1、1任意角一、知识概述1、角的分类：正角、负角、零角.2、象限角：（1）象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.3、终边相同的角的集合：所有与 角终边相同的角，连同 角自身在内，都可以写成k360(kZ)的形式；反之，所有形如 k360(kZ)的角都与 角的终边相同4、准确区分几种角锐角：090；090：090；第一象限角： 5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为 1 弧度角（1 rad）.1 rad= ，1= rad.6、弧长公式：l=R.7、扇形面积公式： .二、例题讲解例 1、写出下列终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式 的元素 写出来：（1）60；（2）21；（3）
2、36314解：（1） ，S 中满足 的元素是2（2） ，S 中满足 的元素是（3） ，S 中满足 的元素是例 2、写出终边在 y 轴上的角的集合.解析： .注：终边在 x 轴非负半轴： .终边在 x 轴上： .终边在 y=x 上： .终边在坐标轴上： .变式：角 与 的终边关于 x 轴对称，则 =_.答案： .3角 与 的终边关于 y 轴对称，则 =_.答案：任意角的三角函数一、知识概述1、定义：在直角坐标系中，设 是一个任意角， 的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 P（x，y），那么 sin=y，cos=x，tan= .注：对于确定的角 ，其终边上取点 ，令 ，则. 的终边没有表明 一定是
3、正角或负角，以及 的大小，只表明与 的终边相同的角所在的位置.2、公式一： ，其中 .3、三角函数线角 的终边与单位圆交于 P 点，过 P 作 PMx 轴于 M，则 sin=MP(正弦线)，cos=OM（余弦线）.过 A 作单位圆的切线，则 的终边或其反向延长线交此切线于点T，则 tan=AT（正切线）.注：若 ，则 .4二、例题讲解例 1、已知角 的终边上一点 ，且 ，求 的值解：， ， .当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， 例 2、化简下列各式（1） ；5（2） 解：（1）（2）同角三角函数的基本关系一、知识概述1、平方关系： 2、商数关系： 二、例题讲解例 1、已知 tan 为
4、非零实数，用 tan 表示 sin，cos解： ， ， .6 ，即有 ，又 为非零实数， 为象限角当 在第一、四象限时，即有 ，从而 ，；当 在第二、三象限时，即有 ，从而 ，例 2、已知 ，试确定使等式成立的角 的集合例 3、已知 ，求 sinx，cosx 的值解：由 等式两边平方：7 ，即 ， 为一元二次方程 的两个根，解得 又 ， 因此 例 4、化简： .解法一：原式=.解法二：原式= .解法三：原式= .例 5、已知 ，则8（1） _(2) _(3) _解：（1） ；（2） ；三角函数的诱导公式一、知识概述诱导公式一：.诱导公式二：.诱导公式三：， ， 诱导公式四：， ， .诱导公式五
5、：9， 诱导公式六：， 引申：诱导公式七：， 诱导公式八：， 记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”二、例题讲解例 1、化简：（1） ；（2）（3） （4）（5） 解：（1）原式 10（2）原式= .（5）例 2、已知 求 的值解：由 得 ，所以例 3、已知 则 _解：正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）11一、知识概述1、正弦函数、余弦函数的图象2、性质：定义域：xR值域：1，1周期性：都是周期函数，且最小正周期为 .二、例题讲解例 1、作函数 的简图（2）描点连线（图象见视频）.例 2、求下列函数的周期（1） ；（2） ；（3） ；（4）解：（1）令 ，则 .f(xT)=f(x)恒成立，
6、 .12周期为 4.注： .（2） .注： .（3）T=（4）T= 假设 ，使 令x=0，得 ， ，与 时 矛盾T= .例 3、求下列函数的定义域：（1） ； (2) y=lg(2sinx1) 解：（1） ， ， (2) ， .其定义域为 .正弦函数与余弦函数的图象与性质（二）一、知识概述1、图象（见视频）132、性质：（1）定义域：都为 R.（2）值域：都为1，1.（3）周期性：都是周期函数，且 T=2.（4）奇偶性：y=sinx 是奇函数，y=cosx 是偶函数.（5）对称性：y=sinx 的对称中心为(k，0)（kZ），对称轴为.y=cosx 的对称中心为 ，对称轴为 .（6）单调性：y
7、=sinx 在 上单调递增；在上单调递减.y=cosx 在 上单调递减；在 上单调递增.二、例题讲解例 1、在 中， ，若函数 y=f(x)在0，1上为单调递减函数，则下列命题正确的是（ ）A BC D解： ， ， .所以 答案：C例 2、求下列函数的单调递增区间：（1） ；（2） ；14（3） ；（4）y=|sin（x ）|解：（1）法一：图象法（图象见视频）.法二：令 ， .所以，函数单调递增区间为 （2）令 ， ，所以，函数单调递增区间是 （3）令 .所以，函数单调递增区间是 .法二： ，令 ， ，所以，函数的递增区间是 （4）函数的递增区间为k ，k （kZ）（图象见视频）法二：15令
8、 .解得 .函数的递增区间为k ，k （kZ）.正切函数的图象与性质一、知识概述1、图象：2、性质：（1）定义域： ；（2）值域：R；（3）周期性： ；（4）奇偶性：奇函数；（5）对称性：y=tanx 的对称中心为 .（6）单调性：在 内单调递增16二、例题讲解例 1、求下列函数的定义域：（1） ；（2） ；（3） 解：（1）由 ，得 ， 的定义域为 （2）令 ，sinx1，1且 ，定义域为 R.（3）由已知 ，得 ， ，原函数的定义域为 （备注：视频中区间书写有误，后面一个应该是半开半闭区间）例 2、求函数 的定义域，周期和单调区间17函数 y=Asin（x）的图象一、知识概述的图象可由 y
