1、初中数学专题辅导动点问题关于动点问题的总结“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想一、建立函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,一、应用勾股定理建立函数解析式例 1(2000 年上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G.
2、(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数xyx的定义域(即自变量 的取值范围).(3)如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PHHMNGPO AB图 1xy初中数学专题辅导动点问题的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO、 GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=NH= OP=2.321(2)在 RtPOH 中, , 2236xPHO.2362xOHM在 RtMPH 中,. =GP= MP=
3、 (03).动点 M，N 同时从 B 点出发，分别沿BA，BC 运动，速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于AB，分别交 AN，CD 于 P，Q.当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动.设运动时间为 t 秒. (1)若 a=4 厘米，t=1 秒，则 PM=厘米； (2)若 a=5 厘米，求时间 t，使PNBPAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围； 初中数学专题辅导动点问题(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA，梯形 PQCN 的面积都相等?若存在，
4、求 a 的值；若不存在，请说明理由. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4 (2007 年吉林省)如图 9，在边长为 82cm 的正方形ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点A、C 同时出发，沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过 E作 EH 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 H；过 F 作 FG 垂直 AC交 RtACD 的直角边于 G，连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH围成的图形面积为 S1 ，AE、EB、BA 围成的图形面积为S2( 这里规定：线段的面积为 0).E 到达 C，F 到达 A 停止.若E 的运动时间为 x(s)，解答下列
5、问题： (1)当 0X(2)若 y 是 S1 与 S2 的和，求 y 与 x 之间的函数关系式； (图 10 为备用图) 求 y 的最大值. 解 (1)以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD 的边长为 82，所以 AC=16，过 B 作 BOAC 于 O，则 OB=89，因为 AE=x，所以 S2=4x ，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以 S1=x(16-2x) ， 当 S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得 x1=0(舍去)，x 2=6，所以当 x=6 时，初中数学专题辅导动点问题S1=S2. (2)当 0x8 时，y=x(16-2x)+4x=-2x2
6、+20x， 当 8x16 时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以 S1=(16-x)(2x-16) ， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当 0x8 时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5 时，y 的最大值为 50. 当 8x16 时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当 x=13 时，y 的最大值为 82. 综上可得，y 的最大值为 82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建
7、立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用. 四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。初中数学专题辅导动点问题求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）x41y2若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、AB，
8、如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知例 1 题图图 1OAByxOAByx图 2初中数学专题辅导动点问题三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对
9、应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。动点问题专题训练1、 （09 包头）如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为ABC 10A8BCD的中点AB（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与P是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使
10、与 全等？BD CP（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 三边AB运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇？解：（1） 秒，1tAQCDB P初中数学专题辅导动点问题 厘米，31BPCQ 厘米，点 为 的中点，0ADAB 厘米5又 厘米，8， 厘米，83 PCB又 ， ， （4 分）DQ ， ，PvBC又 ， ，则 ， 45BPCQBD，点 ，点 运动的时间 秒，Q43t 厘米/秒 （7 分）5143Cvt（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，xP由题意，得 ，152104解得 秒803x点 共运动了 厘米
