1、重庆市第八中学 2017届高三上学期适应性月考（三）理数试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 103xP ， 24Qxy，则 PQ（ ）A 1, B ,2 C 1, D ,31,【答案】B考点：集合的交集运算.2. 下面四个条件中，使 xy 成立的充分不必要的条件是（ ）A 10yx B 1 C 2y D 3xy【答案】A【 解析】试题分析：A 10xyy ，所以 10yx 是 y 成立的充分不必要的条件；故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断【方法点睛】充分不必要条件、必要不充
2、分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： 充分不必要条件：如果 pq，且 ，则说 p是 q的充分不必要条件； 必要不充分条件：如果 pq，且 ，则说 p是 q的必要不充 分条件； 既不充分也不必要条件：如果 pq，且 ，则说p是 q的既不充分也不必要条件.3. 已知 1log210fxa 且 若 43f，则 a（ ）A 2 B C D2【答案】C【解析】试题分析：由 01log4,223x， 2a，故选 C.考点：分段函数.4. 已知直线 1:40laxy与直线 2:80lxay平行则 a（ ）A1 或 2 B 3 C.1 D 【答案】C【解析】试题分析：因为 12l ，所以 120a，
3、解得 1a或 2，当 a时， 1l与 2重合，故选 C.考点：直线与直线的位置关系.5. 若向量 a， b满足： ， b， b，则 ， b的夹角为（ ）A 3 B 2 C. 4 D 3【答案】D考点：平面向量的数量积.6. 已知圆 2:0Mxyax 截直线 0xy所得线段的长度是 2，则圆 M与圆:19N的位置关系是（ ）A内切 B相交 C.外切 D相离【答案】B【解析】试题分析：圆 M圆心坐标为 ,0a，由题意得 222a且 0a ，解得 2，则175N ，故选 B.考点：直线与圆的位置关系.7. 已知点 0,3P，抛物线 2:4Cyx的焦点为 F，射线 P与抛物线 c相交于点 A，与其准线
4、相交于点 B，则 :AFB（ ）A 3:10 B :10 C.1:2 D1:3【答案】B考点：直线与抛物线的位置关系.8. ABC中，角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 12b， sini2BAa，则 ABCS的最大值为（ ）A 38 B 16 C. 324 D 8【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理知 sinsin2BBA，即 sicosinis22BBA，故 1cos2，所以23B，又 1b，由余弦定理得 2=3bacaac ， ，故3sin48ACSac，故选 D.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.9. 设 fx为 R上的奇函数，且当 0x 时， 31fx，则 0fx
5、的解集为（ ）A 01,2， B 1, C. ,2, D ,1,【答案】A【解析】试题分析： 1010fxx 或 10x 或 12 ，故选 A.考点：函数的奇偶性.10. 若一个几何体的三视图如图 1所示，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A 34 B 803 C.91 D 4【答案】C考点：1.空间几何体的三视图；2.球的性质.11. 甲、乙、丙、丁、戊 5名学生各自在 3门数学选修课：数学史、数学建模和几何画板中任选一门学习，则这三门课程都有同学选修且甲不选修几何画板的概率为（ ）A 23 B 9615 C.328 D 1043【答案】D【解析】试题分析：5 名学生任选一门的做法为 53
6、24，三门课程都有同学选修的做法为312132350XCA，三门课程都有同学选修且甲不选几何画板的做法为 21503，所求的概率为 04P，故选 D.考点：排列组合.【思路点睛】首先由 5名学生任选一门的做法共有 5324，三门课程都有同学选修的做法为312135230XCA，三门课程都有同学 选修且甲不选几何画板的做法为 21503，然后再根据古典概型即可求出概率.12. 设函数 sinxfe，则方程 xffx在区间 2014,6上的所有实根之和为（ ）A2015 B4030 C.2016 D4032【答案】B考点：导数的应用.【思路点睛】由 sincosxfex及 ffx得sinco1in
