1、反射变换【问题引入】在平面直角坐标系中，第一象限内有一点 ，将它做关(,)Pxy于 轴， 轴和坐标原点的对称的变换，分别得到点 .xy 123,由题意知：假设三个变换分别为 ，对应的变换矩阵分别为 ，123,T123,M则有：， 1:xxTyy10M，22，3:xxyy3011.反射变换概念：像 ， ， 这样将一个平面图形 变为01F关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，相应地，前者称作轴反射，后者称做中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点.2.反射变换的分类：与矩阵 对应的变换是关于 轴的轴反射变换.10Mx与矩阵 对应的变换是关于 轴
2、的轴反射变换.2 y与矩阵 对应的变换是关于原点的中心反射变换 .301与矩阵 对应的变换是关于直线 的中心反射变换.4yx3.线性变换的概念：一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换.考查点 1：有关反射变换的问题例 1.求直线 在矩阵 对应的变换下所得的图形的表达式.6yx01例 2.求出曲线 在矩阵 作用下变换得到的曲线的表达式.(0)yx10例 3.求曲线 在矩阵 对应的反射变换作用下得到的2:9Cxy01M图形的周长例 4：研究直线 在矩阵 对应的变换作用下变成曲线的3210xy1 0-表达式解：任取直线 的一点 ，它在矩阵 对应的变3
3、210xy0(,)Pxy1 0-换作用下变为 ，0(,)P则有 ，故 即01 -xy00,xy00xy又因为点 P 在直线 上，所以3210321即有 00032(),xyxy 从而直线 在矩阵 作用下变成直线 。1 1-210xy旋转变换【问题引入】假设大风车的叶片在同一个平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立坐标系，在大风车的叶片上任取一点 ，它围绕中O (,)Pxy心点 逆时针旋转 角后得到另外一点 ，则旋转前后叶片上的点的(,)Pxy位置变化也可以看做是一个几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换呢？设 与 轴正向夹角为 ， ，则有 ，OPx|OPrcosinxry.将cos()cossini
4、nincoxrrry cos,inxry代入有isisxy由题意知： 即cosin:ixxyTycosin:ixxTyy所以得到变换矩阵为 .cosini1. 旋转变换的概念：矩阵 通常称为旋转变换矩阵，对应cosini的变换称做旋转变换，其中角 叫做旋转角，定点 叫做旋转中心.O2. 知识扩展（1） 当旋转中心为坐标原点且 逆时针 旋转 角时，旋转变换的变换矩阵为 ；当旋转中心为坐标原点用 顺时针 旋转 角cosin 时，旋转变换的矩阵为 .cosin（2） 旋转变换只改变几何图形的相对位置，不改变几何图形的形状和大小.（3） 图形的旋转由旋转中心和旋转的角度共同决定.（4） 显然，绕定点旋
5、转 的变换相当于关于原点的中心反射变换.180【典例剖析】考查点 1：有关旋转变换的问题例 1：已知 ，求矩形 绕原点逆时针旋转)0,(A,2B)1,(C,0DABCD后得到的图形的顶点坐标.90例 2：将双曲线 C： 上点绕原点逆时针旋转 45，得到新21xy图形 ，试求 的方程。C解：由题意，得旋转变换矩阵 M= ，2 -cos45 -ini 任意选取双曲线 上的一点 ，它在变换 TM作用下变21xy0(,)Pxy为 ，0(,)Pxy则有 M ，故 ，0y000022()(),xyxy 又因为点 P 在曲线 上，所以 ，21xy201xy即有 。021xy所求的 方程为 。C12xy【自我评价】1. 已知点 和点 ，求向量 在矩阵 对应的反射变换(2,3)A(,5)BAB01M作用下得到的向量的坐标.2. 求直线 在矩阵 对应的反射变换作用下得到的图形的方3yx01M程.3. 椭圆 在经过矩阵 对应的变换后所得的曲线是什么图2196xy01M形？4. 已知点 在轴反射变换下的新坐标为 .(3,1)P(1,3)Q（1） 求该反射变换所对应的变换矩阵；（2） 求曲线 在此变换作用下所得的图形的表达式，并指出图形2yx的类型.5. 求椭圆 绕坐标原点逆时针旋转 后所得的曲线的方程.2196xy36. 在平面直角坐标系 内，求关于直线 的反射变换对应的变换矩xOy2yx阵.
