1、将重复的传动比去掉，剩下 8 个不同的比，所以有 8 档不同的车速。讨论现实生活中处处都有美妙的数学问题，本题只是一个例子。出这道题的用意就是鼓励同学们留心注意周围的事物，并用课堂中学到的知识，去解决实际问题。对于爱动脑筋，喜欢寻根问底的同学，大概不会满足于懂得解答本题。他们也许会去找一辆真正变速车，实地数一数主轴和后轴齿轮的齿数。他们会发现，这里边还有许多更有趣的数学问题哩！有一辆 12 速的山地车（实物），它的主轴有 3 个齿轮，齿数分别是48，38，28；后轴有 6 个齿轮，齿数分别是 28，24，20，18，16，14。如果按刚才的解法，列出下面的传动比：分析从“被加数的数字和是和数的
2、数字和的三倍”这句话，可以推断出两点：被加数可以被 3 整除，和数也可以被 3 整除；在加法运算时，个位数相加一定有进位，否则和数的数字和只会增加。解法因为个位数相加必有进位，所以被加数的个位数只可能是 7，8 或9。又出为被加数是 3 的倍数，它只能是下面几种情形：个位数是 7，被加数可能是 27，57，87，经验算，27 满足题目要求。个位数是 8，被加数可能是 18，48，78，经验算，18 满足要求。个位数是 9，被加数可能是 39，69，99，都不满足题目要求。因此，满足题目的最小的被加数是 18。（8）筐中有 60 个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有
3、多少种分法？答案8 种。分析“每堆个数相同”和“偶数堆”二个条件合起来，就是要求 60 的偶因子的个数，因为每个偶因子对应于一种符合条件的分法。解法 1直接列举出 60 的偶因子：2， 4， 6， 10，12，20，30，60。共8 个。解法 2 60 的偶因子个数与 30 的因子个数相同。 30=235。所以因子个数为：（1+1）（11）（1+1）8。（9）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，其中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分。小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套 10 次共得了 61 分。问：小鸡至少被套中多少次？答案本题的解法看来没有太多技巧，只
4、能用试凑法。因为问小鸡至少被套中多少次，很自然会想到从多往少地试小鸡被套中的次数。解法 1设小鸡被套中次数为 x。x 不能多于 6，否则得分超过了 61 分。x=6，套中小鸡得分为 69=54，余下 4 次套小猴和小狗，得分最少的情况是套中小猴 1 次，小狗 3 次，得 523=11 分。总得分 65，超过 16 分， 所以不可能套中小鸡 6 次。x=5，套中小鸡 5 次得 45 分。余下 5 次套小猴和小狗应该得 16 分。如果套中小猴 2 次得 10 分，套中小狗 3 次得 6 分，符合要求。因此，小明至多套中小鸡 5 次。解法 2设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，那么套中小狗（10-
5、x-y）次。得分为 61 分，所以9x+5y+2（10-x-y）=61化简后得 7x=41-3y。显然 y 越小，x 越大。将 y=1 代入得 7x=38，无整数解。若 y= 2，7x=35，解得 x=5。因此，小明至多套上小鸡 5 次。（10）车库中停放若干辆双摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是 25。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？答案31解法 1车库中，平均每 2 辆车有 5 个轮子。也就是说，平均每 4 辆车有10 个轮子。用简单的试凑法可以知道，1 辆小卧车和 3 辆摩托车恰好是 10 个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为 31。解法 2设有摩托车 x
6、辆，小卧车 y 辆。由题意讨论本题其实是换一种形式描述的“鸡兔同笼”问题，而且只是求二种车数之比。解法 2 是鸡兔同笼问题的列方程解法，在一般情况下都适用。解法2 中用试凑法，解本题时很方便，不懂得解方程的学生容易理解。即使给出的数字变得复杂些，也不难算出结果。例如在本题中，设车的辆数与车轮子数之比是 4199，怎么算？平均每 82 辆车有 198 个轮子。0 辆小卧车和 82 辆摩托车共 164 个轮子。每增加 1 辆小卧车（相应减少 1 辆摩托车），增加 2 个轮子。（198-164）2=342=17（小卧车）。82-17=65（摩托车）。摩托车辆数与小卧车辆数之比是 6517。（11）有
