1、小波变化在数字图像处理中的应用汇报人：李英磊 学号：2014020141在经典的信号分析理论中,傅里叶理论是应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但它只是一种纯频域的分析方法,不能提供局部时间段上的频率信息。随后的短时傅里叶变换STFT,虽然可以同时分析时域和频域信息,但是由于 STFT 的固定时窗,对于分析时变信号是不利的。这是因为时变信号中的高频一般持续时间很短,而低频持续时间比较长,所以都希望对高频信号采用大的时窗,对低频信号采用小的时窗进行分析。小波变换正是在这样的背景下发展起来的。近年来,小波变换作为一种变换域信号处理方法,得到了非常迅速的发展,在信号分析、图像处理、地震勘探和非线性科
2、学等诸多领域得到了广泛的运用。小波理论为各种信号及图像处理方法提供了一种统一的分析框架,成为当前信号与图像处理等众多领域的研究热点。1、小波变换小波变换是一种窗口大小固定不变,但其形状可以改变的局部化分析方法。小波变换在信号的高频部分可以取得较好的时间分辨率;在信号的低频部分,可以取得较好的频率分辨率,从而能有效地从信号(如语音、图像等 )中提取信息。小波变换分为以下两种:1.1 连续小波变换短时傅里叶变换(STFT),其窗口函数是通过函数时间轴的平移与频率限制得到的,由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言,需要时频窗口具有可调的性质,即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性
3、,而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此,特引入窗口函数 并定义平方可积分函数的连续小波变换为:abttba1)(,a!=0 （1）dttfWTf),(式中:a 称为尺度参数;b 称为平移参数。很显然,并非所有函数都能保证式(1)中的变换对于所有 fL2(R)均有意义;另外,在实际应用中,尤其是信号处理以及图像处理的应用中,变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段,最终目的需要回到对原问题的求解,因此还要保证连续小波变换存在逆变换。同时,作为窗口函数,为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰减特性,经常要求函数 (x)具有如下性质:，1xC-1）（ C式中:C 为与 x, 无关的常数 ;0。1
4、.2 离散小波变换进行数字信号处理时要采用离散化处理。离散小波变换针对尺度参数 a、平移参数 b进行离散化,最常用的是二进制动态采样网络,每个网格点对应的尺度为 2j,平移为 2jk,即:（2）zkjttjjkj ,)2()(/, 该离散化小波称为二进制小波。二进制小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一开始选择一个放大倍数,它对应为观测信号的某部分内容。如果想进一步观看信号的更小细节,则需要提高放大倍数,即减小 j值。在这个意义上讲,小波变换被称为数学显微镜。2、离散小波变换的 Mallat 算法Mallat 在 1988 年提出 Mallat 算法,计算离散小波变换,其基本思想如下:假定已
5、经计算出一函数或信号 f(t)L2(R)在分辨率 2-j 下的离散逼近 Ajf(t),则 f(t)在分辨率 2-(j+1)的离散逼近 Aj=1f(t)可通过离散低通滤波器 Ajf(t)的滤波来获得。令 (t)和 (t) 分别是信号 f(t)在分辨率 2-j 逼近下的尺度函数和小波函数,则其离散逼近 Ajf(t)和细节部分 Djf(t)可分别表示为:（3）kkjj tCtfA)()(,（4）kkjj tDtf)()(,式中:Cj,k 和 Dj,k 分别为 2-j 分辨率下的粗糙系数和细节系数;Ajf(t) 和 Djf(t)分别称为逼近(粗糙)信号和细节信号。根据 Mallat 算法的分解思想,A
6、jf(t)分解为粗糙部分 Aj+1f(t)和细节部分 Dj+1f(t)之和,即：（5）)()()(11tfDtfAtfjjj 其中：（6）mmjjj tCtf)()(,1,1（7）kjkjj tDtf)()(,1,1信号相当于通过两个互补滤波器(一个高通滤波器、一个低通滤波器) 形成的细节信号和逼近信号。但在实际操作时,一个 1 000 点的采样信号,经过两个滤波器将分别输出 1 000个值,共 2 000 个采样,是原始信号的 2 倍。为了减少数据量,小波分析中引入下采样(Downsampling),即从每两个采样点中取出一个作为采样值且保持数据量不变。分解过程可以重复进行,即逼近信号可以继
