的信号进行检测。我们看到，在该信号的小波分解中，第一层(D1)和第二层(D2) 的高频部分将信号的不连续点显示得相当明显，因为信号的断裂部分包含酌是高频部分。这里需要说明的是，如果我们只想辨别
13、出信号的不连续点，用 dbl 小波比 db5 小波效果更好。由上固可以看出，信号不连续点的时域定位非常精确，即该点在时域中(t500) 一个非常小的范围之内。这种情况一般是在小波分解的第一层和第二层高频中判断。这个例子有力地说明了小波分析比传统的博立叶分析有更大的优越性。如果这种信号用傅立叶分析方法进行，我们在领域中是无法检测出信号在时域中的突变点的，而在小波分析中，这种突变点的特征就表现得相当明显。在信号处理中，信号中合有噪声是一种相当普遍的情况，而噪声的存在增加了辨别信号不连续点的复杂性。一般说来，如果信号用小波分解的第一层能够估计出噪声的大体位置，则信号的断裂点(频率变化点)就能够在小波
14、分解的更深的层次上显示出来。下面给出用傅立叶变换和 dbl 小波变换实现的对该信号在频域内的表现形式从比较中可以更好地领会傅立叶变换在处理时域上有突变的信号的不足之处，以及用不同的小波变换，对信号分析的差别。利用小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。在图中可以看出，由于傅立叶变换将信号变换成纯频域中的信号，使它不具有时间分辨的能力，故对信号在时域中的突变点根本无法检测出来。而 dbl小波分解后的信号，则可以很明显地辨别出该断裂点。下例是 某一正在工作的系统，其正常工作
15、时，输出点的采样信号应为一蠕变信号当系统出现故障时，输出信号将会出现一突变信号(主要表现在幅度和频率的突变)。现给出该系统从正常列出现故障的一采样序列。该问题是一个检测突变点(或不连续点) 的问题，利用小波分析可以精确地检测出信号突变的时间点。0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-101 信信信信信信信信-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-5000500FFT0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-101a30 100 200 300 400 500 600 700
16、 800 900 1000-101d30 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.500.5d20 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.200.2d1利用小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。0 0.5 1 1.5 2456 信信信信s0 500 1000 1500 2000-202ca60 500 1000 1500 2000-0.500.5d60 500 1000 15
17、00 2000-101d50 500 1000 1500 2000-202d40 500 1000 1500 2000-0.500.5d30 500 1000 1500 2000-0.200.2d20 500 1000 1500 2000-0.0500.05d1从上图的小波分解的层系数可以明显看出，在 t500 时，系统工作出现了异常情况，在 t1000 时，系统工作又恢复了正常。这是一个利用小波分析检测信号突变点的典型实例。从该例可以看出，小波分析在检测信号突变点(奇异点)上具有比博里叶变换无法比拟的优越性，利用小波分析可以精确地检测出信号突变时间点。2检测第二种类型的间断点下例是对某一给定
18、的信号，它是由两个独立的满足指数方程的信号连接起来的。这个例子中的信号，在外观上是很光滑的曲线，但是，该信号具有一阶微分且突变。分析的目的是将第二类间断点寻找出来。0 50 100 150 200 250020004000 信信信信0 50 100 150 200 2500100200s0 50 100 150 200 250020004000a20 50 100 150 200 250-2000200d20 50 100 150 200 250-1000100d1我们看到，该信号的一防微分曲线在 tloo 点处，有明显的不连续。将该信号进行小波分解后，第一层的高频部分 d1 将信号的不连续点
19、显示得相当明显，这个断裂点在信号的中部发生，在其它地方可以忽略。由上图可以看出，利用小波分析进行信号的不连续点的定位非常精确。像这种间断点的定位，一般来说，是在小波分解的第一层和第二层高频部分中进行判断的。注意：在选择小波的过程中，正则性是一条很重要的规则，在这里我们选择的是 dbl 小波，这种小波正则性很好，如果选择 db4 小波，会发现在 t100点处，高频部分的值几乎为 0，检测不出信号的不连续点(第二类间断点)。为了检测出信号中的奇异点，所选择的小波必须很正则(有规则)，这时的小波可实现一个更长的冲击响应滤波器。4、心得体会 当还没有接触小波这个名词时，它给我的感觉是它应该是一种波形，
20、好像是跟误差有关的吧。后来又知道了它是一种变幻，这就让我有些好奇了。通过一个学期的学习，终于搞明白了它是怎么一回事。小波分析是近 15 年发展起来的一种新的时频分析方法，其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标锁定，物理中的间断想象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET 的流量控制等。从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多的领域，而其在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，不尽在电力监测系统中，既
21、要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时域分析方法，小波分析正是由于这类需要发展起来的。小波变换是种信号的时间一尺度(时间一频率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresoution Analysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中央带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。