7、一个时钟，它每小时慢 25 秒，今年 3 月 21 日中午十二点它的指示正确。请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？答案1993 年 6 月 1 日中午 12 点钟。解当这个时钟总共慢 12 个小时的时候，它又指示 12 点，恰好是准确的时间。先求出多少小时后慢 12 个小时。因为每小时慢 25 秒，而 1 小时=60 60 秒。再求出它相当于多少天：最后求出 3 月 21 日后的 72 天是几月几日？注意 3 月份有 31 天，4 月份有30 天，5 月份有 31 天，到 6 月 1 日中午，恰好是 72 天。（12）某人由甲地去乙地。如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换
8、骑自行车 9 小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行 21 小时，再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？答案 15 小时。分析在分析行程问题时，一般部是在草稿纸上先画出粗略的示意图。本题给出的两种行进方式是可以看出：摩托车走 12-84 小时的路程，自行车要用 21-9=12 小时。这就是解题的关链。如果我们将第二次行进方式次序改一下，与第一次作比较，就可以看得更清楚了：解摩托车是 12-8=4 小时的路程，自行车要用 21-9=12 小时。摩托车走完全程需要（13）下图的二个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30厘米。二只甲虫
9、同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿二个圆爬行。问：当小圆上的甲虫爬了几圈时，二只甲出相距最远？答案4 圈。分析圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远。如果沿小圆爬行的甲虫爬到 A 点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到 B 点，二甲虫的距离便最远。小圆周长为 30=30，大圆用长为 48，一半便是 24。问题便变为求 30 和24 的最小公倍数问题了。30 和 24 的最小公倍数，相当于 30 与 24 的最小公倍数再乘以 。解法 30 与 24 的最小公倍数是 120，120304120245。（14）某种少年读物，如果按原定价格销售，每售一本，获利 0.24 元；现在降价销售，结果
10、售书量增加一倍，获利增加 0.5 倍。问：每本书售价降价多少元？答案降低 0.06 元。（元），每本获利 0.18（元），所以每本书售价降低 0.24-0.18=0.06（元）。（15）有一座四层楼房，每个窗户的 4 块玻璃分别涂上红色和白色，每个窗户代表一个数字。每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数。四个楼层表示的三位数有：791，275，362，612。问：第二层楼表示哪个三位数？答案612。分析一个窗户相当于代表一个数字的符号，从给出的条件设法推断出每个符号代表什么数字，便可以回答本题了。解给出的 4 个数中 362 和 612 个位数相同，第二和第四层右边窗户符号也相同，可以肯定这
11、两层分别代表 362 和 612。这二个数中又有数字 6 是一样的，对照第二层和第四层的窗户，进一步确定第二层代表 612（同样，很容易确定每层所代表的数字）。注本题与第三届“华杯赛”复赛第一道参考试题性质近似。解这类题时，在乘、除运算中，小数宜写成分数、代分数宜化成假分数并将运算结果及时约分；在加、减运算中，当小数、分数都出现时，通常宜于都化为分数，因为，分数化为小数时，有可能出现无限循环小数；当然，在能都化成有限小数时，也可以都化为小数。（2）电视台要播放一部 30 集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？分析由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天
