1、第 1 页（共 45 页）函数与导数高考压轴题选一选择题（共 2 小题）1 （2013安徽）已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x 2，若 f（x 1）=x 1x 2，则关于 x 的方程 3（f（x） ） 2+2af（x）+b=0 的不同实根个数为（ ）A3 B4 C5 D62 （2012福建）函数 f（x）在a，b 上有定义，若对任意 x1，x 2a，b，有则称 f（x）在a ，b上具有性质 P设f（x）在1 ，3 上具有性质 P，现给出如下命题：f（x）在1 ， 3上的图象是连续不断的；f（x 2）在1， 上具有性质 P；若 f（x）在 x=2 处取得最大值
2、1，则 f（x）=1 ，x 1， 3；对任意 x1，x 2，x 3，x 41，3 ，有 f（x 1）+f（x 2）+f（x 3）+f（x 4）其中真命题的序号是（ ）A B C D二选择题（共 1 小题）3 （2012新课标）设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则M+m= 三选择题（共 23 小题）4 （2014陕西）设函数 f（x）=lnx+ ，m R（）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值；（）讨论函数 g（x）=f（x） 零点的个数；（）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围5 （2013新课标 ）已知函数 f（x）=e xln（x+m）（
3、）设 x=0 是 f（x）的极值点，求 m，并讨论 f（x）的单调性；（）当 m2 时，证明 f（x）06 （2013四川）已知函数 ，其中 a 是实数，设A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ）为该函数图象上的点，且 x1x 2（）指出函数 f（x）的单调区间；第 2 页（共 45 页）（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1 的最小值；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围7 （2013湖南）已知函数 f（x）= （）求 f（x）的单调区间；（）证明：当 f（x 1）=f（ x2） （x 1x2
4、）时，x 1+x208 （2013辽宁）已知函数 f（x）=（1+x ）e 2x，g（x）=ax+ +1+2xcosx，当 x0，1时，（I）求证： ；（II）若 f（x） g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围9 （2013陕西）已知函数 f（x）=e x，xR （） 若直线 y=kx+1 与 f （x）的反函数 g（x）=lnx 的图象相切，求实数 k 的值；（） 设 x0，讨论曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数（） 设 ab，比较 与 的大小，并说明理由10 （2013湖北）设 n 是正整数，r 为正有理数（）求函数 f（x）=（1+x） r+1（r+1）x1（
5、x 1）的最小值；（）证明： ；（）设 xR，记x为不小于 x 的最小整数，例如 令的值（参考数据： 11 （2012辽宁）设 f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，bR ，a，b 为常数） ，曲线y=f（x）与直线 y= x 在（0，0）点相切（I）求 a，b 的值；（II）证明：当 0x2 时，f （x） 12 （2012福建）已知函数 f（x）=axsinx （a R） ，且在 上的最大值为 ，（1）求函数 f（x）的解析式；（2）判断函数 f（x）在（0， ）内的零点个数，并加以证明第 3 页（共 45 页）13 （2012湖北）设函数 f（x）=ax n（1x）+b（x0） ，
6、n 为正整数，a，b 为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y=1（）求 a，b 的值；（）求函数 f（x）的最大值；（）证明：f（x） 14 （2012湖南）已知函数 f（x）=e xax，其中 a0（1）若对一切 xR，f（x） 1 恒成立，求 a 的取值集合；（2）在函数 f（x）的图象上取定点 A（x 1，f（x 1） ） ，B（ x2，f（x 2） ） （x 1x 2） ，记直线AB 的斜率为 K，证明：存在 x0（x 1，x 2） ，使 f（x 0）=K 恒成立15 （2012四川）已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A，设
