1、数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线 2(0)yx上的点 iP与 x 轴的正半轴上的点 iQ及原点 O构成一系列正三角形OP 1Q1，Q 1P2Q2，Q n-1PnQn设正三角形 1nP的边长为 na,nN(记 0Q为O), ,nS.（1）求 1a的值; （2）求数列 a的通项公式 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设 ,nab都是各项为正数的数列，对任意的正整数 n，都有 21,nab成等差数列，221,成等比数列（1）试问 n是否成等差数列？为什么？（2）如果 1,2ab，求数列 1na的前 项和 nS3. 已知等差数列 na中， 28， 6S66.（）求数列 的通项公式；
2、（）设 nnab)1(， nbbT21，求证： nT16.4. 已知数列 na中 531， 12nna（ n2， N） ，数列 nb，满足1nab（ N）（1）求证数列 nb是等差数列；（2）求数列 中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记 21bSn n，求 1)(limnSb5. 已知数列 an中， a10, 且 an+1= 23n，()试求 a1的值，使得数列 an是一个常数数列；()试求 a1的取值范围,使得 an+1an对任何自然数 n 都成立；()若 a1 = 2，设 bn = | an+1 an| (n = 1，2，3，)，并以 Sn表示数列 bn的前 n项的和，求证： Sn0，
3、可得 an0 并解出： an= 3，即 a1 = an = 3 ()研究 an+1 an= 23 1= 221nn (n2) 注意到 1nna0因此，可以得出： an+1 an， an an1 ， an1 an2 ， a2 a1有相同的符号 7要使 an+1an对任意自然数都成立,只须 a2 a10 即可.由 1230，解得：0 时， an+1 23, 故 Sn0，t1， 1tx原不等式等价于 1ltt令 f(t)=t-1-lnt， tf1)(当 ),(时，有 0)(tf，函数 f(t)在 ),1(t递增f(t)f(1) 即 t-1g(1)=0 tl综上得 xx1ln1（2）由（1）令 x=1
4、,2,(n-1)并相加得 121ln23l3 n即得 1n7. (1)易求得 npa（2） nnnn ppSaCaCf 1)2(121)(1作差比较易得： )()(fpf（3）当 1n时，不等式组显然成立.当 12)(1)2()(2 npnff时 ， 先 证由（2）知 )()()1()1)( 2 ffpnfpnf n )()()2( nfn 12 1212122 )()()()1()(ni nnn ppppf 再证 )()()(1fnff nnnppfnf 212)(1212)( 而 2212212 )1()( nnnnn ppp )(21)2(1)21( 1)( 2nfpppff nnn 同
5、理： )(ff， (3ff，)1(n以上各式相加得： )(12()(2nfnff 即 )(12()12nfifni .8. （1） 26350aa，又 261a67 或 267若 263a，则 9n， 10a与 0n矛盾；若 267a，则 n，显然 n，1n （2） 11lg2l3,9bSb，当 n时，119llg0nnnS，欧190nnb1时， 19nb，1,nnbN10n数列是以 9 为首项， 10为公比的等比数列。 （3） nnc，设 2kc是数列 nc中的最大项，则由 1kc 可得 89k数列 nc有最大项，最大项是78910c。9. （1）由 ,32)3(2)3( 11masmas
6、nnnn得 ,1两 式 相 减 得 ,31man 是等比数列。（2） 2,32)(,11 nNmfqb.23,1 .313)( 1111 nb bbbfn nnnnnn为 公 比 的 等 差 数 列为 首 项是10.（）经计算 3a， 41， 5a， 816 当 n为奇数时， 22na，即数列 na的奇数项成等差数列，1)(12 a； 当 为偶数， nn2，即数列 n的偶数项成等比数列，n)(12 因此，数列 na的通项公式为 )()21为 偶 数为 奇 数nan （） nnb)21(， nnS )21()21(3(53213 （1）42)()( nn （2）（1） 、 （2）两式相减，得 1
7、32 )2()21()(1 nnnS 1)(21 nn 1)(3(nnnS)(3( 11. 设 a的公差为 d，首项为 1a，则3456748T（1）8915. 0（2）解得 12,ad，则 23na。（2）当 n时，在前 n-1 组中共有项数为： 2211.n。故第 n 组中的第一项是数列 n中的第 1n项，且第 n 组中共有 1n项。所以 1 22()34nnTad 当 n=1 时， 也适合上式，故 12nnnT。（3） 8128.ST。即数列 a前 8 组元素之和，且这 8 组总共有项数7.5。则 81 1542()2545912ad12. （）由 0)1(1030SS 得 ,)(020