12、播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。我们知道，1+ 23+ 4567= 28。所以，如果各天播出的集数分别为 1，2，3，4，5，6，7 时，这七天共可插出 28 集，还剩 2 集未播出。由于已有过一天播出 2 集的情形，因此，这余下的 2 集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8 或 1，2，3，4，5，6，9 都可以。答最多可以播 7 天。注本题实际上是问，把正整数 30 分拆成互不相等正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个正整数
13、之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=11111=1112=122=113=23=14 共 6 种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。（3）一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率=3.14）。分析由于是正方形纸盒，所以它的长、宽、高相等。又因为圆柱体“恰好”能放入，所以圆柱体的高等于纸盒的高，而后者又与圆柱体底面的直径相等。从而，圆柱体的体积 V 既等于 6.28 立方厘米，又等于 3.14（底面半径）22 倍的底面半径=6.28（底面半径）3 立方厘米由此可见，圆柱的底面半径等于 1（厘米），从而底面直径等于 2 厘米，由此即知纸盒的容
14、积是 222=8立方厘米。答纸盒的容积是 8 立方厘米。（4）有一筐苹果，把它们三等分后还剩 2 个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩 2 个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩 2 个，问：这筐苹果至少有几个？分析我们面对着最后剩下的 2 个苹果，它们是把某两份苹果三等分后剩下的。换句话说，把所剩的 2 个苹果与三等分的三份苹果放在一起，应是上一轮分割中的两份。所以这个总数必须能被 2 整除。题中又问这筐苹果“至少”有几个，从而上述总数又应尽可能地少。三份苹果中，每份最少有 1 个苹果，于是三份便是 3 个。23= 5，但 5 不被 2 整除，所以每份不应只有一个苹果。退而求其次
15、：设三份苹果中每份是 2 个，从而三份共 6 个，26= 8，于是可设上一轮中共有 234=14 个苹果。14 个又是第一轮分割时三等分所得的 2 份，从而依题义，最初的苹果应有 237=23 个。解用倒推法可见，原有苹果数是解 如图，将 A1D1 向右延长，C1E1 向上延长，交于 E 点，那么正方形A1BC1E 的面积，等于长方形 ABCD 周长一半的平方。即 64 平方厘米。长方形 ABCD 与 D1DE1E 是全等的。而正方形 A1ADD1 与 DCC1E1 的面积之 米。64-34= 30 平方厘米应等于长方形 ABCD 面积的 2 倍。所以 ABCD 的面 在 21 世纪内的前 5
16、 届年份各位数字和是 2525=35。接下去的每 5 届递加数字 5（因为年份的十位数字各增了 1），于是前 47 届年份各位数字的和等于17035+404550556065701704105590再加上前 50 届中最后三届年份的各位数字的和：2383（135）=6249=39。得 A50 590+39=629。答 A50=629注以上的分析与计算，主要用了分段处理问题的想法，例如分“世纪”作考虑，并且分“年代”作考虑。在计算中，主要依据了整数相加有交换律，可以把相同的项调集在一起计算，以便用乘法代替连加。（8）将自然数按如下顺次排列：1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4
17、9 13 10 12 11 在这样的排列下，数字 3 排在第二行第一列，13 排在第三行第三列，问：1993 排在第几行第几列？分析我们来分析一下给出阵列中每一斜行的规律。这里第 2 斜行的数字是 3，2；第 3 斜行的数字是 4，5，6；余此类推。仔细观察后我们会发现：奇数斜行中的数字由下向上递增；偶数斜行中的数字由上向下递增。如果我们找出 1993 位于斜行的第几位，再换算成原阵列中的第几行第几列，问题便解决了。解经试算，第 62 斜行中最大的数字是第 63 斜行中最大的数字是 2016。所以 1993 位于第 63 斜行。第 63 斜行中数字是由下向上递增加，左边第一位数字是 1954，