7、 f（n）为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距（）用 a 和 n 表示 f（n） ；（）求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值；（）当 0a1 时，比较 与 的大小，并说明理由16 （2011四川）已知函数 f（x）= x+ ，h（x）= （）设函数 F（x）=f （x）h（x） ，求 F（x）的单调区间与极值；（）设 aR，解关于 x 的方程 log4 f（x1） =log2h（ax） log2h（4x） ；（）试比较 f（100）h（100 ） 与 的大小17 （2011陕西）设函数 f（x）定义在（0，+）上，f （1）=0，导函数 f（x）= ，g（x）=f （x）+f （
8、x） （）求 g（x）的单调区间和最小值；（）讨论 g（x）与 的大小关系；（）是否存在 x00，使得|g（x） g（x 0）| 对任意 x0 成立？若存在，求出 x0 的取值范围；若不存在请说明理由18 （2011四川）已知函数 f（x）= x+ ，h（x）= （）设函数 F（x）=18f （x）x 2h（x） 2，求 F（x）的单调区间与极值；第 4 页（共 45 页）（）设 aR，解关于 x 的方程 lg f（x1） =2lgh（ax） 2lgh（4x） ；（）设 nNn，证明：f（n ）h（n）h（1）+h （2）+h（n） 19 （2010四川）设 ，a0 且 a1） ，g（x）是
9、f（x）的反函数（）设关于 x 的方程求 在区间2，6上有实数解，求 t 的取值范围；（）当 a=e， e 为自然对数的底数）时，证明： ；（）当 0a 时，试比较| |与 4 的大小，并说明理由20 （2010全国卷 ）设函数 f（x）=1e x（）证明：当 x1 时，f（x） ；（）设当 x0 时，f（x） ，求 a 的取值范围21 （2010陕西）已知函数 f（x）= ，g（x）=alnx，aR，（）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求 a 的值和该切线方程；（）设函数 h（x）=f（x）g（x） ，当 h（x）存在最小值时，求其最小值 （a）的解析式
10、；（）对（）中的 （a ）和任意的 a0，b0，证明：（ ）（ ） 22 （2009全国卷 ）设函数 f（x）=x 2+aln（1+x）有两个极值点 x1、x 2，且 x1x 2，（）求 a 的取值范围，并讨论 f（x）的单调性；（）证明：f（x 2） 23 （2009湖北）在 R 上定义运算： （b、cR 是常数），已知 f1（x）=x 22c，f 2（x ）=x 2b，f （x）=f 1（x）f 2（x） 如果函数 f（x）在 x=1 处有极值 ，试确定 b、c 的值；求曲线 y=f（x）上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点；第 5 页（共 45 页）记 g（x）=|f（x）| （1x1）
11、的最大值为 M，若 Mk 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的取值范围 （参考公式：x 33bx2+4b3=（x+b） （x2b） 2）24 （2009湖北）已知关于 x 的函数 f（x）= x3+bx2+cx+bc，其导函数为 f（x） 令g（x）=|f（x） |，记函数 g（x）在区间 1、1 上的最大值为 M（）如果函数 f（x）在 x=1 处有极值 ，试确定 b、c 的值：（）若|b| 1 ，证明对任意的 c，都有 M2（）若 MK 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值25 （2008江苏）请先阅读：在等式 cos2x=2cos2x1（xR）的两边求导，得：（cos2x） =
12、（2cos 2x1），由求导法则，得（sin2x）2=4cosx（sinx） ，化简得等式：sin2x=2cosxsinx（1）利用上题的想法（或其他方法） ，结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn（ xR，正整数 n2） ，证明：（2）对于正整数 n3，求证：（i） ；（ii） ；（iii ） 26 （2008天津）已知函数 f（x）=x 4+ax3+2x2+b（xR） ，其中 a，b R（）当 时，讨论函数 f（x）的单调性；（）若函数 f（x）仅在 x=0 处有极值，求 a 的取值范围；（）若对于任意的 a2，2 ，不等式 f（x）1 在1，1上恒成立，求 b 的
13、取值范围四解答题（共 4 小题）27 （2008福建）已知函数 f（x）=ln（1+x）x（1）求 f（x）的单调区间；（2）记 f（x）在区间0，n（nN *）上的最小值为 bn 令 an=ln（1+n）b n第 6 页（共 45 页）（i）如果对一切 n，不等式 恒成立，求实数 c 的取值范围；（ii）求证： 28 （2007福建）已知函数 f（x）=e xkx，（1）若 k=e，试确定函数 f（ x）的单调区间；（2）若 k0，且对于任意 xR，f （|x|）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围；（3）设函数 F（x）=f （x）+f（x） ，求证：F（1）F（2）F（n） （nN *
