1、2018 届吉林省实验中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知 ，则 ( )P=1,0, 2 Q=y|y=sinx,xR PQA. B. C. D. 0 1,0, 2【答案】C【解析】试题分析：因为， ，所以， .选 .N=-1,1 MN=-1,0 C考点：集合的运算2. 已若 3 2i4 i ，则 等于 ( )z zA. 1i B. 13i C. 1i D. 13i【答案】B【解析】 32i4i ，z 。选 B。z 4 i (3 2i)=1 3i3. 下列说法不正确的是(
2、 )A. 命题 “对 ,都有 ”的否定为“ ,使得 ”xR x20 x0R x02b ac2bc2C. “若 ，则 ” 是真命题tan 3 3D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题 是“甲考试及格”, 是“乙考试及格”,则命题“至少有一p q位学生不及格”可表示为 (p)(q)【答案】D【解析】试题分析：由全称命题的否定可知，命题“对 ,都有 ”的否定为“ ,使得 ”，xR x20 x0R x02bac2bc2 ac2bc2 c0 c20质可知 ，因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，B 选项说法正确；考查命题“若 ，则ab ab ac2bc2 tan 3”的逆否命题“若 ，则 ”的真假性
3、，显然，命题“若 ，则 ”为真命题，因此，命3 =3 tan= 3 tan 3 3题“若 ，则 ”为真命题，故 C 选项说法也正确；命题“至少有一位学生不及格”的否定是“两位学tan 3 3生都及格”，其否定的表示为“ ”，因此命题“ 至少有一位学生不及格”的表示为 ，故pq (pq)=(p)(q)D 选项说法错误，故选 D.考点：1.全称命题的否定；2.充分必要条件；3.四种命题；4.复合命题4. 函数 的零点所在的一个区间是 ( )f(x)=ex+x2A. B. C. D. (2,1) (1,0) (0,1) (1,2)【答案】C【解析】试题分析： ，根据零点存在定理，可知在区间（0,1）
4、内存在零点，故选 C考点：零点存在定理5. 设 ， ， ，则（ ）a=log213 b=e12 c=lnA. B. C. D. c45 15+4x201所以 ，所以 ，所求范围为 。选 B01 21f(x)dx【答案】 2+e2e【解析】由积分的运算法则可得。2-1f(x)dx=111x2dx+21exdx=2+ex|21=2+e2e答案： 。2+e2e点睛：求定积分时要根据被积函数的特点选择相应的方法，一般有以下两种策略：（1）运用微积分基本定理求解，即利用 ，求解的关键是找到函数 ，且baf(x)dx=F(x)|ba=F(b)F(a) F(x)；F(x)=f(x)（2）运用定积分的几何意义
5、求解，一般是对于被积函数为 形式的定积分长转化成圆的面积求解。a2x215. 已知 P 为三角形 ABC 内部任一点（不包括边界） ，且满足( - )( + -2 )=0，则ABC 的形状一定为_.【答案】等腰三角形【解析】 ,PBPA=AB=CBCA,PB+PA2PC=(PBPC)+(PAPC)=CB+CA又 ,(PBPA)(PB+PA2PC)=0 ,(CBCA)(CB+CA)=CB2CA2=0 ，故 。CB2=CA2 |CB|=|CA|ABC 一定为等腰三角形。答案：等腰三角形16. 对于任意实数 ，定义 .定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若方程 恰有两个根，则 的取m m m
6、m m m m m m值范围是为_ .【答案】 1,1 ln2,13)(13,ln2【解析】由题意可得 ，又 ，故函数 是周期为 4 的函数。画出函数 的f(x)=2x1,0x12x,1x2 f(x+4)=f(x) f(x) f(x)图象如图所示。令 ，则方程 恰有两个根等价于函数 和函数 的图象恰有两个公共点。g(x)=mx f(x)mx=0 f(x) g(x)当直线 经过原点和点 A,A1时，图象有两个公共点，满足条件，此时 或 。g(x)=mx m=kOA=1m=kOA1=1此时 的取值为 。m 1,1当直线 在 y 轴右侧与 的图象相切时，可得 ，又当直线 经过点 Bg(x)=mx f
