1、专题 13 旋转变换 （录入：王云峰）阅读与思考在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心例题与求解【例 1】如图，边长为 1 的正A 1B1C1 的中心为 O，将正A 1B1C1 绕中心 O 旋转到A 2B2C2，使得A2B2 丄 B
2、1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形 ABCDEF）的面积为（“新知杯”上海市竞赛试题） 解题思路：S 六边形 ABCDEF ，解题的关键是寻找 CB1，CB2，CD，C1D 之间的关系 223ABCDSABCDEFO1122【例 2】如图，已知AOB ，COD 都是等腰直角三角形，AOB CQD90，N，M，Q，P 分别为 AB，CB， CD，AD 的中点求证：四边形 NMQP 为正方形解题思路：连结 BD，AC，并延长 AC 交于点 E，则 OAC 可以看作是由OBD 绕点 O 逆时针旋转90得到的，且AED90 ，这 是证明本例的关键QABCDEMNOP【例 3】如图，巳知在ABC
3、中，ABAC ，P 为形内一点，且APBAPC 求证：PBPC （北京市竞赛试题）解题思路：以 A 为中心，将APB 旋转一个BAC ，使 AB 边与 AC 边重合，这时APB 到了 APC 的位置ABCP【例 4】点 B，C，E 在同一直线上，点 A，D 在直线 CE 的同侧，AB AC，EC ED，BAC CED，直线 AE，BD 交于点 F（1）如图 1，若BAC 60，则 AFB；如图 2，若BAC90，则AFB；（2）如图 3，若BAC ，则AFB（用含 的式子表示） ；（3）将图 3 中的ABC 绕点 C 旋转（点 F 不与点 A，B 重合） ，得图 4 或图 5在图 4 中， A
4、FB与 的数量关系是；在图 5 中， AFB 与 的数量关系是请你任选其中一个结论证明 （武汉市中考试题）ABCDEF图 1ABCDEF图 2ABCDEF图 3ABCDEF图 4ABCDEF图 5Q解题思路：从特殊到一般，在 动态的旋转过程中，有两 组不 变的关系：ABCEDC，BCDACE，这是解本例的关键【例 5】如图，已知凸五边形 ABCDE 中，ABBCCDDEEA，ABC2DBE求证：ABC60 （北京市竞赛试题）解题思路：将ABE 以 B 为旋 转中心顺时针旋转ABC，使得 AB 与 BC 重合，落在CBE位置， 则ABECBE，AECE， BEBE，CBE ABEABCDEE【例
5、 6】如图，已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A，B，C 三点的距离之和的最小值为 ，求此26正方形的边长 （广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解 题的关键 是确定最小值时 E 点的位置，通过旋转变换，把 EA，EB，EC 连结起来 ABCDE能力训练A 级1如图，巳知正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE2，EC1，把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E落在直线 BC 上的点 F 处，则 F，C 两点的距离为 （上海市中考试题）ABCD第 1 题ABCP第 2 题ABCD第 3 题2如图，P 是正ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC10若将PAC
6、 绕点 A 逆时针旋转后，得到P AB，则点 P 与点 P之间的距离为，APB（青岛市中考试题）3如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，AB BC，AD2，BC3， BCD45将 CD 以点 D 为中心逆时针旋转 90至 ED，连结 AE，则 ADE 的面积是4如图，在 RtABC 中，已知C90 ，B50，点 D 在边 BC 上，BD2CD把ABC 绕着点 D 逆时针旋转 （0 180）度后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，那么m（上海市中考试题）ABCD第 4 题ACDB第 5 题ABCDEFGHKP第 6 题5如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向
7、旋转 60至 ABCD的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是（全国初中数学联赛试题）6如图，在 RtABC 中，A90 ，AB6cm，AC 8cm以斜边 BC 上距离点 B6cm 的点 P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 90至 DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为（黄冈市竞赛试题）7如图，将ABC 绕点 C（0， 1）旋转 180得到ABC，设点 A的坐标为（ ， ） ，则点 A 的 ab坐标为（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）ababa1b2（河南省中考试题）xyOABCA第 7 题ABCP第 8 题ABCP第 9 题8如图，已知 P 是等边
8、ABC 内部一点，APBBPCCPA 567则以PA， PB，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）A234 B3 45 C456 D不能确定（全国初中数学通讯赛试题）9如图，在ABC 中， BAC120 ，P 是ABC 内一点，则（ ）APAPBPCABACBPA PBPCABACCPA PBPCABACDPAR BPC 与 ABAC 的大小关系不确定（武汉市竞赛试题）10已知：如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使OF2OA，OE2OD连结 EF，将FOE 绕点 O 逆时针旋转 角得到FOE（如图 2） ABCDEFO图 1