18、因此，1993 位于第 63 斜行由上向下数第（1993-1954+1）=40 位。换算为原阵列的行和列，便是第（63-43+1）=24 行，第 40 列。答1993 排在第 24 行，第 40 列。（9）在下图中所示的小圆圈内，试分别填入 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是 1、2、3、4、5、6、7 这七个数字。分析把连接小圆圈的线段叫作边，把小圆圈称作这个边的端点。同一个边的两个端点，叫作相邻的端点，当小圆圈内填入某数字 k 时，便用 k 来记它，把两个端点所填数字之差（大数字减小数字）称为它们之间的边的“标
19、号”。那么，标号为 1 的边和它的端点，可能有：-，-，-，-，-，-，-；标号为 2 的边和它的端点，可能有：-，-，-，-，-，-；标号为 3 的边和它的端点，可能有：-，-，-，-，标号为 5 的边和它的端点，可能有：-，-，-，标号为 6 的边和它的端点，可能有：-，-，标号为 7 的边和它的端点是：-，可见，与必是相邻的端点，由上可见，可以是任何标号的边的端点，所以，选择邻点最多的点，例如 C，作似乎是自然的。但，这时 F 不能取作，因为如果这样，以（即 F）为一个端点而尚未加标号的边还有三条，它们地位是对称的， 在 1、2、3、4、5、6 中，无论取哪三个作它们的标号，都会得到矛盾
20、。例如，取作标号的数为 1、3、6，则与 F 相邻的点除 C 外，就是、，剩下未标号的边，其标号只能取 2、4、5，于是与C（即）相邻的点便应是、。这里出现了的重复出现，这是矛盾。所以，应取 A、B、D 之一为，由对称性，不妨取 A 为。还有三个与 C 相邻的点： B、 D、 F。其中， F 的地位与 B、D 不同。仿上可知，在 F 处不能是。、。取 F 为，令以 F 为一端点的未标号的边的标号为1、2、3，从而以 C 为一端的、余下未标号的两条边的标号便应是 5、 6、这样便可得 B= ， D= ， E= ，G= ，H= 。答 在 A、B、C、D、E、F、H 处，顺次在小圆圈内填入1、3、8
21、、2、7、4、5、6 便可满足要求。注满足题目要求的图，叫作“优美图”。本题是一个至今尚未解决的猜想的一个特殊的例子。本题的答案不止一种。例如：A（1）、B（6）、C（8），D（4），E（3），F（2），G（7），H（5）；又如：A（8），B（6），C（1），D（7），E（2），F（5），G（3），H（4）等等都是。由于 C 与 F 的地位，A、B、D 的地位，E、G、H 的地位分别都是对称的，所以，当相邻关系不变时，填在 C、F 处的，A、B、D 处的以及填在 E、G、H 处的数字可以分别交换，而这样得到的结果并无实质上的区别。请想一想：有多少种既满足题目要求又实质上不同的填法？（10）11
22、 22 33 44 55 66 77 88 99 除以 3 的余数是几？为什么？分析上式各加项中，33、66、99 除以 3 余数得 0，所以只须看表达式11+2244557788 除以 3 余几，任何不是 3 的倍数的自然数，必可表为3k1 或 3k2，其中 k 是某个非负整数，而（3k1）2=9k26k1，（3k2）2=9k212k+31。可见，不是 3 的倍数的自然数的平方，除以 3 余数都是 1，即都可表为 3 的某个倍数加 1。今 11=1， 22=4=31，44=（42）2=3M11， 55=（52）25=（3m2+1）（3+2）9 M2+36m2+2=3m22， 77（73）27
23、（3M41）（61）=3M51，88=（84）2=3M61，总上可见，原式除以 3 的余数，是 111211=7 除以 3 的余数，所以余数是 1。答余数是 1。（11） A、 B、 C、 D、 E、 F 六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天 B 对 D，第二天 C 对 E，第三天 D 对 F，第四天 B 对 C，问：第五天 A 与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？分析我们在平面上分别画上 6 个点，依次用它们代表选手A，B，C，D，E，F，将给定的比赛对阵用二点的连线来表示（右图，连线上的数字表示第几天。注意到每位选手每
24、天恰赛一场，每对选手之间 5 天内也恰赛一场。第二天A 不可能与 F 对阵，否则当天 E 要对 C，而他们之间的比赛已安排在第 2 天。所以第一天只能是 A-E 和 C-F，或是 A-C，E-F。这次逐天分析推理，一定可以得出本题的答案。解逐天分析可能的对阵情况，列成下表： 答第五天 A 与 B 对阵，另 2 张球台上的对阵是 C 对 D，E 对 F。注这是道很有意思的逻辑推理题。如果在草图上用不同颜色代表不同天的对阵安排，便能很清楚地从图上推出结论，不必画表。请同学们自己试试看。（12）有一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 厘米的细木条，它们的数量都足够多，从
