1、一、基本知识一、数与代数 A、数与式：1 、有理数有理数：整数正整数/0/负整数分数正分数/负分数数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他的本身、负数
2、的绝对值是他的相反数、0 的绝对值是 0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。异号相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与 0 相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘得 0。乘积为 1 的两个有理数互为倒数。除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数。0 不能作除数。乘方：求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A 叫底数，N 叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，
3、有括号要先算括号里的。2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：如果一个正数 X 的平方等于 A，那么这个正数 X 就叫做 A 的算术平方根。如果一个数 X 的平方等于 A，那么这个数 X 就叫做 A 的平方根。一个正数有 2 个平方根/0 的平方根为 0/负数没有平方根。求一个数 A 的平方根运算，叫做开平方，其中 A 叫做被开方数。立方根：如果一个数 X 的立方等于 A，那么这个数 X 就叫做 A 的立方根。正数的立方根是正数、0的立方根是 0、负数的立方根是负数。求一个数 A 的立方根的运算叫开立方，其中 A 叫做被开方数。实数：实数分有理数和无理数。在实数范围内，相反数，倒数，绝
4、对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。把同类项合并成一项就叫做合并同类项。在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、整式与分式整式：数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：AM+
5、AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。整式的乘法：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式两条：平方差公式/完全平方公式整式的除法：单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。分解因式：把
6、一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。分式：整式 A 除以整式 B，如果除式 B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为 0。 分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。加减法：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。使方程的分母为 0 的解称为原方程的增根。B、
7、方程与不等式1、方程与方程组一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫一元一次方程。等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为 0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。一元
8、二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为 2 的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当 Y 的 0 的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与 X 轴的交点。也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解
9、法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根 X1=-b+b2-4ac)/2a，X2=-b-b2-4ac)/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法
10、（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a，一次项的系数为 b，常数项的系数为 c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用5）一元一次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“” ，读作 “diao ta”，而=b2-4ac，这里可以分为 3 种情况：I 当0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；I
11、I 当=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；III 当B,A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：AB，A*CB*C （C0）在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：AB，A*Cb c）,abca （bc）（abc）3、整数乘法：abc性质：乘法交换律（abba）、乘法结合律（ab）c a （bc ）、乘法分配律（a b）cacbc4、整数除法：abc（b0）0 不能做除数，有余数除法（abcd，余数一定小于除数）性质：abc= acb，abc= acb，a （b
12、c）= abc，a（bc）= abc（a b） c= acbc，（ab）c= acbc5、整数四则混合运算：加法和减法被称为第一级运算，乘法和除法被称为第二级运算。先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。三、整数的整除性整除：在自然数范围内两个数相除，除得的商是整数而没有余数。除尽：两个数相除，所得的商是整数或有限小数，而没有余数。整除只是除尽的一种特殊情况。1、约数和倍数数 a 能被数 b 整除， a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是 1，最大的约数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。2、能被 2、3、4
