1、细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 1 页 共 12 页三角函数专题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，x角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1） 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ，注意
2、：相等的2()kZ角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 的终边相同，且绝对值最小的角的度1825数是，合弧度。（答： ； ）2536（2） 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .()k（3） 终边与 终边关于 轴对称 .x2()kZ（4） 终边与 终边关于 轴对称 .y（5） 终边与 终边关于原点对称 .（6） 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在 轴上的角可表示为：x,y； 终边在坐标轴上的角可表示为： .如 的终边与 的终边关于直,2kZ,2kZ6线 对称，则 _。xy（答： ）Zk,324、 与 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 是第二象限角，
3、则 是第2 _象限角（答：一、三）5.弧长公式： ，扇形面积公式： ，1 弧度(1rad) . 如已知扇形|lR 21|2SlR573AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：2 ）2cm6、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点（异于原点）(,)xy，它与原点的距离是 ，那么 ， ，20rxysin,cosrrtan,0yxotxy， ， 。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位(0)yseccsr置无关。如（1）已知角 的终边经过点 P(5，12)，则 的值为。cosin（答： ） ；713（2）设 是第三、四象限
4、角， ，则 的取值范围是_m432sin细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 2 页 共 12 页（答：（1， ） ；)23（3）若 ，试判断 的符号0|cos|sin| )tan(cos)cot(si（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在 轴上(起点在 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 轴上(起xxx点是原点)” 、正切线 AT“站在点 处(起点是 )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值1,)AA的大小和解三角不等式。如（1）若 ，则 的大小关系为_08sin,cota(答： )；tansico（2）若 为锐角，则 的大小关系为_,it（答： ） ；ta
5、n（3）函数 的定义域是_)3sn2lg(co1xy（答： ）2(2,()3kkZ8.特殊角的三角函数值：30 45 60 0 90 180 270 15 75sin21230 1 0 1 64624co311 0 1 0 2tan1 30 0 2- 32+ 3cot31 0 0 2+ 2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,ti同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用
6、平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数 的值的符号为_sintacoy（答：大于 0） ；（2）若 ，则使 成立的 的取值范围是_20xx2cossin12y T A x BSOMP 细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 3 页 共 12 页（答： ） ；0,4,3（3）已知 ， ，则 _53sinm)2(54cosmtan（答： ） ；125（4）已知 ，则 _； _1
7、tancosin32cosisi2（答： ； ） ；35（5）已知 ，则 等于20si 60taA、 B 、 C、 D、1a21a21a21（答：B） ；（6）已知 ，则 的值为_xf3cos)()30(sinf（答：1） 。10.三角函数诱导公式（ ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指 取奇数或偶数） ，符2kkk号看象限（看原函数，同时可把 看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2k + , ；(2)转化为锐角三角函数。如02（1） 的值为_97costan()si146（答： ） ；23（2）已知 ，则 _，若 为第二象限角，则54)5
8、0sin( )270cos(_。18ta36co)0sin(2（答： ； ）5410311、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincosinsin2icos令 22222co coin1sitat +stan s1n cointata1n令 细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 4 页 共 12 页如（1）下列各式中，值为 的是12A、 B 、5sinco221cosinC、 D、21ta.130（答：C） ；（2）命题 P： ，命题 Q： ，则 P 是 Q 的tn()0tanABA、充要条件 B、充分不必要条件C 、必要不充分条件 D、既不充分也不必
9、要条件（答：C） ；（3）已知 ，那么 的值为_35sin()cos()sin2cos（答： ） ；725（4） 的值是 _1308sini（答：4） ；(5)已知 ，求 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是ta0tan5 31a，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_21（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变
10、换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ， ，()()2()()2()()， 等） ，如222（1）已知 ， ，那么 的值是_tan()51tan()4tan()4（答： ） ；32（2）已知 ，且 ， ，求 的值0229cos()23si()cos()（答： ） ；4907（3）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系为_,sin,csxycos()5yx（答： ）2331(1)5x(2)三角函数名互化(切割化弦)，如细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 5 页 共 12 页（1）求值 sin50(13tan0)（答：1） ；（2）已知 ，求 的值co2,
11、t(23tan(2)（答： ）8(3)公式变形使用（ 。如tantta1ta（1）已知 A、B 为锐角，且满足 ，则 _nn1ABcos()AB（答： ） ；2(2)设 中， ， ，则此三角形是_三角形C3tanta 34sic（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式：21ocs21cosin， )。如21coss21cosin(1)若 ，化简 为_3(,)1s（答： ） ；sin2（2）函数 的单调递增区间为_2553f(x)sincoxsx3(R)（答： ）512k,(kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1） tancosi)sintaco