14、） 29 （2006四川）已知函数 ，f（x）的导函数是f（x） 对任意两个不相等的正数 x1、x 2，证明：（）当 a0 时， ；（）当 a4 时，|f（x 1）f（x 2）|x 1x2|30 （2006辽宁）已知 f0（x）=x n ，其中 kn（n，kN +） ，设F（x）=C n0f0（x 2）+C n1f1（ x2）+C nnfn（x 2） ，x1，1（1）写出 fk（1） ；（2）证明：对任意的 x1，x 21，1，恒有|F（x 1） F（x 2）| 2n1（n+2）n 1第 7 页（共 45 页）函数与导数高考压轴题选参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1 （2013安徽）
15、已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x 2，若 f（x 1）=x 1x 2，则关于 x 的方程 3（f（x） ） 2+2af（x）+b=0 的不同实根个数为（ ）A3 B4 C5 D6【解答】解：函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1，x 2，f（x）=3x 2+2ax+b=0 有两个不相等的实数根，=4a212b0 解得 = x1 x2， ， 而方程 3（f（x） ） 2+2af（x） +b=0 的 1=0，此方程有两解且 f（x）=x 1 或 x2不妨取 0x 1x 2，f（x 1） 0把 y=f（x）向下平移 x1 个单位即可得到 y=
16、f（x） x1 的图象，f（ x1）=x 1，可知方程 f（x）=x 1 有两解把 y=f（x）向下平移 x2 个单位即可得到 y=f（x） x2 的图象，f （x 1）=x 1， f（x 1）x2 0，可知方程 f（x）=x 2 只有一解综上可知：方程 f（x）=x 1 或 f（x）=x 2只有 3 个实数解即关于 x 的方程3（f（x） ） 2+2af（x）+b=0 的只有 3 不同实根故选：A第 8 页（共 45 页）2 （2012福建）函数 f（x）在a，b 上有定义，若对任意 x1，x 2a，b，有则称 f（x）在a ，b上具有性质 P设f（x）在1 ，3 上具有性质 P，现给出如下
17、命题：f（x）在1 ， 3上的图象是连续不断的；f（x 2）在1， 上具有性质 P；若 f（x）在 x=2 处取得最大值 1，则 f（x）=1 ，x 1， 3；对任意 x1，x 2，x 3，x 41，3 ，有 f（x 1）+f（x 2）+f（x 3）+f（x 4）其中真命题的序号是（ ）A B C D【解答】解：在中，反例：f（x）= 在1 ，3上满足性质 P，但 f（x）在1 ，3 上不是连续函数，故 不成立；在中，反例：f（x）= x 在1，3 上满足性质 P，但 f（x 2）=x 2 在1， 上不满足性质P，故不成立；在中：在1，3 上，f（2） =f（ ） ， ，故 f（x）=1 ，对
18、任意的 x1，x 21，3，f（x）=1，故成立；在中，对任意 x1，x 2，x 3，x 41，3 ，有 = f（x 1）+f（x 2）+f（x 3）+f（x 4）， f（x 1）+f（x 2）+f （x 3） +f（x 4），故成立第 9 页（共 45 页）故选 D二选择题（共 1 小题）3 （2012新课标）设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则M+m= 2 【解答】解：函数可化为 f（ x）= = ，令 ，则 为奇函数， 的最大值与最小值的和为 0函数 f（x）= 的最大值与最小值的和为 1+1+0=2即 M+m=2故答案为：2三选择题（共 23 小题）4 （2014陕西）
19、设函数 f（x）=lnx+ ，m R（）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值；（）讨论函数 g（x）=f（x） 零点的个数；（）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围【解答】解：（）当 m=e 时，f （x）=lnx+ ，f（x）= ；当 x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当 x（e，+）时，f （x） 0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e 时， f（x）取得极小值为 f（e）=lne+ =2；（）函数 g（x）=f（x） = （x0） ，令 g（x）=0，得 m= x3+x（x0） ；设 （x）= x3+x（x0） ，第 10