25、中适当选取 3 根本条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是 11 厘米长，你能围成多少个不同的三角形？分析任何一个三角形，它的三条边中的任何两条边的长度之和，总比余下的一条边要长。换句话说，在本题中底边是 11 厘米长的三角形的其余二 于是（a、b）的可能的值便有（11，11）；（10，10），（10，11）；（9，9），（9，10），（9，11）；（8，8），（8，9），（8，10），（8，11）；（7，7），（7，8），（7，9），（7，10），（7，11）；（6，6），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（6，11）；（5，7），（5，8），（5，9），（5，10）
26、，（5，11）；（4，8），（4，9），（4，10），（4，11）；（3，9），（3，10），（3，11）；（2，10），（2，11）；（1，11）。可见，总数等于 2（12345）+6=36。答能围成 36 个不同的三角形。讨论仿上面的分析，如果木条的长度是从 1 到 10 厘米，并规定底边长为10 厘米，那么同样问题的答案将如下得出，记号仿前：（a，b）可能的值有：（10，10）；（9，9），（9，10）；（8，8），（8，9），（8，10）；（7，7）（7，8），（7，9），（7，10）；（6，6），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10）；（5，6），（5，7），（5，8），（
27、5，9），（5，10）；（4，7），（4，8），（4，9），（4，10）；（3，8），（3，9），（3，10）；（2，9），（2、10）；（1，10）所以总数是2（12345）=30。一般情况，当最长细木条的长 （13）把下图 a 中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。分析红蓝二色可以分别更换为数字 1 与 0。这样作对问题的实质并无影响。假定题中所设想的涂色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线，所以，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍是一个奇数。但是，由视察可见，图中每个
28、点都恰好同时位于两条直线上，所以，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致一个矛盾。答没有可能。讨论由于每条直线上恰有 4 个点，所以，也不可能使同一条直线上的蓝圈数都是奇数。可见无论设红色为 1 蓝色为 1，结果都不变。如果是由偶数条直线构成的类似的图，例如图 b，问题中要求的涂色法便有可能实现。比如给 A、B、C 三点涂红色，其余涂蓝色。（14）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第 次相遇点 190 米，问：这条椭圆形跑道长多少米？分析让我们先画一个示意图（右图）
29、，并设一开 即 L=400 米。答跑道长为 400 米。（15）下图 a 中的正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AD 边上的中点。求图中阴影部分的面积。ABM-AGM=ABG。 注这是求面积常用的“割补法”的一次具本运用；也可以不用割补法 （16）四个人聚会，每人各带了 2 件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。证明设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们，称为它们的代表点，当某人（例如甲）赠了 1 件礼品给另一人（例如乙）时，就由甲向乙的代表点画一条有指向的线，无非有以下两个可能：（一）甲、乙、丙、丁每人各收到了 2 件礼品。（
