1、小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数 (t)、()、尺度函数 (t)和 ()的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，(t) 、()、(t)和 ()从一个有限值收敛到 0 的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为 59
2、之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。这里常常见到“紧支撑” 的概念，通俗来讲，对于函数 f(x)，如果自变量 x 在 0 附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外， f(x)取值为 0，那么这个函数 f(x)就是紧支撑函数，而这个 0 附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing
3、 Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。小波的消失矩的定义为，若其中，(t) 为基本小波，0=j,kl,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为=j,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波
4、，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为 2Nr+1，分解支撑范围为 2Nd+1。biorNr.Nd 小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相位和较短支集的特性。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(bior)可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstr
5、uction are possiblewithFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except for Haar).Family BiorthogonalShortname biorOrderNr,Nd Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9Nr = 4 , Nd = 4Nr = 5 , Nd = 5Nr = 6 , Nd = 8Examples bior3
6、.1,bior5.5Orthogonal noBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT possibleSupport width 2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.Filters length max(2Nr,2Nd)+2 but essentiallybiorNr.Nd ld lr effective length effective lengthof Lo_D of Hi_Dbior1.1 2 2 bior1.3 6 2bior1.5 10 2 bior2.2 5 3 bior2.4 9 3 bior2.
7、6 13 3 bior2.8 17 3 bior3.1 4 4 bior3.3 8 4 bior3.5 12 4bior3.7 16 4bior3.9 20 4bior 4.4 9 7bior5.5 9 11bior6.8 17 11Regularity for psirec. Nr-1 and Nr-2 at theknotsSymmetry yes Numberof vanishingmoments for psi dec. NrRemark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction anddecomposition func
8、tions and filters are close in value.6、ReverseBior 小波由 Biorthogonal 而来，因此两者形式很类似。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(bior)可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possiblewithFIR filters (in orthogonal case it isimpossible ex
9、cept for Haar).Family BiorthogonalShortname rbioOrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9Nd = 4 , Nr = 4Nd = 5 , Nr = 5Nd = 6 , Nr = 8Examples rbio3.1,rbio5.5Orthogonal noBiorthogonal yesCompact support yesDWT possibleCWT
10、 possibleSupport width 2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.Filters length max(2Nd,2Nr)+2 but essentiallyrbioNd.Nr lr ldeffective length effective lengthof Hi_D of Lo_Drbio1.1 2 2rbio1.3 6 2rbio1.5 10 2rbio2.2 5 3rbio2.4 9 3rbio2.6 13 3rbio2.8 17 3rbio3.1 4 4rbio3.3 8 4rbio3.5 12 4rbio3.7 16 4rbio3.9 20 4rb
11、io4.4 9 7rbio5.5 9 11rbio6.8 17 11Regularity for psirec. Nd-1 and Nd-2 at theknotsSymmetry yes Numberof vanishingmoments for psi dec. NdRemark: rbio 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction anddecomposition functions and filters are close in value. 7、Meyer 小波Meyer 小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧
12、支撑的，但它的收敛速度很快。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(meyr)可得到如下信息：General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.Family MeyerShortname meyrOrthogonal yesBiorthogonal yesCompact support noDWT possiblebut without FWTFIR based approximation provides FWTCWT possibleSupport width infiniteEffective suppo
13、rt -8 8Regularity indefinitely derivableSymmetry yes8、Dmeyer 小波Dmeyer 即离散的 Meyer 小波，它是 Meyer 小波基于 FIR 的近似，用于快速离散小波变换的计算。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(dmey)可得到如下信息：Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.Family DMeyerShort name dmeyOrthogonal yesBiorthogonal yesCompact support yesDWT possib
14、leCWT possible9、Gaussian 小波Gaussian 小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(gaus)可得到如下信息：Definition: derivatives of the Gaussianprobability density function.gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-x2),n) wherediff denotesthe symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gaus(x,n
15、) = 1.Family GaussianShort name gausWavelet name gaus“n“Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT noCWT possibleSupport width infiniteEffective support -5 5Symmetry yesn even = Symmetryn odd = Anti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波Mexican Hat 函数为 Gauss 函数的二阶导数。因数它的形状像墨西哥帽的截面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。它在
16、时域和频率都有很好的局部化，但不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(mexh)可得到如下信息：Definition: second derivative of theGaussianprobability density functionmexh(x) = c * exp(-x2/2) * (1-x2)where c = 2/(sqrt(3)*pi1/4)Family Mexican hatShort name mexhOrthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT noCWT possi
17、bleSupport width infiniteEffective support -5 5Symmetry yes11、Morlet 小波Morlet 小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(morl)可得到如下信息：Definition:morl(x) = exp(-x2/2) * cos(5x)Family MorletShort name morlOrthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT noCWT possibleSupport width infinit
18、eEffective support -4 4Symmetry yes12、ComplexGaussian 小波属于一类复小波，没有尺度函数。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(cgau)可得到如下信息：Definition: derivatives of the complexGaussianfunctioncgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x2),n)where diff denotesthe symbolic derivative and where Cn is aconstantFamily Complex GaussianShort n
19、ame cgauWavelet name cgau“n“Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT noComplex CWT possibleSupport width infiniteSymmetry yesn even = Symmetryn odd = Anti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets ： shan在 Matlab 中输入命令 waveinfo(shan)可得到如下信息：Definition: a complex Shannon wavelet isshan(x) =Fb0.5*sin
20、c(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)depending on two parameters:Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyThe condition Fc Fb/2 is sufficient toensure thatzero is not in the frequency supportinterval.Family Complex ShannonShort name shanWavelet name shan“Fb“-“Fc“Orthogonal noBiorthogonal noComp
21、act support noDWT nocomplex CWT possibleSupport width infinite14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets (复高斯B 样条小波)样条函数（splinefunction）指一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(fbsp)可得到如下信息：Definition: a complex Frequency B-Splinewavelet isfbsp(x) = Fb0.5*(sinc(Fb*x/M)M*exp(2*i*pi*Fc*x)
22、depending on three parameters:M is an integer order parameter(=1)Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyFor M = 1, the condition Fc Fb/2 issufficient to ensurethat zero is not in the frequency supportinterval.Family Complex Frequency B-SplineShort name fbspWavelet name fbsp“M“-“F
23、b“-“Fc“Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT nocomplex CWT possibleSupport width infinite15、ComplexMorlet 小波Morlet 小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。在 Matlab 中输入命令 waveinfo(cmor)可得到如下信息：Definition: a complex Morlet wavelet iscmor(x) =(pi*Fb)-0.5*exp(2*i*pi*Fc*x)*exp(-(x2)/Fb)depending on two parameters:Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyFamily Complex MorletShort name cmorWavelet name cmor“Fb“-“Fc“Orthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWT nocomplex CWT possibleSupport width infinite
