1、2018 届吉林省实验中学高三上学期第六次月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选 D2. 设复数 ，则（ ）A. B C D【答案】C【解析】故选：C3. 若双曲线 的一个焦点为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线性质： ，故选4. 设向量、 满足 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
2、积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由几何体的三视图可知该几何体可由边长为 2 的正方体切去 而得，该几何体的体积为故选：B6. 设 满足约束条件 则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由约束条件 作出可行域如图，易得 A（1，1），化目标函数 z=2xy 为 y=2xz，由图可知，当直线 y=2xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为 3故选：A点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直
3、线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 执行如图的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根题意得到，n=1,S=1,N=2,S=3;N=3,S=6;N=4,S=10;N=5,S=15;此时 S11,输出 S=15.故答案为：C。8. 若函数 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ，解得： ，设 ，作出 的图象，当 时，满足题意.故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关
4、于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解9. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 设等差数列的公差为 ，则 ，得 ，由 ，解得 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.点睛：本题主要考查了充分不必要条件的判定问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式，等差数列的前 项和公式，以及充分不必要条件的判定等知识点的运
5、用试题比较基础，属于基础题，解答中根据等差数列的 和 作出准确运算是解答的关键.10. 函数 的部分图像如图所示，为了得到 的图像，只需将函数 的图象（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个的单位C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度【答案】D【解析】由函数 的部分图象，可得将 代入得 故可将函数 的图象向左平移 个单位长度，即可得到 的图象，故选 D【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，由函数的最值求出 由周期求出 ，由特殊点求出 的值， 的图象变换规律11. 在四面体 中， 底面 ， ， , 为棱 的中点，点 在 上且满足，若四面体 的外接球的表面积为
6、 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，设 的外心为 O，则 在 上，设 ，则即 ，解得四面体 的外接球的半径，解得则故选点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题有一定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算 12. 已知函数 的导数为 ， 不是常数函数，且 对 恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】构造函数 ，则 恒成立，函数 在 上单调递增，故选 D【点睛】本题主要考查函数值的大小，
7、结合条件，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若函数 ，则 _【答案】7【解析】 .故答案为：714. 在 的展开式中，若第四项的系数为 ，则 _【答案】1【解析】展开式中 由题意可得： ，解得 故答案为：115. 直线经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点，若 ，则直线的斜率为_【答案】【解析】依题意，抛物线 的焦点设直线的方程为由 得 ，设 ，即， ，解得 或或又 ，将 代入解得点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，根据题中所给条件，设出直线方程为 ，联立直线
8、方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果16. 在数列 中， ，且 .记 ， ，则下列判断正确的是_ （填写所有正确结论的编号）数列 为等比数列；存在正整数 ，使得 能被 整除； ； 能被 整除.【答案】【解析】 ，又 ，数列 为首项为 3 公比为 3 等比数列， ，则 ，当 时， 内被 11 整除，故都正确. ， . ， ， ，故错误， ， 能被 51 整除.故正确.故答案为：三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且 .（
9、1）求角 ； （2）若 ， 的面积为 ， 为 的中点，求 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又因为 ，求出 ，结合 的范围可求 的值利用三角形内角和定理可求 ，利用三角形面积公式求，在 中，利用余弦定理可求 ，在 中，利用正弦定理可求解析：（1）由 ，得 ，由正弦定理可得，因为 ，所以 ，因为 ，所以 .（2）因为 ，故 为等腰三角形，且顶角 ， 故 ， 所以 ，在 中，由余弦定理可得， ，所以 ，在 中，由正弦定理可得， ，即 ，所以 .18. 某家电公司根据销售区域将销售员分成 ， 两组.2017 年年初，公司
10、根据销售员的销售业绩发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间 ， ， ， 内对应的年终奖分别为 万元， 万元， 万元， 万元.已知 名销售员的年销售额都在区间 内，将这些数据分成 组：， ， ， ，得到如下两个频率分布直方图： 组的频率分布直方图 组的频率分布直方图 以上面数据的频率作为概率，分别从 组与 组的销售员中随机选取 位，记 ， 分别表示 组与 组被选取的销售员获得的年终奖.（1）求 的分布列及数学期望；（2）试问 组与 组哪个销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1） 组销售员的销售额在 ， ， ， 的频率分别为：，
11、 ， ， ，由此可得 的分布列及（2） 组销售员的销售额在 ， ， ， 的频率分别为：， ， ， ，由此可得 的分布列及 ，比较可得 组销售员获得的年终奖的平均值更高.试题解析：（1） 组销售员的销售额在 ， ， ， 的频率分别为：， ， ， ，则 的分布列为：（元）故 （元）.（2） 组销售员的销售额在 ， ， ， 的频率分别为：， ， ， ，则 的分布列为：（元）故 （元）.，组销售员获得的年终奖的平均值更高.19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 . （1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析
12、：（1）通过证明 平面 来证明平面 平面 。 （2）由 OP、OA、OB 两两垂直，所以建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角。试题解析：（1）证明： 是以 为斜边的等腰直角三角形， .又 ， ， 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 .（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ，则 ， ，设 是平面 的法向量，则 ，即 ，令 得 .由（1）知，平面 的一个法向量为 ， .由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角 的平面角的余弦值为 .【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时 cos