7、xxeicos，由此方程易知 sin0x， cos0x，则有tan1，由于 tayx与 y的图象均关于点 1,0对称，然后再根据对称性即可求出结果.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 已知 2cos3， 3,2，则 tan 【答案】 2【解析】试题分析：易知 2sin3，又 3,2，所以 1cos3，故 tan2.考点：诱导公式的应用.14. 设 x， y满足约束条件10,42,xy 则 4xy的最大值为 【答案】16【解析】试题分析：作出可行域易知目标函数 2zxy过两直线 10xy， 420xy的交点 1,2A时取最大值为 4， 2xyxy的
8、最大值为 16.考点：简单的线性规划.15. 512axx的展开式各项系数的和为 3，则展开式中 2x的系数为 【答案】 80考点：二项式定理.【思路点睛】令 1x，得各项系数的和为 51213aa，则 2a，51x的展开式的通项为 5251 0,34,rrrrTCxx.要得到 2x， x中的 与 31452TC相乘，得到 260； 与 435T相乘，得到 28；由此即可求出结果.16. 双曲线 2:10,xyab 的左、右焦点分别为 1F， 2， A， B是 左支上两点且 13AFB，290ABF，则双曲线 C的离心率为 【答案】 1考点：直线与双曲线的性质.【思路点睛】设 1FBx，则 1
9、3Ax，在 2RtABF中， 4x， 2BFax， 23AFax，由勾股定理得 2224xa，解得 a，在 12t中， 2c，将 代入得210ac，然后再利用离心率公式即可求出结果.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12分）已知 nS为数列 na的前 项和，且满足 1a， 41nnS（1）求数列 na的通项公式；（2）求证： 1212na 【答案】 （1） 4na；（2） n【解析】试题分析：（1）由 1nS及 142nS ，得 142na ，因为 1a， 24，24a，故 1n，由此即可求得 na是以 1为首项，4
10、为公比的等 比数列，据此即可求出结果；（2）因为1142nna.然后再根据等比数列的前 n项和，即可求出结果.试题解析：（1）解：由 14nS及 142nS ，得 142na ，因为 1a， 24， 2a，故 n，所以 a是以 1为首项，4 为公比的等比数列，故通项公式 n.（2）证明：因为 1142nnna .所以 1112 2nnna .考点：1.等比数列的定义；2.等比数列的前 项和.18. （本小题满分 12分）如图 2，正三棱柱 1ABC中， D， E， M分别是线段 BC， 1， A的中点， 124AB（1）求证： DE 平面 1AMC；（2）在线段 1上是否存在一点 P，使得二面
11、角 1ABCP的余弦值为 71938？若存在， 求出 AP的长；若不存在，请说明理由【答案】 （1）详见解析；（2） 1PA试题解析：（1）证明：如图 2，连接 1AC，设 O为 1， 1AC的交点，由题意可知 O为 1AC的中点，连接 M， E， D， M，E分别为 B， 中的 边上的中位线，2MD， 2E，O，四边形 为平行四边形，DE又 平面 1AMC， O平面 1AC，平面 解得 1a或 375（舍） ，存在点 P，使得二面角 1ABCP的余弦值为 71938，此时 1PA.考点：1.线面平行的判断；2.二面角.【一题多解】法二：向量法，如图 4，建系，设 PAa，则 0,D， 3,0
12、A， 3,0Pa，13,04A， ,10B，则 3,0PDa， 3,1B，设平面 BC的法向量为 11,nxyz，则10,nPDB解得 1,03na.同理， 13,04AD， 13,4AB， 设平面 1BCA的法向量为12,xyz，则 120,nAB解得 24,03n.如图易得所求二面角为锐角，设为 ，则122719cos 83an，解得 1a或 375（舍） ，所以存在点 P，使得二面角1ABCP的余弦值为 ，此时 PA.19. （本小题满分 12分）为了了解培训讲座对某工厂工人生产时间（生产一个零件所用的时间，单位：分钟）的影响从工厂随机选取了 200名工人，再将这 200名工人随机的分成 A， B两组，每组 100人 A组参加培训讲座， B组不参加培训讲座结束后 A， B两组中各工人的生产时间的调查结果分别为表 1和表 2表 1：生产时间 60,565,7070,575,80人数 30 40 20 10表 2生产时间 60,565,7070,575,8080,5人数 10 25 20 30 15（1）甲、乙两名工人是随机抽取到的 200名工人中的两人，求甲、乙分在不同组的概率；（2）完成图 3的频率分布直方图，比较两组的生产时间的中位数的大小和两组工人中个体间的差异程度的大小；（不用计算，可通过直方图直接回答结论）
