1、 高考数学单元试题（理） 第 1 页，共 12 页 高考数学单元试题（理）第 2 页，共 12 页函数测试题（6）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 “ ”是“cos ”的( )3 12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2若 x0 是方程式 lg xx2 的解，则 x0 属于区间( )A(0,1) B (1,1.25) C(1.25,1.75) D(1.75,2)3
2、设集合 Ax| yln(x3)，B x|y ，1 4 5x x2则 AB( )A B (3,4) C(2,1) D(4，)4下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )5已知函数 f(x)2 x2，则函数 y|f (|x|)|的图像可能是( )6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系： M(t) ，其中302tM0 为 t0 时铯 137 的含量已知 t30 时，铯 137 含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则 M
3、(60)( )A5 太贝克 B75ln 2 太贝克C150ln 2 太贝克 D150 太贝克7设 f(x)lg( a)是奇函数，则该函数是( )21 xA( ，)上的减函数 B(，) 上的增函数C(1,1)上的减函数 D(1,1) 上的增函数8函数 f(x)e xln x，g(x) e x ln x，h(x)e x ln x的零点分别是 a，b，c，则( )Aa2时，f(x )单调递增，如果 x1x 20，b0 则下列命题正确的是( )A若 2a2a2 b3b，则 ab B若 2a2a2 b3b，则 ab D若 2a2a2 b3b，则 a0，且 a1)在区间 内(0，12)恒有 f(x)0，则
4、 f(x)的单调递增区间是_15设函数 f(x)x(e xae x )(xR)是偶函数，则实数 a 的值为_16关于 x 的方程 有负数根，则实数 a 的取值(32)x2 3a5 a范围为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x) ，x1 x(1)画出 f(x)的草图； (2)由图象指出 f(x)的单调区间；(3)设 a0，b0，c 0，abc，证明：f (a)f (b)f(c)18 （本小题满分 12 分）设 f(x) ，g( x)ax52a( a0)2x2x 1(1)求 f(x)在 x0,
5、1 上的值域；(2)若对于任意 x10,1 ，总存在 x00,1，使得 g(x0)f(x 1)成立，求 a 的取值范围tesoon天星 om权天星 om权T天 星版权tesoontesoontesoon天 星高考数学单元试题（理） 第 3 页，共 12 页 高考数学单元试题（理）第 4 页，共 12 页19 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)x 22exm 1，g( x)x e2x(x0)(1)若 g(x)m 有实根，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根20 （本小题满分 12 分）对于函数 yf(x )，定义：若存在非零常数 M、T
6、，使函数 f(x)对定义域内的任意实数 x，都满足 f(xT )f(x)M，则称函数 yf(x) 是准周期函数，常数 T 称为函数yf (x)的一个准周期如：函数 f(x)2xsin x 是以 T2为一个准周期且 M4 的准周期函数(1)试判断 2是否是函数 f(x)sin x 的准周期，说明理由(2)证明函数 f(x)x(1) x(xZ)是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的 M 的值；21 （本小题满分 13 分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户
7、该月用水量分别为 5x,3x(吨) (1)求 y 关于 x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费22 （本小题满分 13 分）已知二次函数 f(x)ax 2bx 1，对于任意的实数x1，x 2(x1x2)，都有 f 成f（ x1） f（ x2）2 (x1 x22 )立，且 f(x2)为偶函数(1)求 a 的取值范围(2)求函数 yf(x )在a，a2上的值域(3)定义区间m，n的长度为 nm ，是否存在常数 a，使函数 yf(x) 在区间 a,3的值域为 D，且 D 的长度为 10a 3.高考数学单元试题（理） 第 5 页，共 12 页 高
8、考数学单元试题（理）第 6 页，共 12 页函数测试题（6）答案 一、选择题1 “ ”是“cos ”的( )3 12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析： 时，如由 可以得出 cos ，故 不是 cos 的充分条件；但 cos 时，一定不会有 ，故3 3 12 3 12 12 3“ ”是“cos ”的必要而不充分条件故选 B.3 12答案：B2若 x0 是方程式 lg xx2 的解，则 x0 属于区间( )A(0,1) B(1,1.25)C(1.25,1.75) D(1.75,2)解析：令 f(x)lg x x2，则 f(2)lg 2 0，f(1.7
9、5)lg lg74 14 744107 42 401，(4 )42 560，41074 ，f(1.75) 0，410方程 lg xx2 的解属于区间(1.75,2)答案：D3设集合 Ax| yln(x3)，B x|y ，则 AB( )1 4 5x x2A B(3,4)C(2,1) D(4，)解析：集合 A(3，) ，集合 B 中的 x 满足45xx20 ，即 x25x40，e x1，故ln x1，即 ln x0,00,02 时，f (x)单调递增，如果 x1x 22 时，f (x)单调递增且 f(x) f (x4)，所以有 f(x2)0，b0 则下列命题正确的是( )A若 2a2a2 b3b，
10、则 ab B若 2a2a2 b3b，则 ab D若 2a2a2 b3b，则 a2b2b.构造函数：f (x)2 x2x， 则 f(x)2 x2x 在 x0 上单调递增，即 ab 成立，故 A 正确，B 错误其余 选项 用同样方法排除答案：A 12. 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示从目前记录的结果 看，前 m 年的年平均产量最高， m 值为( )A5 B7 C9 D11解析：本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速 度的快慢法一：因为随着 n 的增大，S n 在增大，要使 取得最大值，只要让随着 n 的Snn增大 Sn1 S n 的值超过 (平均变
