1、12.2.2 椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质(重点) 2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点) 3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a顶点 (a,0)，(0， b) (b,0)，(0， a)轴长 长轴长2 a，短轴长2 b焦点 (c,0) (0， c)焦距 F1F22 c对称性 对称轴 x 轴、 y
2、轴，对称中心(0,0)离心率 e (0 e1)ca2.椭圆的离心率基础自测1判断正误：(1)椭圆 1( a b0)的长轴长等于 a.( )x2a2 y2b2(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a c.( )(3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆( )【解析】 (1).椭圆 1( a b0)的长轴长等于 2a.x2a2 y2b2(2).椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 a c，最小值为 a c.2(3).离心率 e 越小 c 就越小，这时 b 就越接近于 a，椭圆就越圆ca【答案】 (1) (2) (3)2椭圆 1 的离心率是_. x216 y225【导学号：95902089】【解析】 由方
3、程可知 a225， a5， c2 a2 b225169， c3， e .ca 35【答案】 35合 作 探 究攻 重 难已知椭圆方程求其几何性质已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)的离心率 e ，求 m 的值及椭圆的长轴和短32轴的长、焦点坐标、顶点坐标思路探究 把 椭 圆 方 程 标 准 化 利 用 离 心 率 求 m的 值 求 a， b， c 求 性 质【自主解答】 椭圆方程可化为 1.x2m y2mm 3 m 0， m ，mm 3 m m 2m 3 mm 3即 a2 m， b2 ， c .mm 3 a2 b2 m m 2m 3由 e 得 ， m 1.32 m 2m 3 32椭圆的标
4、准方程为 x2 1.y214 a1， b ， c .12 32椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点分别为 F1 ， F2 ；(32， 0) (32， 0)四个顶点分别为 A1(1,0)， A2(1,0)， B1 ， B2 .(0， 12) (0， 12)规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤3将 椭 圆 方 程 化 为 标 准 形 式焦 点 位 置求 出 a， b， c写 出 椭 圆 的 几 何 性 质跟踪训练1求椭圆 9x216 y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【导学号：95902090】【解】 把已知方程化成标准方程 1，于是 a4， b3， c ，x216 y
5、29 16 9 7椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，离心率 e ，ca 74两个焦点坐标分别是( ，0)，( ，0)，7 7四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程(1)已知椭圆 1( a b0)的离心率为 ，点 C 在椭圆上，则椭圆x2a2 y2b2 23 (2， 53)的标准方程为_(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 ，3则椭圆的标准方程为_思路探究 解决问题的关键是根据已知条件求出 a2 和 b2.【自主解答】 (1)由 e 得 ，又 c2 a2 b2，ca 23 c2a2 49所以
6、得 . a2 b2a2 49 b2a2 59又点 C 在椭圆上得 1， (2，53) 4a2 259b2由，解得 a29， b25.所以所求椭圆的标准方程为 1.x29 y25(2)由已知Error!Error! 从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y2124【答案】 (1) 1 (2) 1 或 1.x29 y25 x212 y29 x29 y212规律方法 1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数” ，一般步骤是：(1)求出 a2， b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方
7、程跟踪训练2直线 x2 y20 过椭圆 1 的左焦点 F1和一个顶点 B，则椭圆的方程为x2a2 y2b2_. 【导学号：95902091】【解析】 直线 x2 y20 与 x 轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故 c2.直线 x2 y20 与 y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故 b1.故a2 b2 c25，椭圆方程为 y21.x25【答案】 y21x25求椭圆的离心率(1)椭圆 1( ab0)的半焦距为 c，若直线 y2 x 与椭圆的一个交点 Px2a2 y2b2的横坐标恰为 c，则椭圆的离心率为_(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到 x 轴的距离等于短半轴长的 ，
8、则椭23圆的离心率为_思路探究 (1)求出点 P 的坐标，利用点 P 在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率 e 的方程，解方程可得离心率(2)在焦点三角形 PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到 a， b 的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解【自主解答】 (1)依题意有 P(c,2c)，点 P 在椭圆上，所以有 1，c2a2 4c2b2整理得 b2c24 a2c2 a2b2，又因为 b2 a2 c2，代入得 c46 a2c2 a40，即 e46 e210，解得 e232 (32 舍去)，从而 e 1.2 2 2(2)方法一：设焦点坐标为 F1( c,0)， F2(c,0
9、)， M 是椭圆上一点，依题意设 M 点坐标为( c， b)在 Rt MF1F2中， F1F MF MF ，即 4c2 b2 MF ，而 MF1 MF223 2 2 21 49 215 b2 a，整理，得 3c23 a22 ab.4c2 49b2 23又 c2 a2 b2 3 b2 a. .b2a2 49 e2 1 ， e .c2a2 a2 b2a2 b2a2 59 53法二：设 M ，代入椭圆方程，得 1，(c，23b) c2a2 4b29b2 ， ，即 e .c2a2 59 ca 53 53【答案】 (1) 1 (2)253规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法1 直接法：若已知 a， c
10、 可直接利用 e 求解.若已知 a， b 或 b， c 可借助于caa2 b2 c2求出 c 或 a，再代入公式 e 求解.ca2 方程法：若 a， c 的值不可求，则可根据条件建立 a， b， c 的关系式，借助于a2 b2 c2，转化为关于 a， c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.跟踪训练3椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别是 F1、 F2，过 F1作倾斜角为 45的直x2a2 y2b2线与椭圆的一个交点为 M，若 MF2垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为_. 【导学号：95902092】【解析】
