1、题目：Haar 小波在图像多尺度分解与重构中的应用 指导老师： 学生姓名： 院系： 学号： Haar 小波在图像多尺度分解与重构中的应用摘 要:鉴于小波多尺度分解与重构在图像的编码、压缩、去燥、融合等方面的重要作用，介绍了 Haar 小波的尺度函数与小波函数，给出了 Haar 小波多尺度分解与重构的算法，并进行成功验证。结果表明，多尺度分解将图像分解成一个简单的多层次框架，框架的每个分量具有独特的频率特性和空间取向特性，同时重构算法能很好地恢复图像。关键词:Haar 小波；多尺度分解；图像重构Image Multiresolution Decomposition andReconstructi
2、on Based on Haar Wavelet（College of Information Engineering,Zhou Boyan）Abstract:Given the important role of the wavelet multiresolution decomposition and reconstructionin image coding, compression, de -noising, integration and so on. Introduced the Haar wavelet scaling function and wavelet function,
3、 gave the Haar wavelet multiresolution decomposition and reconstruction algorithms, and achieved the success of authentication. Multi -scale decomposition can decompose an image into a simple multi -level framework, whose each component has unique frequency characteristics and space orientation feat
4、ures, meanwhile, reconstruction algorithm can restore an image effectively.Keywords:haar wavelet; multi resolution decomposition; image reconstruction .0 引言1986 年以来，小波分析已成了有力的数学工具，它与 Fourier 变换、视窗 Fourier 变换（Gabor 变换）相比，是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了 Fourier 变换不能解决的许多困
5、难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜” ，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。它在信号与图像分析、图像编码、图像压缩、边缘检测等科学和工程技术中得到了广泛应用。1 离散小波变换设 是一个可测的、平方可积的一维函数空间，R 为实数)(2L集。小波是由满足 的函数 通过平移、伸缩而产生0)(dx)(x的函数族 ； )(,xba)(2/1, abxba 0,aR称 为分析小波或连续小波。其中，a 为缩放因子，b 为)(,xb平移因子 1。函数 在 上的连续小波变换为：)(xf)(2RLdxxfWbaba )(, 离散小波是通过把小波函数 中的参数 a，b 离散化得到的:)(, ZnRnZmamm
6、,0, 00则小波 变为：)(,xb)()( 002/0, bxaxmba 当 时，就可得到二进小波：1,20nba Znmxxmba ,)2()(/, 2 基于 Haar 小波的函数空间Haar 小波是法国数学家 A.Haar 给出的，是历史上第一个标准正交小波基其函数族： ,)2(/ Znmxm构成函数空间 的标准正交基 2- 3。尺度函数 和小波函数)(2RL )(x生成一组可用于分解和重构信号的函数族，Haar 尺度函数：)(x)(xHaar 基本小波： )(x设空间 由 函数族构成。基于 Haar nV尺度函数基本特性函数 在 函数空间的表示为： ，)(0xfnV)(0kxa其中 为
7、函数 在 函数空间的表示，k 表示函数空间的位移Ra0)(0fn且 。Zk设空间 由 函数 族构成，基于jv上述性质的推广，函数 在 函数空间的表示为 ，其)(xfjjV)(kxakj中 为函数在 在 函数空间的表示，j 表示函数空间的伸缩。Rajkfj类似地，函数空间 由 函数构成。 函数空间的jWRakxjkj),(jW每个函数和 函数空间的每个函数正交，且 中每个 正交的函数jV1jVjk10,x其 他 2/,x1其 他0),1,k ),),12(),2(, xjj 1kj 属于 ，即函数空间 的函数族和函数空间 的函数族共同构造了jWj jV函数空间的完全标准正交系 1jV021211