13、、5 、11 等整除的数的特征（1）一个数的个位上的数字能被 2 整除，那么这个数 能被 2 整除。（2）一个数各位上的数字相加之和，如果能被 3 或 9 整除，则这个数也 能被 3 或 9 整除。例：35690124（弃 3 或弃 9 法，把数中 3 的倍数或 0 先划去）（3）一个数的个位数能被 5 整除，那么这个数一定 能被 5 整除。（4）一个数的末两位数字所表示的数，能被 4 或 25 整除，那么这个数也 能被 4 或 25 整除。既能被 4 整除，又能被 25 整除的数，末两位必定是 00，如 600，2800。例：4736，7650，95000（5）一个数的末三位数字所表示的数，
14、能被 8 或 125 整除，那么这个数也 能被 8 或 125 整除。例：78375，57192（6）一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字组成的数的差能被 7 或 11 或 13 整除，那么这个数也 能被 7 或 11 或 13 整除。例： 41723、奇数和偶数能被 2 整除的数叫偶数（双数），不能被 2 整除的叫奇数（单数）。性质：（1）任意两个奇数的和或差，一定是偶数。（2）任意两个奇数的积一定是奇数。（3）任意两个偶数的和或差，一定是偶数。（4）任意两个偶数的积，一定是偶数。（5）一个奇数与偶数的和或差，一定是奇数。（6）一个奇数与一个偶数的积，一定是偶数。4、质数、合数与分解
15、质因数质数：一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫质数，质数也叫素数。合数：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫合数。注意：0 和 1 既不是质数，也不是合数。在自然数中，最小的质数是 2，最小的合数是 4。质因数：如果一个整数的约数是质数，这个约数就被称作这个整数的一个质因数。每一个合数都可以写作几个质数相乘的形式，这个质数叫做这个合数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。5、最大公约数与最小公倍数（1）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12 和 30 的公约数有：1、 2、3、6；12
16、 和 30 的最大公约数是 6。求最大公约数的一般方法：分解质因数法。例如 18 和 24，18=233 ，24=2223 ，共有的质因数 2 和 3，所以它们的最大公约数 23=6最大公约数性质：两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。例如：36 和 24 的最大公约数是 12两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。例如 36 和 48 的最大公约数是 12互质数：如果两个数的公约数只有 1，那么这两个数叫做互质数（或互素数），或者说这两个数互质。注意：区分质数、质因数和互质数的含义。两个质数一定是互质数。例如，2 与 7、13 与 19。一个质数如果不能整除另一个合数，这两个
17、数为互质数。例如，3 与 10、5 与 26。1 不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如 1 和 9908。相邻的两个自然数是互质数。如 15 与 16。相邻的两个奇数是互质数。如 49 与 51。大数是质数的两个数是互质数。如 97 与 88。小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7 和 16。两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如 357 与 715，357=3717 ，而 3、7 和 17 都不是 715 的约数，这两个数为互质数。两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这
18、两个数是互质数。如 85 和 78。85 787 ，7 不是 78 的约数，这两个数是互质数。两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462 与 221， 462221220 。（2）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 和 812 的倍数有 12、24 、36、48、60、72，8 的倍数有 8、16、 24、32、40 、48、56 、64、72可知，12 和 8 的公倍数有 24、48、72，12 和 8 的最小公倍数是 24。两个数的公倍数的个数是无限的，
19、最小的一个被称为它们的最小公倍数，两个数没有最大公倍数。求最小公倍数的一般方法：分解质因数法。例如 15 和 21，15=53，21=37，共有的质因数 3，21 独有的质因数是 7、15 独有的质因数是 5，所以它们的最小公倍数 357=105。最小公倍数的性质：两个数的最小公倍数和最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。例如：4 和 10两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。例如：150 是 15 和 25 的一个公倍数。分数及其运算一、分数的认识1、分数：把单位 “1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数（单位“1”可以表示一个数、一个图形、一件物品、一个计量单位、也可以
20、表示一个整体）。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示有多少份的数，叫做分数的分子；表示其中的一份的数叫做分数单位。2、分数的种类：真分数：分子比分母小的分数。假分数：分子大于分母的分数。带分数：一个自然数和一个真分数合并而成的分数。一个假分数，当分子是分母的倍数时，假分数可化为自然数。当分母不能整除分子时，可以化为带分数。3、最简分数：分子、分母互质的分数。4、分数的性质：（1）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（2）分数的分子扩大（或缩小）若干倍，分母不变，那么分数值也扩大（或缩小）相同的倍数。（3）分数的分母扩大