11、P8 ，24点 、点 在 边上相遇，QAB经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇 （12 分）803AB2、 （09 齐齐哈尔）直线 364yx与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点 PQ、 同时从 O点出发，同时到达 点，运动停止点 Q沿线段 O运动，速度为每秒1 个单位长度，点 P沿路线 O B A运动（1）直接写出 A、 两点的坐标；（2）设点 Q的运动时间为 t秒， P 的面积为 S，求出 与 t之间的函数关系式；（3）当 485S时，求出点 的坐标，并直接xAO QPBy初中数学专题辅导动点问题写出以点 OPQ、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标解（1）A（8，0）B（0，6
12、） 1 分（2） 6，点 Q由 O到 的时间是 81（秒）点 P的速度是 02（单位/秒） 1 分当 在线段 B上运动（或 0 3t ）时， 2OQtPt，2St1 分当 P在线段 A上运动（或 8t ）时， 61062tAtt， ,如图，作 DO于点 ，由 PDB，得 485t， 1 分213425SQt1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分 ）（3） 84P， 1 分1231124555IM， ， ， ， ，3 分3（09 深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y=2x8 分别与 x 轴，y轴相交于 A，B 两点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P为圆心
13、，3 为半径作P.（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？初中数学专题辅导动点问题解：（1）P 与 x 轴相切.直线 y=2x 8 与 x 轴交于 A（4，0） ，与 y 轴交于 B（ 0，8） ，OA=4，OB=8.由题意，OP= k ，PB=PA=8+ k.在 Rt AOP 中，k 2+42=(8+k)2，k=3，OP 等于P 的半径，P 与 x 轴相切 .（2）设P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心P 在线段 OB 上时 ,作 PECD
14、于 E.PCD 为正三角形，DE= CD= ，PD=3，123PE= .32AOB=PEB=90， ABO=PBE，AOBPEB， ，342,5AOPEBB即 31,2 ，3182P ，315(0,)2 .8k当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得 P(0, 8)，3152k= 8，3152当 k= 8 或 k= 8 时，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的3152三角形是正三角形.初中数学专题辅导动点问题4（09 哈尔滨） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交
15、 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（S0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值解： 初中数学专题辅导动点问题5（09 河北）在 RtABC 中，C=90 ，AC = A CBPQED图 16初中数学专题辅导动点问题3，AB = 5点
16、 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t 0） （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取
17、值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 解：（1）1， 85； （2）作 QFAC 于 点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3At由 AQFABC， 254， 得 45t 4t 1(3)2St，即 65t（3）能当 DEQB 时，如图 4DEPQ， PQQB，四边形 QBED 是直角梯形此时AQP=90 由APQ ABC ，得 AQPCB，即 35t 解得 98t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形此时APQ =
18、90由AQP ABC ，得 AQPBC，即 35t 解得 158t（4） 2t或 4t点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C连接 QC，作 QG BC 于 点 G， 如图 6t， 222234(5)(5)ttA CBPQED图 4A CBPQED图 5A C(E)BPQD图 6GA C(E)BPQD图 7G初中数学专题辅导动点问题由 2PCQ，得 22234(5)(5)ttt，解得 5t点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C， 如图 722234(6)(5)()5ttt， 14】6（09 河南） ）如图，在 中，RtABC， 点 是 的中点，906ACB， 2O过点 的直线 从
19、与 重合的位置开始，绕点 作逆时Ol针旋转，交 边于点 过点 作 交直线 于DE l点 ，设直线 的旋转角为 E（1）当 度时，四边形 是等腰梯形，此时 的长为 ；当 度时，四边形 是直角梯形，BC此时 的长为 ；A（2）当 时，判断四边形 是否为菱形，并说90ED明理由解（1）30，1；60，1.5； 4 分（2）当=90 0时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=90 0， BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形. 6 分在 Rt ABC 中， ACB=900， B=600,BC=2, A=300. AB=4,AC=2 3. AO= 12C= . 8 分在 Rt AOD