20、 页（共 45 页）（ x） =x2+1=（x 1） （x+1） ；当 x（0，1）时，（x）0， （x）在（0，1）上是增函数，当 x（1，+）时， （x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1 是 （x）的极值点，且是极大值点，x=1 是 （x）的最大值点，（x）的最大值为 （1）= ；又 （0）=0，结合 y=（x）的图象，如图；可知：当 m 时，函数 g（x）无零点；当 m= 时，函数 g（x）有且只有一个零点；当 0m 时，函数 g（x）有两个零点；当 m0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；综上，当 m 时，函数 g（ x）无零点；当 m= 或 m0 时，函数 g（x）有且只有
21、一个零点；当 0m 时，函数 g（x）有两个零点；（）对任意 ba0， 1 恒成立，等价于 f（b）bf（a） a 恒成立；设 h（x）=f（x）x=lnx+ x（x0） ，则 h（b）h（a） h（ x）在（ 0，+ ）上单调递减；h（x）= 10 在（0，+）上恒成立，mx2+x= + （x0） ，m ；对于 m= ，h （x）=0 仅在 x= 时成立；m 的取值范围是 ，+ ） 第 11 页（共 45 页）5 （2013新课标 ）已知函数 f（x）=e xln（x+m）（）设 x=0 是 f（x）的极值点，求 m，并讨论 f（x）的单调性；（）当 m2 时，证明 f（x）0【解答】 （）
22、解： ，x=0 是 f（x）的极值点，解得 m=1所以函数 f（x）=e xln（x+1 ） ，其定义域为（ 1，+ ） 设 g（x）=e x（x+1） 1，则 g（x）=e x（x+1）+e x0，所以 g（x）在（1，+）上为增函数，又 g（ 0）=0，所以当 x0 时， g（x）0，即 f（x）0；当1x0 时，g（x）0，f（x） 0所以 f（x）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当 m2，x（ m，+）时，ln （x+m ）ln（x+2） ，故只需证明当 m=2 时f（x）0当 m=2 时，函数 在（ 2，+ ）上为增函数，且 f（1）0，f（0）0故 f（x
23、）=0 在（2，+ ）上有唯一实数根 x0，且 x0（1，0） 当 x（2，x 0）时，f（x） 0，当 x（x 0，+）时，f（x）0，从而当 x=x0 时，f（x）取得最小值第 12 页（共 45 页）由 f（x 0）=0，得 ，ln （x 0+2）=x 0故 f（x） = 0综上，当 m2 时，f （x）06 （2013四川）已知函数 ，其中 a 是实数，设A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ）为该函数图象上的点，且 x1x 2（）指出函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1 的最小值；（）若函数
24、f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围【解答】解：（I）当 x0 时， f（x）=（x+1） 2+a，f（ x）在（， 1）上单调递减，在1，0）上单调递增；当 x0 时，f（x）=lnx，在（0，+）单调递增（II）x 1x 20，f（x）=x 2+2x+a， f（x）=2x+2，函数 f（x）在点 A，B 处的切线的斜率分别为 f（x 1） ， f（x 2） ，函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直， ，（ 2x1+2） （2x 2+2）= 12x1+20，2x 2+20， =1，当且仅当（ 2x1+2）=2x 2+2=1，即 ， 时等号成立函数 f（x）
25、的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1 的最小值为 1（III）当 x1 x20 或 0x 1x 2 时， ，故不成立，x1 0 x2当 x10 时，函数 f（x）在点 A（x 1，f（x 1） ） ，处的切线方程为，即 当 x20 时，函数 f（x）在点 B（x 2，f（x 2） ）处的切线方程为 ，即 第 13 页（共 45 页）函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合的充要条件是 ，由及 x10x 2 可得1x 10，由得 = 函数 ，y= ln（2x 1+2）在区间（ 1，0）上单调递减，a（x 1）= 在（1，0）上单调递减，且 x11 时，ln（2x