12、（答： ） ；sin（2）求证： ；21tsi1na（3）化简：42cos2ta()i()xx（答： ）1cos2x(6)常值变换主要指“1”的变换（ 221sincox22setantcotxx等） ，如已知 ，求 （答： ）.tansi42 tai3cs35(7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” ，如sinco ix、细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 6 页 共 12 页（1）若 ，则 _sincoxtsincox（答： )，特别提醒：这里 ；21t2,t（2）若 ，求 的值。1(0,)si2ta（答： ） ；473（3）已知 ，试用 表示 的值2sini
13、1tak()42ksinco（答： ） 。1k13、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在的象限由 a, 2sincoiaxbabxb 的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如tanb（1）若方程 有实数解，则 的取值范围是_.si3cosx（答：2,2） ；（2）当函数 取得最大值时， 的值是_2yixtanx(答： )；32（3）如果 是奇函数，则 =sin2cos()fxt(答：2)；（4）求值： _0in640s1si3222(答：32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法：五siyxcosyx点法：先取横坐标分别为 0， 的五
14、点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦3,2曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcos()yxR（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值 1；当1,sinyx2kZy时， 取最小值1；对 ，当 时， 取最大值 1，当3xkZcosyxk时， 取最小值1。如（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _， sin(3)6yabx2321ab（答： 或 ） ；1,21（2）函数 （ ）的值域是_xxfcossi)( ,（答：1, 2） ；细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 7 页 共 12
15、 页（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是_ 、_26ycosin（答：7；5） ；（4）函数 的最小值是_，此时 _2()in()3ifxxxsicoxx（答：2； ） ；()12kZ（5）己知 ，求 的变化范围21cosincsit（答： ） ；0,（6）若 ，求 的最大、最小值cssii2222siniy（答： ， ）1maxy2in。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性： 、 的最小正周期都是 2 ； 和sinyxosx()si()fA的最小正周期都是 。如()cos()fxAx2|T(1)若 ，则 _3if(1)(3)(03)fff（答
16、：0） ；(2) 函数 的最小正周期为_4()cosfx2incosx4ix（答： ） ；(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则 的)5i(f R)()(21xfxf|21x最小值为_（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴sin()yx,0kZ是直线 ；余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称2xkZcoR轴是直线 （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中x心为图象与 轴的交点） 。如（1）函数 的奇偶性是_、52ysinx（答：偶函数） ；（2）已知函数 为常数） ，且 ，则 _31f()absin(a,b57f()5f()（
17、答：5） ；（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是_、_)coics2xxy（答： 、 ） ；128k(,)(Z28kx(Z)（4）已知 为偶函数，求 的值。3f()sin()s()（答： ）6k()细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 8 页 共 12 页（5）单调性： 上单调递增，在sin2,2yxkkZ在单调递减； 在 上单调递减，在32,2kkZcosyx,kZ上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ 16、形如 的函数：sin()yAx（1）几个物理量：A振幅； 频率（周期的倒数） ； 相1fTx位； 初相；（2）函数 表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定；s
18、in()yx由图象上的特殊点确定，如 ， 的图(sin()0,fxA|)2象如图所示，则 _（答： ） ；()f 1523（3）函数 图象的画法：“五点法”设 ，令 0，sin)yAxXxX求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数,2简图常用方法。（4）函数 的图象与 图象间的关系：函数 的图象纵坐标sin()yxksinyxsinyx不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位得 的图象；函数| sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数 的图象；函数sinyx 1图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数 的图象； si()A
19、x函数 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，得到i()A 0k0k的图象。要特别注意，若由 得到 的图象，则向左或snyxksinyxiny向右平移应平移 个单位，如|（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？2sin()14yx siyx（答： 向上平移 1 个单位得 的图象，再向左平移 个单位得2sin()4yx8的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后将纵坐标缩小到原来的 即2sinyx 12得 的图象） ；(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向_平移_个单位cos()24xysin2xy（答：左； ） ；2（3）将函数 图像，按向量 平移后得到