8、 VWWVjjjjjjjj 3 Haar 小波多级分解与重构算法对能量有限且属于 的连续信号进行采样，产生一个近似信)(2RL号 。因为 是函数空间 的一个标准正交基，)(xfj ,/ Znxjj jV从而可以得到 在函数空间 的表示：)(fj j将 分解成奇部和偶部，即：kRakxaxfkj、,2)()(xfj，通过进一步计算 ,得12)(12jzkjjzjj )()()()()(2)( 1111 xfWkxaxaxf jjjzkkjjzkjkjj 其中 、 ，且 11jjW1jjV，)2()()21 kxaxjzkjkjj由 得：)()()( 121f jzkjkjj )()()(11xf
9、Wxfjjj ，将 分解成不同频率的分量。在0121 fWWfjjj fj分辨率下， 为信号的高频成分，表示信号的细节纹理；2j )(xj是信号的低频部分，也是信号的平滑逼近，代表信号的主体信)(1xfj息。小波重构算法是分解的逆过程，首先计算 ，再由数01fWf学归纳法计算出 。jf4 图像多尺度分解与重构的实现在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。首先，沿 方向分别用 和 做分析，把 ,分解成平滑逼近和细节两x)(x)(yxf部分，然后对这两部分再沿 方向分别用 和 做类似分析。y)(x)(对一幅二维离散图像进行二维小波变换，可以将它分解为各层各个分辨率上的近似分量，水平方向细节分量
10、，垂直方向细节分量，和对角线方向细节分量。二层小波图像重构过程与此相反。在 matlab 上验证了本文的图像分解与重构算法，给出了部分代码与验证结果（如图 1，图 2，图 3，图 4） 。图 1 未经尺度变换 图 2 经尺度变换 的 harr 小波变换图像 的 harr 小波变换图像图 3 重构图像 图 4 原图T=imread(F: 我的 xbshui.jpg);m=1; % M- - - - 小波变换的尺度T1=double(T);m,n=size(T);Tout=zeros(size(T);W1=zeros(size(T);% 小波变换W1=T1;for k=1:Mfor i=1:nW1
11、(:,i)=imagedwt(W1(:,i),1); %对列进行变换endfor i=1:mW1(i,:)=imagedwt(W1(i,:),1); %对行进行变换endfor i=1:mfor j=1:nTout(i,j)=W1(i,j);endendm=m/2;n=n/2;W1=zeros(m,n);for i=1:mfor j=1:mW1(i,j)=Tout(i,j);endendend% 尺度变换m,n=size(T);min=0;for i=1:mfor j=1:nif(Tout(i,j)max)max=Tout1(i,j);endendendif(max255)Tout1=(Tou
12、t1*(255/max).*2;end*/*% 图像重构部分程序K=J1;m,n=size(in);in1=double(in);V=zeros(m/(2(J1- 1),n/(2(J1- 1);Tout2=zeros(size(in);for k=1:Kfor i=1:m/(2(J1- 1)for j=1:n/(2(J1- 1)V(i,j)=in1(i,j);endendfor i=1:m/(2(J1- 1)V(i,:)=imageidwt(V(i,:),1); %对行进行变换endfor i=1:n/(2(J1- 1)V(:,i)=imageidwt(V(:,i),1); %对列进行变换en
13、dfor i=1:m/(2(J1- 1)for j=1:n/(2(J1- 1)in1(i,j)=V(i,j);endendJ1=J1- 1;V=zeros(m/(2(J1- 1),n/(2(J1- 1);end5 结语文中研究了基于 Haar 小波的图像多尺度分解与重构，给出了相关算法，并进行了成功验证。多尺度分解将图像分解成多个具有独特的频率特性和空间取向特性的分量，同时重构算法能很好地恢复图像，这些将为图像的分析和处理提供了良好的基础。参考文献：1 叶鸿基，张雪英，何小刚.基于小波变换和中值滤波的医学图像去燥J.太原理工大学学报，2005，36（5）:511- 512.2 孙凌宇，冷平，彭宣戈.一种基于 Haar 小波的塔式分解重构算法J.井冈山学院学报,2008,29(2):32- 33.3 Ingrid Daubechies 著.小波十讲.李建平、杨万年译M.北京：国防工业出版社，2004.