26、1+2），即ln（2x 1+2） +，也即 a（x 1）+x10， a（x 1） 1ln2a 的取值范围是（1 ln2，+） 7 （2013湖南）已知函数 f（x）= （）求 f（x）的单调区间；（）证明：当 f（x 1）=f（ x2） （x 1x2）时，x 1+x20【解答】解：（）易知函数的定义域为 R= =，当 x0 时，f （ x）0；当 x0 时，f （x）0函数 f（x）的单调递增区间为（，0） ，单调递减区间为（ 0，+） （）当 x1 时，由于 ，e x0，得到 f（x） 0；同理，当 x1 时，f （x）0当 f（x 1）=f（x 2） （x 1x2）时，不妨设 x1x 2由
27、（）可知：x 1（，0） ，x 2（0，1） 第 14 页（共 45 页）下面证明：x（0，1） ，f（x）f （ x） ，即证 此不等式等价于令 g（x）= ，则 g（x）=xe x（e 2x1） 当 x（0，1）时，g（x） 0，g（x）单调递减， g（x）g（0）=0即 x（0，1） ，f（x）f（x） 而 x2（0，1） ，f（x 2）f（x 2） 从而，f（x 1）f（x 2） 由于 x1，x 2（ ，0） ，f （x）在（，0）上单调递增，x1 x2，即 x1+x208 （2013辽宁）已知函数 f（x）=（1+x ）e 2x，g（x）=ax+ +1+2xcosx，当 x0，1时，
28、（I）求证： ；（II）若 f（x） g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】 （I）证明：当 x0，1）时， （1+x）e 2x1x（1+x）e x（1x）e x，令 h（x）=（1+x）e x（1x）e x，则 h（x）=x（e xex） 当 x0，1）时，h（x） 0，h（ x）在 0，1）上是增函数，h（ x） h（0）=0，即 f（x ） 1x当 x0，1）时， ex1+x，令 u（x）=e x1x，则 u（x）=e x1当 x0，1）时，u（x） 0，u（ x）在 0，1）单调递增， u（x）u（0）=0，f（ x） 综上可知： 第 15 页（共 45 页）（II）解：设 G
29、（x）=f （x） g（x）= = 令 H（x）= ，则 H（x）=x2sinx，令 K（x）=x 2sinx，则 K（x ）=1 2cosx当 x0，1）时，K（x）0，可得 H（x）是0，1）上的减函数，H（x）H （0）=0，故 H（x）在0 ，1）单调递减，H（ x） H（0）=2 a+1+H（x）a+3当 a3 时，f（x） g（x）在0 ，1）上恒成立下面证明当 a3 时，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x） g（x） = =x令 v（x）= = ，则 v（x）= 当 x0，1）时，v（x） 0，故 v（x）在0，1）上是减函数，v（ x） （a+1+2cos1 ，a+3当
30、 a3 时，a+30存在 x0（0， 1） ，使得 v（x 0）0，此时，f（x 0）g （x 0） 即 f（x）g（x）在0，1）不恒成立综上实数 a 的取值范围是（，39 （2013陕西）已知函数 f（x）=e x，xR （） 若直线 y=kx+1 与 f （x）的反函数 g（x）=lnx 的图象相切，求实数 k 的值；（） 设 x0，讨论曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数（） 设 ab，比较 与 的大小，并说明理由【解答】解：（I）函数 f（x）=e x 的反函数为 g（x）=lnx， 第 16 页（共 45 页）设直线 y=kx+1 与 g（x）的图象相切于点
31、 P（x 0，y 0） ，则 ，解得，k=e 2，k=e2（II）当 x0，m 0 时，令 f（x）=mx 2，化为 m= ，令 h（x）= ，则 ，则 x（0，2）时，h（x） 0，h（x）单调递减；x（2，+）时，h（x）0，h（x）单调递增当 x=2 时，h（x）取得极小值即最小值， 当 时，曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数为 0；当 时，曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m 0）公共点的个数为 1；当 时，曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m 0）公共点个数为 2（） = ，令 g（x）=x+2+（x2）e x（x 0） ，则 g（x）=1+
32、（x1）e xg（x）=xe x0， g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（0）=0，g（x）0， g（x）在（0 ，+）上单调递增，而 g（0）=0， 在（0，+）上，有 g（x）g（0）=0当 x 0 时，g（x）=x+2+（x2）e x0，且 ab， ，第 17 页（共 45 页）即当 ab 时， 10 （2013湖北）设 n 是正整数，r 为正有理数（）求函数 f（x）=（1+x） r+1（r+1）x1（x 1）的最小值；（）证明： ；（）设 xR，记x为不小于 x 的最小整数，例如 令的值（参考数据： 【解答】解；（）由题意得 f（x）=（r+1） （1+x） r（ r+1）=（r