30、二）上面的情形不发生。这时只有以下一个可能，即有一个人接受了 3件礼品（即多于 2 件礼品；因为一人之外总共还有三个人，所以至多收到 3 件礼品）。（或许会有人说，还有二个可能：有人只收到 1 件礼品及有人什么礼品也没收到。其实，这都可归以“有一人接受了 3 件礼品”这个情形。因为，当有一人（例如甲）只接受了 1 件礼品的情形发生时，四人共带来的 8 件礼品中还剩下 7 件在甲以外的三个人中分配，如果他们每人至多只收到 2 件礼品，则收受礼品数将不超过 6 件，这不可能，所以至少有一人收到 2 件以上（即 3件）礼品，同样，当甲未收到礼品时，8 件礼品分给乙、丙、丁三人，也必定有人收到 3 件
31、礼品）。当（一）发生时，例如甲收到乙、丙的礼品，由于甲发出的礼品中至少有1 件给了乙或丙，为确切计，设乙收到了甲的礼品，于是我们先有了一对人：（甲、乙），他们互赠了礼品，如果丙也收到甲的礼品，那么又有了第二对互赠了礼品的人（甲、丙）；如果收到甲礼品的另一人是丁（如右图）丁的 2 件礼品必定分赠了乙及丙（甲已收足了本情形中限定的 2 件札品）丙或乙的另一件礼品 给了丁，则问题也已解决（这时另一对互赠了礼品的人便是（乙、丁）或（丙、丁）但丙的另一件礼品只能给丁，因为这时乙已收足了 2 件礼品，所以，当本情形发生时，至少能找到两对互赠过 1 件礼品的人。当（二）发生时，不失一般性，设甲收到了来自乙、
32、丙、丁的各 1 件礼品，但甲又应向他们之中的某二人（例如乙、丙）各赠送 1 件礼品，于是（甲、乙），（甲、丙）便是要找的两对人。总上可知，证明完毕。注像图中所画的这种示意图，叫作“有向图”，是一个数学分支“图论”所研讨的内容之一。决赛第一试（1）在 100 以内与 77 互质的所有奇数之和是多少？解设 A 为 100 以内所有奇数之和，B 为 100 以内与 77 有非 1 的公约数的全体奇数之和， X 为 100 以内与 77 互质的所有奇数之和，因为任一自然数，要么与 77 互质，要么与 77 有非 1 的公约数，所以XAB （1）2500（2）77711（3）100 以内有约数 7 的奇
33、数之和为7（13+5+9+1113）100 以内有约数 11 的奇数之和为所以 B=343275-77541 （6）（6）中减去 77 是因为在（4）和（5）中都计算过 77 这一项，最后X2500-5411959答和为 1959。分析与讨论100 以内的奇数有 50 个，我们将它们分成两组，第一组是与77 互质的所有奇数；第二组是与 77 有非 1 的公约数的全体奇数。这两个组没有公共的数，将这两个组合并在一起正好就是 100 以内的全体奇数。这样一来，知道了 100 以内的全体奇数之和及某一组中全体奇数之和就可以计算出另一组中全体奇数之和了。（2）图 1，图 2 是两个形状、大小完全相同的
34、大长方形，在每个大长方形内放入四个如图 3 所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多 6cm，问：图 1，图 2 中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？解图 1 中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图 2 中画斜线区域的周长显然比大长方形的周长小，二者之差是 2AB。从图 2 的竖直方向看，ABa-CD。再从图 2 的水平方向看，大长方形的长是 a+2b，宽是 2b+CD。已知大长方形的长比宽多 6cm，所以（a+2b）-（2bCD）a-CD=6cm因此，图 1 中画斜线区域的周长比图 2 中画斜线区域的周长大2AB12cm。分析与讨论观察图形的特点，找出几何关系是很
35、重要的，上面的解法中，由图 2 看出 AB6cm，进一步又找出图 1、图 2 画斜线的区域周长之差是 2AB，这就省去了很多计算的工作量，如果用很多字母把图 1，图 2 中画斜线的区域的周长表示出来，再相减，则要麻烦些。如果把问题稍微改一下，问图 4，图 5 中画斜线的区域的周长的大小关系。你会回答吗？这时图 5 中画斜线的区域周长大，你想想，是不是大 2EF？（3）这是一个道路图，A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有 60 个孩子到路口 B，问：先后共有多少个孩子到路口 C？解在 A 处的孩子数目看成 1 份，那么可顺
36、次标出各道口处走过的孩子 分析与讨论如果数一数，可以看出由 A 到 B 共有 20 条路，每条路平均有60203（人）走到 B。A 到 B 共走 6“步”（向北，向东走一格都叫一“步”），每走一步人数就减半，因此 A 处有3222222192（人）根据 A 处的人数，不难求出 D、E、F 处各走过 96，48，24 人，H、G 处各走过 96，72 人，由此可知走过 C 的人数为 48（人）。解可以看出 A=1。因为不同字母表示不同的数，所以 DG3，（否则 D、G 中就要有 1），只能是 DG=13。因为 CF18，CF1 的个位是 9，所以 CF8。这时 BE=9由 CF=8 知，C、F