21、（或缩小）若干倍，分子不变，那么分数值就缩小（或扩大）相同的倍数。5、约分和通分：（1） 约分 ：把一个分数化成同它相等的，但分子、分母都比较小的分数。通常约分后应得到最简分数。约分的方法：逐步约分：用分子和分母的公约数（1 除外）去除分子和分母，直到最简。一次约分：用分子和分母的最大公约数去除分子和分母，直接得到最简分数。说明：分母是分子的倍数，约分后是几分之一。分子分母末尾有 0 的，先划去同样多的 0，再约分。对假分数，可约分后化为带分数，或化成带分数后再约分，但注意不要漏写整数部分的数。注意，约分时，不要把作为除数的公约数与约简的结果相混。（2）通分：分母相同的几个分数叫同分母分数。分
22、母不同的几个分数叫异分母分数。通分就是不改变分数的大小，把几个异分母分数化成分母相同的分数，通分时所化成的相同的分母叫公分母，其中一个最小的叫做这几个异分母分数的最小公分母。通分的方法：先求出几个分数的分母的最小公倍数，用它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数化成以公分母为分母的分数。6、分数大小的比较：（1）整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。（2）整数部分相同，分子也相同，分母小的分数比较大。（3）分子、分母都不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数分别化成小数再比较。（4）比较假分数的大小，可以把假分数化成带分数或整数后再比较。二、分数四则运算1、分
23、数的加法和减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减，先通分转化成同分母分数，再计算。注意：分数加减法的最后计算结果要约成最简分数。如果是假分数的要化成带分数或整数。整数加减法的运算定律和运算性质同样适用于分数加减法。2、分数的乘法和除法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。带分数乘法，先把带分数化成假分数，再计算。注意：计算分数乘法时，能约分的要先约分，然后再计算。计算结果是假分数的要化成带分数或整数。倒数：乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，ab1 （a0,b0）,a 叫做 b 的倒数，b 叫做 a
24、 的倒数。分数除法，甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数。3、分数的四则运算：运算顺序和整数四则运算顺序相同。（1）整数运算定律对分数同样适用，它可以使一些分数四则混合运算变得简便。（2）计算过程中，有时保留假分数计算比较简便，但最终的结果要化成最简分数。小数及其运算一、小数的认识1、小数：分母是 10、100、1000、的分数可以仿照整数的写法，写在整数个位的右面，用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几的数叫做小数。2、小数的分类：（1）按小数的整数部分是否为 0，小数可分为纯小数和带小数。一个整数部分是 0 的小数叫纯小数。一个整数部分不是 0 的小数叫带小数。（2）
25、根据小数部分的位数是否是有限的，小数可分为有限小数和无限小数。小数部分的位数是有限的小数叫有限小数。小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫无限循环小数。一个无限小数，小数部分各数位上的数字不是循环的，这样的小数叫无限不循环小数。3、小数的性质：小数点移动引起小数大小变化。小数点向右移动，原数扩大。反过来讲，把原数扩大，小数点向右移动。数位不足，补 0。小数点向左移动，原数缩小。反过来讲，把原数缩小，小数点向左移动。数位不足，补 0。4、小数大小的比较：5、分数和小数的互化：（1）分数化小数分母是 10、100、1000 的分数，
26、可以直接写成小数。把某些分数化成分母是 10、100 、1000 的分数。分数不能化成有限小数，可以用循环小数表示，也可以按精确度的要求，取近似值。如三分之一。说明：辨别分数能否化成有限小数，看最简分数的分母除了 2 和 5 以外，不含有其它质因数，即可。（2）有限小数化分数根据小数的意义，可直接写成分母是 10、100 、1000 的分数，去掉小数点得到的数作分子。（3）循环小数化分数纯循环小数化分数：分子就是一个循环节的数字所组成的数，分母的各位数字都是 9，9 的个数等于一个循环节数字的个数，能约分的要约分。混循环小数化分数：第二个循环节以前的数字组成的数，减去不循环的数字组成的数之差作
27、分子；分母的头几位数字是 9，末几位数字是 0，9 的个数跟循环节的数位相同，0 的个数跟不循环部分的数位相同，最后化为最简分数。二、小数四则运算小数的加、减、乘、除运算的意义与整数相同。三、整数、分数、小数四则混合运算运算顺序与整数四则混合运算顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律适用分数、小数。一般地，分数、小数的加减混合运算，通常把分数化为小数计算，当题目中的分数不能都化成有限小数，则把小数化为分数计算；分数、小数的乘除混合运算，可以直接按分数乘除混合运算进行，当除数是小数时，把它化成分数通常可使计算简便。计算方法一、常用的速算方法1、分组法：根据运算定律，运算性质，以及和差积商的一些
28、性质，对算式中的运算进行重新整合，使之便于计算。2、补数凑整法：对于算式中接近整十、百的数，通过补数，使其变成整十、百的数，可简化计算。3、基准数法：若干个数都接近某数的数相加，可把某数作基准数，然后把基准数与相加数的个数相乘，再加上个数与基准数的差，就得到计算结果。4、分解法：5 、转化法：6、公式法：二、常用的算式254100，256150，12581000，12 0.5，140.25，180.125三、审题分析的常用方法认真审题，弄清数学名词、术语的含义，确认问题是什么（求什么），在理清题目中叙述的数量关系的基础上，正确列式解答。有些题目没有直接给出数字，通过叙述的形式出现在题目中，如“最小的自然数与最小的合数乘积是多少？”由自然数和合数的含义可知，最小的自然数是 0，最小的合数是 4。1、综合法：由已知的条件逐步推导出所求问题的分析方法，即“从已知，看未知，逐步推向问题” 。2、分析法：从问题出发，逆向分析，逐步找出解决问题的条件，即“从问题，看需知，逐步推向已知” 。