8、30SS即 ,( 223210 aa可得 .0101q 因为 na，所以 ,0q 解得 q，因而 .,1,21nqn（）因为 na是首项 21、公比 q的等比数列，故 .2,1)(2nnn SS则数列 n的前 n 项和 ),21()1(2nnT .2)2( 13nT前两式相减，得 122)()1( nn 12)(4)1(nn即 .)1nnT13. （1） 01a,当 时, |si|)si(|)11 xaxf, ,02a, 又对任意的 b, b总有两个不同的根, 0sin)(1xf， 2 由(1), ,|,cos|)(1sin|)2| 32 axxax 对任意的 ,b, bf(1总有两个不同的根
9、, 3a ,|,3si|)3si|)(3sin|)( 43 xxxf 对任意的 ,0, f(1总有两个不同的根, 6a由此可得 an1， 2)1(na（1） 当 Zk,2， kkkS2143212 )(53 )( 221341 nk 4nS 当 Zkn,2， )1()(1212 kaSkk 4)(1S14. （1） 3,401.02dda. （2） )0(1022203 dda， 43213da，当 ),(d时，. ),(30 （3）所给数列可推广为无穷数列 na，其中 1021,a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 1n时，数列 )(1010,na 是公差为 nd的等差数列. 研究的
10、问题可以是：试写出 )(关于 d的关系式，并求 )1(0na的取值范围 15. （1）由已知得 2312,nffnN 当 2n时， 415， 1 分同理可得 3,563ff 3 分 猜想 下面用数学归纳法证明成立当时，由上面的计算结果知成立 6 分假设时，成立，即 ，那么当时，即 当时，也成立 综合所述，对 ，成立。 （2）由（1）可得16. （I）解：由得，（II）由，数列是以 S1+1=2 为首项，以 2 为公比的等比数列，当 n=1 时 a1=1 满足 （III），得，则. 当 n=1 时，即当 n=1 或 2 时，当 n2 时， 17. （1）由条件 an1 2 an22 an， 得
11、2an1 14 an24 an1(2 an1) 2 bn是“平方递推数列” lg bn1 2lg bnlg(2 a11)lg50， 2lg(2 an1)为等比数列lg(2an+1 1)lg(2an 1)（2）lg(2 a11)lg5，lg(2 an1)2 n1 lg5，2 an15 ， an (5 1)2n 1 12 2n 1 lg Tnlg(2 a11)lg(2 a21)lg(2 an1) (2 n1)lg5lg5(1 2n)1 2 Tn5 2n 1 （3） cn 2 ，lgTnlg(2an 1) (2n 1)lg52n 1lg5 2n 12n 1 n 1 Sn2 n1 2 n 2 n21
12、2 n2212 2 n 1 n n 由 Sn2008 得 2n22 2008， n 1005，n n 当 n1004 时， n 1005，当 n1005 时， n 1005， n 的最小值为n n 100518. （1）B （ 2） 因 为 A2si、 、 C2i成 等 差 数 列 ， 所 以 ，所以又， ，显然，即 aco、 bB、 co成等差数列若其为等比数列，有，所以， ，与题设矛盾19. （1） 解得 （2）7 分 是公比为 8 的等比数列10 分20. （I） ，4 分（II）当 k2，3，4，5，时， a1， 21. （I）设数列的公差为 d，则，又由（1） （2）得数列的通项公式
13、（II）数列的前 n 项和22. 设等比数列的公比为 q，由已知条件，得得：，所以 ，得，即 或 （舍去）由 得： 23. （1）由已知，得解得： （2） 设存在正数 k，使得对一切均成立，则记，则 ， F（ n）是随 n 的增大而增大， ， 当时， ，即 k 的最大值为24. （1）f(1),f(2),f(4)成等差数列，f(1)+f(4)=2f(2).即 log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2(m+1)(m+4)=(m+2) 2即 m2+5m+4=m2+4m+4m=0(2) f(a)+f(c)=log 2(a+m)+log2(c+m)=log2(a+m)(c+m),2
14、f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,a,b,c 成等比数列，(a+m)(c+m)-(b+m) 2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2ma0,c0.a+c2m0 时，(a+m)(c+m)-(b+m) 20, log 2(a+m)(c+m)log2(b+m)2f(a)+f(c)2f(b);m0 时，(a+m)(c+m)-(b+m) 20,log 2(a+m)(c+m)log2(b+m)2f(a)+f(c)2f(b);m=0 时，(a+m)(c+m)-(b+m) 2=0log 2(a+m)(c+m)=log2(b+m)2f(a)+f(c)=2f(b);25. 即即解之，得把 d=2 代入 a1+2d=6, 得 a1=226. 等比数列 n中，当时，化简得，所以， ， ，等差数列 nb中，解得所以 ， ， ， ，B9，13，17，4 n5设 A 中任意元素为，则需证是 B 中的一个元素，设其为，则需证，即，则需证是 4 的倍数因为 ，所以以上多项式各项都是 4 的倍数，能被 4 整除所以集合 A 中的任意元素都是 B 中的元素，又， ，所以27. （1）由题意得知， ，（2） ， ，点的坐标为在曲线上， ，又在曲线上，（III）+ 7 分=，