11、因为 MF2垂直于 x 轴， MF1F245，所以 MF1F2是等腰直角三角形，以 MF1为斜边设 MF1 m(m0)，则 MF2 F1F2 m，又因为 F1， F2是椭圆的左、右2焦点，所以 MF1 MF22 a，即 2a(1 )m，而 2c F1F2 m，所以 e 2ca 2c2a 1.m 1 2 m 2【答案】 126直线与椭圆的综合应用探究问题1已知直线 y kx m 和椭圆 1( ab0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？x2a2 y2b2【提示】 由Error!得( a2k2 b2)x22 kma2x a2(m2 b2)0，设该二次方程的判别式为 ，若 0，则直线与椭圆有两个交点；若
12、 0，则直线与椭圆有一个交点；若 0，则直线与椭圆没有交点2如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究 1 中得到的关于x 的二次方程有什么关系？【提示】 探究 1 中得到的关于 x 的二次方程( a2k2 b2)x22 kma2x a2(m2 b2)0 的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标3设直线与椭圆有两个交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段 AB 的中点为 M，那么如何求线段 AB 的长和 M 的坐标？【提示】 方法一：解方程( a2k2 b2)x22 kma2x a2(m2 b2)0，可得 x1， x2，由y kx m 可得 y1， y2，即得 A(x
13、1， y1)， B(x2， y2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段 AB 的长和 M 的坐标方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求”思路解决问题即 AB x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 kx1 m kx2 m 2 x1 x2 2 kx1 kx2 2 1 k2 x1 x2 2 ，1 k2 x1 x2 2 4x1x2点 M 的坐标可直接利用根与系数的关系求解上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题如图 222 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1( a b0)x2a2 y2b2的焦距为 2，过右焦点 F 的直线 l 交
14、椭圆于 A、 B 两点，当 l 与 x 轴垂直时， AB 长为 .433图 222(1)求椭圆的标准方程；7(2)若椭圆上存在一点 P，使得 ，求直线 l 的斜率. OP OA OB 【导学号：95902093】【自主解答】 (1)由题意可知 2c2， c1，当 l 与 x 轴垂直时| AB| ，由2b2a 433a2 b2 c2，得 a ， b ，故椭圆的标准方程是： 1.3 2x23 y22(2)设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程： y k(x1)，设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，P(x3， y3)由Error!，可得(3 k22) x26 k2x3 k260，则
15、 x1 x2 ， x1x2 .6k23k2 2 3k2 63k2 2因为 则Error!，代入椭圆方程 1，OP OA OB x1 x2 23 y1 y2 22又 1， 1，x213 y212 x23 y22化简得 2x1x23 y1y230，即(3 k22) x1x23 k2(x1 x2)3 k230将 x1 x2 ， x1x2 代入得 3k26 3 k230，6k23k2 2 3k2 63k2 2 3k26k23k2 2化简得 k22， k ，故直线 l 的斜率为 .2 2规律方法 椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程
16、，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.跟踪训练4已知椭圆 1( a b0)的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 2.x2a2 y2b2 32(1)求该椭圆的方程；(2)若 P 是该椭圆上的一个动点， F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，求 的最大PF1 PF2 值与最小值【解】 (1)设椭圆的半焦距为 c，由题意 ，且 a2，得 c ， b1，ca 32 3所求椭圆方程为 y21.x24(2)设 P(x， y)，由(1)知 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3则 ( x， y)( x， y) x2 y23 x2 3
17、 x22，PF1 PF2 3 3 (1 x24) 34 x2,2，当 x0，即点 P 为椭圆短轴端点时，8 有最小值2；当 x2，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值 1.PF1 PF2 PF1 PF2 构建体系当 堂 达 标固 双 基1已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是12_. 【导学号：95902094】【解析】 由题意知 c1， e ，所以 a2， b2 a2 c23.故所求椭圆方程为ca 12 1.x24 y23【答案】 1x24 y232已知椭圆 1 有两个顶点在直线 x2 y2 上，则此椭圆的焦点坐标是x2a2 y2b2_【解析】
18、直线 x2 y2 过(2,0)和(0,1)点， a2， b1， c ，椭圆焦点3坐标为( ，0)3【答案】 ( ，0)33若椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍则 m 的值为_. 【导学号：95902095】【解析】 将原方程变形为 x2 1.由题意知 a2 ， b21， a ， b1.y21m 1m 1m 2， m .1m 14【答案】 1494已知椭圆 1( ab0)的两焦点为 F1、 F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰x2a2 y2b2好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_【解析】 设过左焦点 F1的正三角形的边交椭圆于 A，则 AF1 c， AF2 c，有32a(1 )c，3 e 1.ca 21 3 3【答案】 135当 m 取何值时，直线 l： y x m 与椭圆 9x216 y2144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点. 【导学号：95902096】【解】 由Error!消去 y 得，9 x216( x m)2144，化简整理得，25 x232 mx16 m21440， (32 m)2425(16 m2144)576 m214 400.(1)当 5，直线 l 与椭圆无公共点. (2)当 0 时，得 m5，直线 l 与椭圆有且仅有一个公共点(3)当 0 时，得5 m5，直线 l 与椭圆有两个公共点