9、ABCDO图 2（1）探究 AE 与 BF的数量关系，并给予证明；（2）当 30时，求证：AOE为直角三角形（南通市中考试题）11在ABC 和DEF 中，ABAC，DE DF，BACEDF ，点 M，N 分别是 BE，CF的中点（1）若点 A 与点 D 重合，点 E，F 分别在 AB，AC 上（如图 1） ，则 AM 与 AN 的数量关系是，MAN 与 的数量关系是；（2）将图 1 中的DEF 绕点 A（D ）旋转（如图 2） ，第（ 1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 ABC()DEFMN图1ABC()DEFMN图 2B 级1如图，ABC 是边长为 1 的等边三
10、角形， BDC 是顶角 BDC120的等腰三角形，MDN60，则AMN 的周长（重庆市竞赛试题）ABCDMN第 1 题ABCM第 2 题xyO第 3 题2如图，在等腰 RtABC 的斜边 AB 上取两点 M，N ，使 MCN45 ，记AM ，MN ，BN ，则以线段 ， ， 为边长的三角形的形状是（ ）mxnxmnA锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 ， ， 的变化而变化xn（安徽省竞赛试题）3如图，直线 与 轴， 轴分别交于 A，B 两点，把AOB 绕点 A 顺时针旋转 90后y43xy得到 AOB，则点 B的坐标是（ ）A （3，4） B （4 ，5） C （7，4） D （7，3
11、）（丽水市中考试题）4如图，正方形 ABCD 中，已知 AB ，点分别在 BC，CD 上，且BAE30 ，DAF15，3求 AEF 的面积（“希望杯”邀请赛试题）ABCDEF第 4 题ABCD图ABCDP图第 5 题5 （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BCD120 求证：BCDCAC；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABBC， ABC60，P 为四边形 ABCD 内一点，且APD120 ，求证： PAPDPCBD （江苏省竞赛试题）6如图，在ABC 中，ABAC ， BAC120， ADE 是正三角形，点 D 在边 BC 上，已知BDDC23，当ABC 的
12、面积是 50cm2 时，求ADE 的面积（日本数学奥林匹克试题）ABCDE第 6 题ABCOP第 7 题7如图，已知 O 是锐角三角形 ABC 内一点，AQBBOCCOA120，P 是ABC 内任一点求证：PA PB PCOA OBOC（杭州市竞赛试题）8 （1）如图 1，已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC） ，B，C，G 在同一条直线上，M 为线段 AE 的中点探究：线段 MD，MF 的关系；（2）如图 2，若将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 45，使得正方形 CGEF 的对角线 CE 在正方形ABCD 的边 BC 的延长线上， M 为 AE 的中点试问：（1）中探究
13、的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）如图 3，若将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 ，M 为 AE 的中点试问：第（1）问中探究的结论是否成立？（大连市竞赛试题）ABCDEFGM图 1ABCDEFGM图 2ABCDEFGM图 39已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，BEEF，BEF90按图 1 的位置，使点 F 在 BC 上，取 DF 的中点 G，连结 EG， CG（1）探索 EG，CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中BEF 绕点 B 顺时针旋转 45，再连结 DF，取 DF 中点 G（如图 2） ，第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；（3）将
14、图 1 中BEF 绕点 B 转动任意角度（在 090 之间） ，再连结 DF，取 DF 的中点 G（如图3） ，第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明 ABCDEFG图 3ABCDEFG图 2图 1ABCDEFG10在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A（3，0） ，B（0，4） 以点 A 为旋转中心，把ABO 顺时针旋转，得 ACD记旋转角为 ，ABO 为 （1）如图 1，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标；（2）如图 2，当旋转后满足 BC 轴时，求 与 之间的数量关系；x（3）当旋转后满足AOD 时，求直线 CD 的解析式（天津市中考试题）ACDOyx图 1BACDOyx图 2B第 10题ABCP第 11题11如图，在ABC 中，BAC 60 ，AB2AD ，点 P 在ABC 内，且PA ，PB5，PC2，求 ABC 的面积3（“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）