20、 中， A=300， AD=2. BD=2. BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 10 分7（09 济南）如图，在梯形 中，ABCD动35425ADBC ， ， ， ， OE CBDAlOCBA（备用图）A DCB MN初中数学专题辅导动点问题点 从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点MBBCC同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运NDD动的时间为 秒t（1）求 的长（2）当 时，求 的值A t（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tMN解：（1）如图，过 、 分别作 于 ， 于 ，则四边形DAKBCD
21、HBC是矩形DHK 1 分3A在 中，RtB 2sin4542 分2cos45KAA在 中，由勾股定理得，RtCDH 2543HC 3 分310B（2）如图，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形DGAB CADGB MNAB 3 4 分107C由题意知，当 、 运动到 秒时，t 102NtMt， DG N 又 M 5 分C即 10257tt解得， 6 分t（3）分三种情况讨论：（图）A DCB K H（图）A DCB G MN初中数学专题辅导动点问题当 时，如图，即NCM102tt 7 分103t当 时，如图，过 作 于MNCNEMC解法一：由等腰三角形三线合一性质得 10252tt在
22、中，RtE 5cost又在 中，DHC 3D 53t解得 8 分28t解法二： 90CDHNEC ， NE 即 53t 8 分28t当 时，如图，过 作 于 点.MNCMFCN12FNCt解法一：（方法同中解法一） 132cos05tF解得 67t解法二： 90CMFDHC ， A DCB MN（图） （图）A DCB MNH E（图）A DCB HNMF初中数学专题辅导动点问题 FCMHD即10235tt 67t综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形 9 分1t58t6017tMNC8（09 江西）如图 1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点ABDB EA作 交 于点 ， .EFBC
23、DF46， 0（1）求点 到 的距离；（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作PEPFCM交折线 于点 ，连结 ，设 .MNA Nx当点 在线段 上时（如图 2） ， 的形状是否发生改变？若不变，求M出 的周长；若改变，请说明理由；当点 在线段 上时（如图 3） ，是否存在点 ，使 为等腰三角形？DCPN若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.xA DEBFC图 4（备用）A DEBFC图 5（备用）A DEBFC图 1 图 2A DEBFCPNM图 3A DEBFCPNM（第 25 题）初中数学专题辅导动点问题解（1）如图 1，过点 作 于点 1 分EGB
24、C 为 的中点，AB 2在 中， 2 分Rt 60 ， 30E 211E， 即点 到 的距离为 3 分BC3（2）当点 在线段 上运动时， 的形状不发生改变NADPMN PMFG， ， EG ，E ， 同理 4 分4B如图 2，过点 作 于 ，HAB ， 6030NCP ， 132PM cos0A则 3542NH在 中，RtP222537NHP 的周长 = 6 分M 74M当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角NDC MNC形当 时，如图 3，作 于 ，则PPRNR类似， 2R 7 分 是等边三角形， MNC 3MC此时， 8 分612xEGB图 3A DEBFCPNM图
25、4A DEBFCPMN图 5A DEBF（P）CMNGGRG图 1A DEBFCG图 2A DEBFCPNMGH初中数学专题辅导动点问题当 时，如图 4，这时MPN 3MCNP此时， 6135xEG当 时，如图 5， 0 则 又120 ， 0 ， 8PNC 因此点 与 重合， 为直角三角形FP tan3MA此时， 614xEG综上所述，当 或 4 或 时， 为等腰三角形 10 分253PMN9（09 兰州）如图，正方形 ABCD 中，点 A、 B 的坐标分别为（0，10） ，（8，4） ， 点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿A B C D 匀速运动， 同时
26、动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 （长度单位）关于运动时间xt（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4)如果点 P、 Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D 匀速运动时， OP与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由解：（1）（1，0） 1 分Q点 P 运动速度每
27、秒钟 1 个单位长度 2 分（2） 过点 作 BFy 轴于点 ， 轴于点 ，则 8， BFBExBF4OBE 46AF在 Rt AFB 中， 3 分2810过点 作 轴于点 ，与 的延长线交于点 CGx HABCDEFGHMNPQO xy初中数学专题辅导动点问题 ABF BCH 90,ABCB 6,8HF 814,12OGCG所求 C 点的坐标为（14，12 ） 4 分（3） 过点 P 作 PMy 轴于点 M，PN 轴于点 N，x则APM ABF AMBF1068tAP 345tPt， 3410,55NOtPMt设OPQ 的面积为 （平方单位）S （0 10） 5 分2173(0)5210St
28、tt说明:未注明自变量的取值范围不扣分 0 当 时， OPQ 的面积最大 6 分310a47362()10t此时 P 的坐标为（ ， ） 7 分945（4） 当 或 时， OP 与 PQ 相等 9 分3t21t10（09 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角 的平行90AEF DCG线 CF 于点 F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接ME，则 AM=EC，易证 ，所以 MC AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上（除 B，C 外）的任意一点 ”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 3初中数学专题辅导动点问题