11、化) 的加入即可，S n1 S n 的值不超过 (平均变化)的舍去，由图像可知，Sn 1 S1n Sn 1 S1n6,7,8,9 这几年的改变量较大，所以 应该加入，到第 10,11 年的 时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为 C.法二：假设 是 取的最大值 ，所以只要 即可，也就是 ，即可以看作点 Qm(m，Sm)与 O(0,0)Smm Snn SmmSm 1m 1 Sm 0m 0 Sm 1 0m 1 0连线的斜率大于点 Qm1 (m1， Sm1 )与 O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第 Q9(9，S9)与 O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与 O(0,0
12、)连线的斜率答案为 C.答案：C二、填空题13.某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.解析：由 yError!可得 x9.答案：914.若函数 f(x)log a(2x2x )(a0，且 a1)在区间 内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间是_(0，12)解析：当 x 时，2x 2x (0,1)，由 f(
13、x)在 内恒有 f(x)0 知：00，b0，c 0，abc，证明：f (a)f (b)f(c)解析：(1)由 f(x) 得 f(x)1 .x1 x 1x 1f(x)的图象可由 y 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到(如1x图)(2)由图象知( ，1)，(1，) 均是 f(x)的单调增区间(3)证明：f(x)在( 1，)为增函数， 0， 0，abc0，a1 a a1 a b b1 b b1 a bf(a)f(b) f (c)，a1 a b1 b a b1 a b c1 cf(a)f(b)f(c)18(12 分) 设 f(x) ，g(x)ax52a(a0)2x2x 1(1)求
14、f(x)在 x0,1 上的值域；(2)若对于任意 x10,1 ，总存在 x00,1，使得 g(x0)f(x 1)成立，求 a 的取值范围解析：(1)方法一 (导数法)f(x )4xx 1 2x2x 12 0在 x0,1 上恒成立2x2 4xx 12f(x)在0,1上单调递增， f(x)在 x0,1上的值域为0,1方法二 f(x) Error! x(0,1 ，用复合函数求值域2x2x 1方法三 f(x) 2( x1) 4，用均值不等式求值域2x2x 1 2x 12 4x 1 2x 1 2x 1(2)f(x)在 x0,1 上的值域为0,1，g(x)ax52a(a0)在 x0,1上的值域为5 2a,
15、5a由条件，只需0,152a,5a，Error! a4.5219(14 分) 已知函数 f(x)x 22e xm 1，g(x)x (x0)e2x(1)若 g(x)m 有实根，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根解析：(1) 方法一 g( x)x 2 2e ，等号成立的条件是 xe.e2x e2故 g(x)的值域是2e，)，因而只需 m2e，则 g(x)m 就有实根方法二 作出 g(x)x 的图像如图：e2x可知若使 g(x)m 有实根，则 只需 m2e.方法三 解方程由 g(x)m，得 x2mx e 20.此方程有大于零的根，故Error!等
16、价于Error! ，故 m2e.(2)(e 22e1，)20(本小题满分 14 分)(2010江苏泰州)对于函数 yf(x)，定义：若存在非零常数 M、T，使函数 f(x)对定义域内的任意实数 x，都满足 f(xT )f(x )M ，则称函数 yf(x)是准周期函数，常数 T 称为函数 yf(x)的一个准周期如：函数 f(x)2xsin x 是以 T2 为一个准周期且 M4 的准周期函数(1)试判断 2是否是函数 f(x)sin x 的准周期，说明理由(2)证明函数 f(x)x(1) x(xZ)是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的 M 的值；高考数学单元试题（理） 第 11 页，共 12
17、 页 高考数学单元试题（理）第 12 页，共 12 页解析：(1)f(x)sin x ，f(x 2)f( x)sin(x2)sin x sin xsin x0，2 不是函数 f(x)sin x 的准周期(2)f(x) x(1) x(xZ)，f(x 2)f(x)( x2)(1) x2 x( 1) xx2(1) xx (1) x2(非零常数) ，函数 f(x)x( 1) x(xZ)是准周期函数，T2 是它的一个准周期，相应的 M2.21某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲
18、、乙两户该月用水量分别为 5x,3x(吨)(1)求 y 关于 x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解析：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x4时，乙的用水量也不超过 4 吨，y(5x3x)1.814.4x；当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨时，即 3x4且 5x4.y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时，y24x 9.6，所以 yError!(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增当 x0 ， 时，y f( )ff（ x1） f（ x2）2成立，且 f(x2
19、)为偶函数(x1 x22 )(1)求 a 的取值范围(2)求函数 yf(x )在a，a2上的值域(3)定义区间m，n的长度为 nm ，是否存在常数 a，使函数 yf (x)在区间a,3 的值域为 D，且 D 的长度为 10a 3.解析：(1)由 f(x2)为偶函数可得 f(x)ax 2bx1 的图象关于直线 x2 对称，则b2a2，b4a，f(x )ax 24ax1.对于任意的实数 x1，x 2(x1x2)，都有 f 成立，f（ x1） f（ x2）2 (x1 x22 )则 f a(x1x 2)20.因为 x1x2，所以(x 1x 2)20，故 a0.f（ x1） f（ x2）2 (x1 x22 ) 14(2)f(x)ax 24ax1a( x2) 214a，因为 a0，所以 a22.当 02 时，f( x)mina 34a 21，f(x) maxa 34a1，f(x)a 34a 21，a 34a1(3)由(2)知，当 09，不合题意；当 12，所以 a10a 3，不合题意；当 2a3 时，f(x) mina 34a 21，f(x) max13a，f(x) maxf(x) min13a(a 34a 21) 10a 3，故4a23a100，因为 2a3，所以 a2.