37、同为奇数或同为偶数，如果 C，F 中一个是 2，另一个是 6，那么在 3，4，5，7，8，9 中找不到四个不同数 B，D，E，G，使B+E=9，DG=13，如果 C，F 中一个是 3，另一个是 5，那么 D、G 中一个是 4，另一个是 9，B、E 中一个是 2，另一个是 7。乘积的最大值是 9930007234-2342=936606，乘积的最大值是 993000-7759-7592=411606，最大值与最小值的差是 936606-411606=525000。分析与讨论这是一个算式中的整数分析问题，要求解题者能列出行字母可取值的分析。自已列算式，再根据算式进行分析要比给你一个算式，让你进行分
38、析要求高些。有的同学随便凑了几个数，就算出了最大值，最小值，这种做法是不够好的。我们提倡在分析的基础上得出结论，而不是猜与凑。（5）一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25，除 1 之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。解数组 1，2，3，4，5，25 的和最大，它们的和是1+23+25325下面考虑数组中各数之和最小时的情形。由小到大排出这组数，可能是25 只能是比它小的另外两个不同数之和，在上面六种可能性中，没写出来的数（用虚线
39、表示）中，至少要有两个数，它们的和不小于 25，不然的话，最后的 25 就表不成组中某两数之和，为使数组中各数之和尽量小，应当在“”处填入尽量少的数，并使后填入的数之和尽量小。在 1，2，3，4，25 中，“”处不能只填5，20；6，19；7，18：8，17；9，16；10，15；11，14；12，13。也就是说，不时能在“”处只填入两个数，使这两个数之和是 25。在 1，2，3，5，25 中的“”处，可以只填 10，15 两个数，可见数组 1，2，3，5，10，15，25 的和最小，最小的和是123510152561。讨论这是整数分析类的题目，我们实际上做了两件事：1，2，3，5，25 中的
40、虚线处，可以填入和为 25 的两个数 10，15，这个数组的和是 61。说明了任何其他数组的和不比 61 小，根据这两点，就可以断定最小的和是 61。（6）一条大河有 A、B 两个港口，水由 A 流向 B，水流速度是 4 公里/小时。甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶，各自不停地在 A、B 之间往返航行，甲在静水中的速度是 28 公里/小时，乙在静水中速度是 20 公里/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在 A 处的那一次）的地点相距 40 公里，求 A、B 两港口的距离。解法 1设 A、B 两个港口相距 S 公里，甲、乙两船第二次迎面相遇时的位置与港口 B
41、 相距 X 公里，甲船第二次追上乙船时的位置与港口 B 相距 Y 公里。第一步先求 X。因为甲、乙船同时从港口 A 开始航行，在第二次迎面相遇时，它们共航行了 4S 公里。甲船逆水速度是 24 公里/小时，乙船顺水速度也是24 公里/小时。从这个条件，我们可以判断甲船航程在 2S 公里和 3S 公里之间，其中逆水航程为 S 公里，乙船航程在 S 公里和 2S 公里之间，其中顺水航程为 S公里。（想想为什么？）因此甲船逆水航行时间和乙船顺水航行时间相同，甲顺水航行时间和乙逆水航行时间相同，并且共计航行 2S 公里。所以第二步求 Y。甲船第二次追上乙船时，甲船比乙船多航行了 4S 公里，其中顺水是
42、 2S 公里，逆水是 2S 公里。先假设甲船在逆水航行时追上乙船，并且在追上乙船时，乙船顺水航行了 nS 公里，逆水则航行了 nS-S+Y 公里。这时可以列出算式：（为什么？）2Y（16-3n）S。解法 2设 A、B 两个港口的距离为总体 1。由题目所给条件可以得到：甲船顺水速度：乙船顺水速度=43，甲船逆水速度：乙船顺水速度=11，甲船顺水速度：乙船逆水速度=21，甲船逆水速度：乙船逆水速度=32。从这些速度比，可以很快计算出 这些速度比，可以计算在某同一时刻时甲、乙两船所在的位置。上面的图表中，箭头表示顺水航行，表示逆水航行。0 表示船在港口A，1 表示船在港口 B，分数表示船距港口 A