20、的函数图像关于原点对称，这样的向7sin()13yxa量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量a23题 图29YX-223细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 9 页 共 12 页（答：存在但不唯一，模最小的向量 ） ；(,1)6a（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同的交点，则cosin0,2fxxyk的取值范围是k（答： ）,2)（5）研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将si()yAsinx中的 看成 中的 ，但在求 的单调区间时，要特别注sin()yAxxsinyx()yA意 A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如（1）函数 的递减
21、区间是_23sin()（答： ） ；512k,(kZ)（2） 的递减区间是_124xylogcs()（答： ） ；364k,(k)（3）设函数 的图象关于直线 对称，它的周期是)2,0)(sin)( Axf 2x，则A、 )21,0()(的 图 象 过 点xfB、 在区间 上是减函数53C、 )0,15()(是的 图 象 的 一 个 对 称 中 心xfD、 的最大值是 A（答：C） ；（4）对于函数 给出下列结论：2sin3fxx图象关于原点成中心对称；图象关于直线 成轴对称；1图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到2sinyx3；图像向左平移 个单位，即得到函数 的图像。2cosyx其中正
22、确结论是_（答：） ；（5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间的距离为 ，()2sin()fx1y 3那么此函数的周期是_（答： ）17、正切函数 的图象和性质：tay细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 10 页 共 12 页（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了|,2xkZ吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 的两个相邻交点之间的距离是一个周期ya。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函
23、数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 的周期都是 , 但xysin,i2sinx的周期为 ，而 ， 的周期不变；cosx1|(3)|2(3)2|66y|tan|yx（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余)切型函数的,0kZ对称中心有两类：一类是图象与 轴的交点，另一类是渐近线与 轴的交点，但无对称轴，这是与xx正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在整个定义,2kk域上不具有单调性。如下图：18. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记
24、！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径 ).注意：正弦定理的一些2sinisinabcABC变式： ；ibc,sin,si2abABC； ；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运2cR2si,si,siaRb用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.2222co,bca(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如 中，11sin()aShbCrr ABC若 ，判断 的形
25、状（答：直角三角形） 。BA222sicosinAB三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=2x4邻 中 心 |x3-4|= T/2邻 渐 近 线 |x1-2|=T无 穷 对 称 中 心 :由 y=0或 y无 意 义 确 定y=Atan( x+ )x3 无 对 称 轴任 意 一 条 y轴 的 垂 线 与 正 切函 数 图 象 都 相 交 ,且 相 邻 两交 点 的 距 离 为 一 个 周 期 ！三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=24邻 中 心 |x3-4|=T/2邻 轴 |x1-2|T/无 穷 对 称 中 心 :由 y=0确 定 无 穷 对 称 轴 :由
26、y=A或 -确 定y=Asin( x+ )x3 4T邻 中 心 轴 相 距细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 11 页 共 12 页特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：ABC；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，,sin()si,ncosABCABCABC常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1） 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 ab、=60 4,a,b ABCA、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C） ；（2）在 中，AB 是 成立的_ 条件CsinAiB（答：充要） ；（3）在 中， ，则
27、_12(ta)(t)2logsinC（答： ） ；12(4)在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若 ，AB,bc (abc)(sinAB3sinC)asiB则 _C（答： ） ；60（5）在 中，若其面积 ，则 =_2243abcS（答： ） ；3（6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是_ABC60 1, 3ABC（答： ） ；29（7）在ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边， = ，21,cos,cs3a则的最大值为2bc（答： ） ；1932;（8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（答： ） ；06C（9）设 O 是锐角三角形 A
28、BC 的外心，若 ，且 的面积满足关系式75,AOBCA，求 （3ABCASS答： ） 4519.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）： 表示一个角，这个角arcsin的正弦值为 ,且这个角在 内 。(2)反正弦 、反余弦 、反正切a,2(1)aarsixox的取值范围分别是 .arctnx 2,0在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到 的角、 与 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？1l21l2， ， (0,),20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。第 12 页 共 12 页有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） 。如（1）若 ，且 、 是方程 的两根，则求 的值_,(0,)tant2560x（答： ） ；34（2） 中， ，则 _ABC3si4cos6,i3cos1BAC（答： ） ；3（3）若 且 ， ，求 的值020sinsin0scos（答： ）.2