7、(x) m=(2x1)|x=0=ln2 g(x)=mx时， ，两图象有 3 个公共点，不和题意，此时 的取值范围为 。根据 为偶函数得，当m=kOB=13 m (13,ln2 f(x)直线 在 y 轴左侧与 的图象有 2 个公共点时， 的取值范围为 。g(x)=mx f(x) m ln2,13)综上，实数 的取值范围为 。m 1,1ln2,13)(13,ln2答案： 。1,1ln2,13)(13,ln2点睛：利用函数图象解题仍是解决本题的关键，由题意可得函数 f（x）是周期函数，从而作出函数 f（x）与 y=mx 的图象，再结合图象求出临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案，解题中还要注意导数
8、几何意义的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知向量 ， ，设函数 (xR)（1）求函数 的单调增区间；（2）已知 的三个内角分别为 若 ， ，边f(x) ABC A，B，C，求边 【答案】 （1） ； （2）【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得 ，把 看做一个整体，代入正弦函数的增f(x)=2sin(2x+6) 2x+6区间求得 x 的范围即为所求；（2）根据 求得 ，故 ，利用正弦定理可求得 的f(A)=2 A=6 C=(A+B)=712 BC值。试题解析： R，由 x得 6 分函数 的单调增区间为 f(x)（2） ，即 ，角 为锐角，得 ，又 ， ，
9、，由正弦定理得18. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 n2n( nN*)，数列a n满足 an4log 2bn3(nN *).(1)求 an，bn； (2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn.【答案】(1) b n2 n1 ，nN *.(2) Tn(4n5)2 n5，nN *.【解析】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系， ，先求出当 时的关系式，再an=SnSn1,n2S1,n=1 n2去验证 时是否成立，从而确定出最后的结果，将 代入题中所给的式子，化简求得 ，n=1 an=4n1 bn=2n1所以数列 是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相
10、减法求得其和anbn试题解析：（1）由 Sn=2n2+n，可得当 时，n2当 时， 符合上式，所以n=1 a1=3 an=4n1由 an=4log2bn3 可得 =4log2bn3，解得 4n1 bn=2n1,nN*（2） anbn=(4n1)2n1 Tn=3+721+1122+1523+.+(4n1)2n12Tn= 321+722+1123+1524+.+(4n1)2n-可得Tn= 3+421+22+23+24+.+2n1(4n1)2n= 3+42(12n1)12 (4n1)2n=5+(54n)2n Tn=5+(4n5)2n,nN*考点：求数列的通项公式，错位相减法求和【思路点睛】该题考查的
11、是数列的综合问题，在求数列 的通项公式时，需要应用数列的项与和的关系，an在求解的过程中，需要对 时对 的式子是否成立，求数列 的通项公式时需要对指对式的互化要n=1 n2 bn熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强19. 如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，且 ， ，PABCD PAB ABCD PAB=ABC=90 AD/BC， 是 的中点PA=AB=BC=2AD E PC（）求证： 平面 ；DE PBC（）求二面角 的余弦值APDE【答案】 （）见解析；（） 。66【解析】试题分析：（1）根据条件可得 ， 两两垂直，因此可建立空间直角坐标系，然后将PA,AB AD平面 的问题转化成用向量证明 ， 的问题；（2）求出平面 ，平面 的法向DE PBC DEPB DEPC PAD PCD量，利用两向量的夹角求出二面角的平面角。试题解析：（）证明：因为侧面 底面 ，且 ， ，PAB ABCD PAB=ABC=90 AD/BC所以 ， ， ，PAAB PAAD ADAB如图，以点 为坐标原点，分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系. A AD AB AP x y z