33、+1） （1+x） r1，令 f（x）=0，解得 x=0当1 x 0 时， f（x）0， f（x）在（1，0）内是减函数；当 x0 时，f（x）0，f（ x）在（0，+）内是增函数故函数 f（x）在 x=0 处，取得最小值为 f（0）=0（）由（） ，当 x（1，+）时，有 f（x） f（0）=0，即（1+x） r+11+（r+1）x，且等号当且仅当 x=0 时成立，故当 x1 且 x0，有（1+x ） r+11+（r+1）x，在中，令 （这时 x1 且 x0） ，得 上式两边同乘 nr+1，得（n+1） r+1n r+1+nr（r+1） ，即 ，当 n1 时，在中令 （这时 x 1 且 x0
34、） ，类似可得 ，且当 n=1 时， 也成立综合，得 ，（）在中，令 ，n 分别取值 81，82，83，125，第 18 页（共 45 页）得 ，将以上各式相加，并整理得 代入数据计算，可得由S 的定义，得S=21111 （2012辽宁）设 f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，bR ，a，b 为常数） ，曲线y=f（x）与直线 y= x 在（0，0）点相切（I）求 a，b 的值；（II）证明：当 0x2 时，f （x） 【解答】 （I）解：由 y=f（x）过（ 0，0） ， f（0）=0，b=1曲线 y=f（x）与直线 在（0，0）点相切y|x=0=a=0；（II）证明：由（I）知 f
35、（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当 x0 时， ， 令 k（x）=ln（ x+1）x，则 k（0）=0，k（x）= ，k（x）0ln（x+1）x，由得，当 x0 时，f（x）记 h（x）=（x+6）f（x）9x，则当 0x2 时，h（x）=f（x）+（x+6）f（x）9第 19 页（共 45 页） =h（ x）在（ 0，2）内单调递减，又 h（0）=0， h（x） 0当 0 x2 时，f（x） 12 （2012福建）已知函数 f（x）=axsinx （a R） ，且在 上的最大值为 ，（1）求函数 f（x）的解析式；（2）判断函数 f（x）在（0， ）内的零点个数，并加以证明【解答】解：
36、（I）由已知得 f（x）=a（sinx+xcosx） ，对于任意的 x（0， ） ，有sinx+xcosx0，当 a=0 时，f （x）= ，不合题意；当 a0 时，x （0， ） ，f （x）0，从而 f（x）在（0， ）单调递减，又函数 在 上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为 f（ 0）= ，不合题意；当 a0 时，x （0， ） ，f （x）0，从而 f（x）在（0， ）单调递增，又函数 在 上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为 f（ ）= = ，解得 a=1，综上所述，得（II）函数 f（ x）在（0，）内有且仅有两个零点证明如下：由（I）知， ，从而有 f（0）= 0，
37、f（ ）= 0，又函数在 上图象是连续不断的，所以函数 f（x）在（0， ）内至少存在一个零点，又由（I）知 f（x）在（0， ）单调递增，故函数 f（x）在（0， ）内仅有一个零点第 20 页（共 45 页）当 x ， 时，令 g（x）=f（x）=sinx+xcosx，由 g（ ）=1 0，g（）= 0，且g（x）在 ， 上的图象是连续不断的，故存在 m（ ，） ，使得 g（m ）=0由 g（x）=2cosxxsinx，知 x（ ，）时，有 g（x）0，从而 g（x）在 ， 上单调递减当 x（ ，m） ，g（x）g（m）=0，即 f（x）0，从而 f（x）在（ ，m）内单调递增故当 x（ ，
38、m）时，f（x）f （ ）= 0，从而（x）在（ ，m）内无零点；当 x（m，）时，有 g（x）g（m）=0 ，即 f（x） 0，从而 f（x）在（ ，m）内单调递减又 f（m）0，f（ ）0 且 f（x）在m， 上的图象是连续不断的，从而 f（x）在m， 内有且仅有一个零点综上所述，函数 f（x）在（0 ，）内有且仅有两个零点13 （2012湖北）设函数 f（x）=ax n（1x）+b（x0） ，n 为正整数，a，b 为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y=1（）求 a，b 的值；（）求函数 f（x）的最大值；（）证明：f（x） 【解答】解：（）因为 f（ 1）=