7、续被分解,因此一个信号可以被分解为许多低分辨分量,称之为小波分解树(Wavelet Decomposition Tree)。虽然理论上小波分解是可以无限进行下去的,但实际中分解只能进行到细节信号为一个采样,因此进行小波变换时应根据信号的特性选择合适的分解阶数。3、小波变换在数字图像处理中的应用小波变换是对传统傅里叶变换的集成和发展,其多分辨率分析具有良好的时频特性。对高频采用逐渐精细的时域步长,可以聚焦到分析对象的任意细节,因此特别适合于图像信号这一类非平稳信号的处理,已成为一种图像处理的新手段。其具体应用如下:3.1 基于小波变换的图像压缩基于二维小波分析的图像压缩方法有很多,比较成功的有小
8、波包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。二维小波分析用于图像压缩是小波应用的一个重要方面。一个图像做小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子图像。不同分辨的子图像对应的频率是不同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点的数值都接近于 0,越是高频,这种现象越明显。对一个图像来说,表现一个图像的最主要的部分是低频部分,所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解去掉高频部分而只保留低频部分。3.2 基于小波变换的图像去噪用二维小波分析的方法对二维信号进行去噪处理的步骤如下:(1)二维信号的小波分解。选择一个小波和一个小波分解的层次 N,然后计算信号 s 到第N 层的分解。(2)对高频系数进行阈值量
9、化。对于从 1N 的每一层,选择一个阈值,并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。(3)二维小波重构。根据小波分解的低频系数和经过修改的从第一层到第 N 层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。其中,重点是如何选取阈值和对阈值的量化。3.3 基于小波变换的图像增强小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向不同的分量。在做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小,这样就能够有选择地放大所感兴趣的分量而减少不需要的分量。3.4 基于小波变换的图像融合图像融合是将同一对象的两个或更多的图像合成在一幅图像中,使得它比合成前的任何一幅图像都更容易为人们所理解。图像融合分为三个层次:像素级融合、特征级融
10、合及决策级融。像素级融合是最低层次的融合,也是后两级的基础,它是将各原图像中对应的像素进行融合处理,精度比较高,因而备受人们的重视。像素级图像融合方法大致分为三大类:简单的图像融合方法;基于塔形分解的图像融合方法 ;基于小波变换的图像融合方法。图像融合这一技术可运用于多频图像理解以及医学图像处理等领域。在这些场合,同一物体部件的图像往往是采用不同的成像机理得到的。4、编程实现下面是使用 matlab 编程实现小波变化对一幅图像进行处理，从而得出 4 个坐标图的程序，该程序是将一个信号，分成三个高频信号+一个低频信号。三个高频信号又包括水平方向、垂直方向、45 度方向。低频信号保留有图像信息和特
11、征。A = imread(image.bmp);B = A(:,:,1);lowf,highfH,highfV,highfD,C,S = wavelet2D(double(B),morlet,2);functionlowf,highH,highV,highD,C,S = wavelet2D(signal,wavelet,level)C,S=wavedec2(signal,level,wavelet);lowf = appcoef2(C,S,wavelet,level);highH=detcoef2(h,C,S,level);highV=detcoef2(v,C,S,level);highD=detcoef2(d,C,S,level);A = wrcoef2(a,C,S,wavelet,level);Dh =wrcoef2(h,C,S,wavelet,level);Dv =wrcoef2(v,C,S,wavelet,level);Dd =wrcoef2(d,C,S,wavelet,level);subplot(2,2,1),image(A);subplot(2,2,2),imshow(Dh);subplot(2,2,3),imshow(Dv);subplot(2,2,4),imshow(Dd);