9、=sinx 的图象经过以下的变换得到：将 y=sinx 的图象向左（右）平移 个单位得到 的图象；将 的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长（缩短）到原来的 倍，得到的图象；将 的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长（缩短）到原来的 A 倍，得到的图象.A 表示振幅， 为周期， 为频率， 为初相， 为相位.二、例题讲解例 1、函数 的图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到解：将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象；将 的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，得到的图象；18将 的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 3 倍，得到的图象变式 1：y=sinx 的图象由 的图象经过怎样的变换
10、得到.解：横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 ，得到 的图象；再将 的图象向右平移 个单位，得到 y=sin2x 的图象；再将 y=sin2x 的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y=sinx 的图象.变式 2：函数 y=f(x)的图象先向右平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，得到 的图象，求 f(x)的解析式.答案： .例 2、已知函数 （ ， ）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式解：由图知：函数最大值为 ，最小值为 ，又 ， ，由图知 ，19 ， ，法一： ， ， .，代入上面两式检验，得 满足条件. 法二： .法三：令 ， .三角函数模型的
11、简单应用例 1、已知电流 在一个周期内的图象如图：（1）根据图中数据求 的解析式（2）如果 t 在任意一段 秒的时间内，电流 都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？20例 2、某港口水的深度 y（米）是时间 ，单位：时）的函数，记作 ，下面是某日水深的数据：t 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.013.0 10.1 7.0 10.0经长期观察， 的曲线可以近似地看成函数 的图象（1）试根据以上数据，求出函数 的近似表达式；（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停靠时，
12、船底只需不碰海底即可）某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？解：（1）由已知数据，易知函数 的周期 T=12，振幅 A=3，b=10，（视频板书中应为 f(t)）（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于 56.5=11.5 米，解得:，在同一天内，取 .21该船可在当日凌晨 1 时进港，17 时出港，在港口内最多停留 16 个小时例 3、如图所示，一个摩天轮半径为 10 米，轮子的底部在地面上 2 米处，如果此摩天轮按逆时针方向每 20 秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P 处（点 P 与摩天轮
13、中心 O 高度相同）时开始计时：（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过 10 米解：（1）以 O 为坐标原点，以 OP 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，在 t 秒内摩天轮转过的角为 ，此人相对于地面的高度为 （米）（2）令 ，则 ， ，故约有 8.72 秒此人相对于地面的高度不超过 10 米例 4、某商品一年内出厂价格在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3 月份达到最高价格 8 元，7 月份价格最低为 4 元该商品在商店内的销售价格在 8 元基础上按月份随正弦曲线波动，5 月份销售价格最高为 10 元，9
14、月份销售价最低为 6 元（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；（2）假设商店每月购进这种商品 m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数22三角函数的综合应用例 1、求下列函数的值域：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 解：（1） ， ， ，所以，值域为 （2） .另解： ， ， ，23解得 ， （3） ， .（4）由题意 ， ， ， 时， ，但 ， ，原函数的值域为 （5） ，又 ， ， ，函数 的值域为 例 2、是否存在 、，（ ， ），（0， ），使等式 sin（3）=cos（ ）， cos（）= cos（）同时成立?若存在，求出、 的值；若不存在，请说明理由解：由条件得 2 2得 sin23cos 2=2，cos 2= ， .24（ ， ）， ，= 或 由得 cos= 又 （0，），= ，又 .存在 = ，= 满足条件例 3、已知函数 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间 上是单调函数，求 的值解：由 是偶函数，得 ，即 ，或 对任意 xR 恒成立.， ， .又 f(x)图象关于 对称， .，则 k=1 时， ，满足条件.当 k=2 时， ，此时 ，满足条件.当 k3 时，不合要求.综上 .