39、b ，由点（1，b）在 x+y=1 上，可得 1+b=1，即 b=0因为 f（x）=anx n1a（n+1 ）x n，所以 f（1）=a 又因为切线 x+y=1 的斜率为1，所以 a=1，即 a=1，故 a=1，b=0（）由（）知，f（x）=x n（1 x） ，则有 f（x）=（n+1 ）x n1（ x） ，令 f（x）=0，解得 x=在（0， ）上，导数为正，故函数 f（x）是增函数；在（ ，+）上导数为负，故函数 f（x）是减函数；故函数 f（x）在（0，+）上的最大值为 f（ ）=（ ） n（1 ）= ，（）令 （t ）=lnt 1+ ，则 （t）= = （t 0）第 21 页（共 45
40、 页）在（0，1）上，（t）0，故 （t）单调减；在（1，+） ， （t）0，故 （t）单调增；故 （t）在（0，+ ）上的最小值为 （1）=0，所以 （t）0（t1）则 lnt1 ， （ t1） ，令 t=1+ ，得 ln（1+ ） ，即 ln（1+ ） n+1lne所以（1+ ） n+1e ，即 由（）知，f（x） ，故所证不等式成立14 （2012湖南）已知函数 f（x）=e xax，其中 a0（1）若对一切 xR，f（x） 1 恒成立，求 a 的取值集合；（2）在函数 f（x）的图象上取定点 A（x 1，f（x 1） ） ，B（ x2，f（x 2） ） （x 1x 2） ，记直线AB
41、的斜率为 K，证明：存在 x0（x 1，x 2） ，使 f（x 0）=K 恒成立【解答】解：（1）f（x）=e xa，令 f（x）=0，解可得 x=lna；当 xlna，f （x）0，f（x）单调递减，当 xlna ，f （x）0，f（x）单调递增，故当 x=lna 时，f（x）取最小值，f（lna）=aalna ，对一切 xR，f（x） 1 恒成立，当且仅当 aalna1，令 g（t）=ttlnt，则 g（t）= lnt，当 0t1 时，g（t）0，g（t ）单调递增，当 t1 时，g （t）0，g（t）单调递减，故当 t=1 时，g （t）取得最大值，且 g（1）=1，因此当且仅当 a=1
42、 时，式成立，综上所述，a 的取值的集合为1（2）根据题意，k= = a，令 （x）=f（ x） k=ex ，则 （x 1）= （x 2x1）1，第 22 页（共 45 页）（x 2）= （x 1x2） 1，令 F（t）=e tt1，则 F（t ）=e t1，当 t0 时，F（ t）0，F （t）单调递减；当 t0 时，F（t ）0，F（t）单调递增，则 F（t）的最小值为 F（0）=0，故当 t0 时，F（t）F（0）=0，即 ett10，从而 （x 2x1）10，且 0，则 （x 1）0，（x 1x2）10， 0，则 （x 2）0，因为函数 y=（x）在区间x 1，x 2上的图象是连续不断
43、的一条曲线，所以存在x0（x 1，x 2） ，使 （x 0）=0，即 f（x 0）=K 成立15 （2012四川）已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A，设 f（n）为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距（）用 a 和 n 表示 f（n） ；（）求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值；（）当 0a1 时，比较 与 的大小，并说明理由【解答】解：（）抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A，A（ ）对 求导得 y=2x抛物线在点 A 处的切线方程为 ，f（ n）为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距，f（n）=a n；（）由（）知 f（n）=a n，
44、则 成立的充要条件是 an2n3+1即知，a n2n3+1 对所有 n 成立，特别的，取 n=2 得到 a第 23 页（共 45 页）当 a= ，n 3 时，a n4 n=（1+3） n1+ =1+2n3+2n 3+1当 n=0，1，2 时，a= 时，对所有 n 都有 成立a 的最小值为 ；（）由（）知 f（k）=a k，下面证明：首先证明：当 0x1 时，设函数 g（x）= x（x 2x）+1，0x1，则 g（x）= x（x ）当 0x 时，g（x）0；当 时，g（x）0故函数 g（x）在区间（0，1）上的最小值 g（x） min=g（ ）=0当 0 x1 时，g（x）0，由 0a1 知 0a k1，因此 ，从而= = =16 （2011四川）已知函数 f（x）= x+ ，h（x）= （）设函数 F（x）=f （x）h（x） ，求 F（x）的单调区间与极值；（）设 aR，解关于 x 的方程 log4 f（x1） =log2h（ax） log2h（4x） ；第 24 页（共 45 页）（）试比较 f（100）h（100 ） 与 的大小【解答】解：（）由 F（x）=f（x）h（x）= x+ （x0）知，F（x） = ，令 F（x）=0 ，得 x= 当 x（0， ）时