43、的位置。在同一竖直方向上两个箭头方向相反时，甲、乙船必定会迎面相遇。所以，从上面的图表自左向右一组一组地观察两个箭头的方向，可以发现，第二组两个箭头第一次方向相反。而第四组两个箭头第二次方面相反。甲、乙两船会第二次相遇，此时，它们距港口 A 等于 若在同一竖直方向上两个箭头方向相同，并且 甲船的位置在乙船行驶方向的后方变为在乙船的前方或位置相同时，则表示在这一段行驶时甲船追上了乙船。例如自左向右第七组两箭头方向相同，都是逆水航行，在这一段航行时， 察，可以得到，甲第二次追上乙船时，它们距港口 A 等于（想想为什么？）所以 A、B 两港口相距说明与讨论（1）在解法 1 的第二步中，我们假定甲船在
44、逆水航行时追上乙船，并 行的情况下第二次追上乙船了。道理是很简单的：我们解一道数学题时，这道题或者没有解，或者有唯一的一个解，或者有几个甚至无穷多个解。如果题目只有唯一的一个解答，我们求出这个解答之后，对于其他情况，或者题目没有解，或者解答和已经得到的解答相同。所以就不需要再考虑其他情况了。在这道行程问题中，甲船能够第二次追上乙船，追上时的位置当然只有 船顺水航行是否会第二次追上乙船了。实际上，同学们可以试算一下，这时，Y 不可能有合理的解答。（2）这是一道相遇，追击和带有逆水行程的混合行程问题。行程问题是小学高年级和初中一年级应用题中很重要的类型。而解行程问题的关键是清楚地理解时间，行程和速
45、度这三个量之间的关系，在解法 1 中，关键是理解甲、乙两船的行程和时间关系，在解法中，关键是理解甲、乙两船的速度关系，计算过程步骤略多一些，需要同学们具有准确和快速的运算能力。这道行程问题还有其它解法，只要同学们能准确地理解时间，速度，距离这三个量之间的关系，相信同学们能给出更简单的解答方法来。决赛第二试（1）互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个互为反序的自然数。（例如 102 和 201；35 和 53，11 和 11，称为互为反序的数，但 120 和21 不是互为反序的数）解法 1分解因子 92565=335111117 互为反序的两个自然数中，若其中之一为 3 的倍数（或 1
46、1 的倍数），另一个也必为 3 的倍数（或 11 的倍数），又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有92565（3511）（31711）165561答这两个数为 165 和 651。解法 2因为积是五位数，这两个数都是三位数。积的个位数是 5，因此其中第一个乘数的个位数也必是 5，经反序后，第二个乘数的百位数为 5。第一个乘数的百位数若不小于 2，则积必为六位以上的数，因此，第一个乘数百位数是 1，第二个乘数的个位数是 1，这样一来，这两个反序数一定形 是3，6，9，0 中之一，计算得531135=71685561165=9256559119511521550110552605分析与讨论
47、解法 1 中利用了两个整除性判断准则；（1）一个自然数的各位数字之和为 3 的倍数，则这个自然数是 3 的倍数，反之亦然；（2）一个自然数奇位数字之和与偶位数字之和的差是 11 的倍数，则这个自然数是 11 的倍数。反之亦然。互为反序的两个自然数，它们各位数字之和是相同的；且奇位数字之和与偶位数字之和的差也是不变的。因此，它们同为 3 和 11 的倍数。将92565 分解因子之后，就很容易定出这两个数来。有利用 3 的整除性准则。而是用试算法，但他并不从 1-9 逐个数进行试算，面对于比 5 小的数就不算了，而只在 5-9 之间找一数进行试算，直到确定 （2）某工厂的一个生产小组，生产一批零件
48、，当每个工人在自己原岗位工作时，9 小时可完成这项生产任务。如果交换工人 A 和 B 的工作岗位，其它工人生产效率不变时，可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人 C 和 D 的工作岗位，其它工人生产效率不变时，也可以提前一小时完成这项生产任务。问： 如果同时交换 A 与 B，C 与 D 的工作岗位，其它工人生产效率不变，可以提前几分割完成这项生产任务？效不变，所以这一份就是 A、B 二人多干的。同理，C 与 D 交换后，他们二人每小时也要多干 1 份任务。同时交换后，A 与 B，C 与 D 每小时都多干一份任务，所以全组工人每 每干 1 份任务，提前 7.5-6=1.5 分钟，72 份任务一共提前 721.5108 分钟。答可提前 108 分钟。解法 2i）设总工作量为 1，则原来全组每小时完成 1/9。iii）C 与 D 交换后，他们二人每小时也多干 解法 3A 与 B 交换后，全组在 8 小时内完成原来 9 小时的工作，由于其它人工
