1、 导数一、导数的概率设函数 在 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时，)(xfy0 0xx则函数 相应地有增量 ，如果 时， 与Y )(00xfxfyy的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们x y把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即)(xfy00/xxfxf(lim)( 000/注：1.函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在。02.在定义导数的极限式中， 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而 可x y能为 0。3. 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率，它的几何意义xy)(f是过曲线 上点（ ）及点 ）的割线斜率。x)(,0xf )(,(00xfx
2、4.导数 是函数 在点 的处瞬时变化xfffx)(lim)( 000/ )(fy0率，它反映的函数 在点 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲)(fy0线 上点（ ）处的切线的斜率。因此，如果 在点)(xfy,0x )(xfy可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为0 )(fy)(,0xf。)(0/xfxfy5.导数是一个局部概念，它只与函数 在 及其附近的函数值有关，)(xfy0与 无关。6.在定义式中，设 ，则 ，当 趋近于 0 时， 趋近于x00x，因此，导数的定义式可写成0x。0000/ )(lim)(lim)( 0xfxffxf xo 7.若极限 不存在，则称函数 在点 处不可导。ffx
3、)(li00 )(xfy08.若 在 可导，则曲线 在点（ ）有切线存在，反之不)(f0 )(xfy,0f然。若曲线 在点（ ）有切线，函数 在 不一定可)(xfy,0 )(xfy0导，并且，若函数 在 不可导，曲线在点（ ）也可能有切fx,0线。一般地， ，其中 为常数。特别地， 。abx)(lim0 b, ax0lim如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个fy),(，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。),(bax(/xf )(/xf称这个函数 为函数 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作)(/xf)(fy，即 /y/ xfx)(limli00函数 在 处
4、的导数 就是函数 在开区间)(xf0/xyfy),(ba上导数 在 处的函数值，即 。所以函数,(bax/0 0/x)0/在 处的导数也记作 。)fy0 )(0/xf注：1.如果函数 在开区间 内每一点都有导数，则称函数)(xfy,ba在开区间 内可导。)(f,2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数 在点 处的导数就是导函数 在点 的函数值。)(xfy0 )(/xf03.求导函数时，只需将求导数式中的 换成 就可，即 0 )(/xfxffx)(lim04.由导数的定义可知，求函数 的导数的一般方法
5、是：)(xfy（1）.求函数的改变量 。f（2）.求平均变化率 。xffxy)(（3）.取极限，得导数 。/y0lim二.练习题（一） 、选择题1若函数 在区间 内可导，且 则 ()yfx(,)ab0(,)xab00()()limhfxfh的值为（ ）A B C D0f02fx02f2一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，1tsst那么物体在 秒末的瞬时速度是（ ）3A 米/秒 B 米/秒 76C 米/秒 D 米/秒583函数 的递增区间是（ ）3yx=+A B ),0()1,(C D4 ,若 ,则 的值等于（ ）32fxa4faA B 196C D33105函数 在一点的导数
6、值为 是函数 在这点取极值的（ ）)(xfy )(xfyA充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件6函数 在区间 上的最小值为（ ）34xy2,3A B 726C D10（二） 、填空题1若 ，则 的值为_；3(),()fxfx2曲线 在点 处的切线倾斜角为_；y41,3)3函数 的导数为_；sinx4曲线 在点 处的切线的斜率是_，切线的方程为yl(,1)Me_；5函数 的单调递增区间是_。523x（三） 、解答题1求垂直于直线 并且与曲线 相切的直线方程。2610xy325yx2求函数 的导数。()()yxabxc3 求 函 数 在 区 间 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
7、543()1fxx4,4已知函数 ，当 时，有极大值 ；23bxay13（1）求 的值；（2）求函数 的极小值。, y（一） 、选择题1函数 有（ ）()3292yxx=-A极大值 ，极小值 57B极大值 ，极小值 1C极大值 ，无极小值 D极小值 ，无极大值272若 ，则 （ ）0()3fx00()(3)limhfxfhA B 6C D9123曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标3()fx=+-0p41yx=-0p为（ ）A B (1,0)(2,8)C 和 D 和,4)1,4)4 与 是定义在 R 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则()fxg ()fxg()fxg与 满足（ ）f(
8、)A B 为常数函数 xg()fxgC D 为常数函数()f05函数 单调递增区间是（ ）xy142A B C D),0(),(),21(),1(6函数 的最大值为（ ）xylnA B C D1ee2e30（二） 、填空题1函数 在区间 上的最大值是 。2cosyx0,22函数 的图像在 处的切线在 x 轴上的截距为3()45f 1x_。3函数 的单调增区间为 ，单调减区间为2xy_。4若 在 增函数，则 的关系式为是 3()(0)fabcdaR,abc。5函数 在 时有极值 ，那么 的值分别为22,xx10,_。（三） 、解答题1已知曲线 与 在 处的切线互相垂直，求 的值。12y3y0x0
9、x2如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是cbxaxf24)( (0,1)1x2yx（1）求 的解析式；（2）求 的单调递增区间。f xfy4平面向量 ，若存在不同时为 的实数 和 ，使13(3,)(,)2ab 0kt且 ，试确定函数 的单调区间。2(),xtyktxy()kft（一） 、选择题1若 ,则 等于（ ）()sincofxx()fA B C Dsinco2sin2若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ 2()fb ()fx
10、）3已知函数 在 上是单调函数,则实数 的1)(23xaxf )(a取值范围是（ ）A B ),3,C D()( )(4对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）Rfx(1)0xfA B. 021)f02fC. D. (0)2(1)ff(0)2(1)ff5若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）4yxl48xylA B C D3530xx6函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，)(f ),(ba)(f,ba则函数 在开区间 内有极小值点（ ）x,abxy)(xfO A 个 B 个 C 个 D 个1234（二） 、填空题1若函数 在 处有极大值，则常数 的值为
11、_；()2fxc=-xc2函数 的单调增区间为 。ysin3设函数 ，若 为奇函数，则o3(0)f()fx=_4设 ，当 时， 恒成立，则实数 的321()5fxx2,1fmm取值范围为 。5对正整数 ，设曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ，n)(ynxyna则数列 的前 项和的公式是 1a三、解答题1求函数 的导数。3(cos2)yx2求函数 的值域。243yx3已知函数 在 与 时都取得极值32()fxabxc231x(1)求 的值与函数 的单调区间。,ab()f(2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,2c4已知 , ，是否存在实数 ,使 同时满23()logxabf(0,
12、)xab、 )(xf足下列两个条件：（1） 在 上是减函数，在 上是增函数；（2）)(f11,的最小值是 ，若存在，求出 ，若不存在，说明理由.)(xf1、三.导数综合应用1.已知函数 的图象如图所示dxbacbxaf )23()(23（I）求 的值；dc,（II）若函数 在 处的切线方程为 ，求函f 013y数 的解析式；)(xf（III）在（II）的条件下，函数 与 的)(xfymxf5)(图象有三个不同的交点，求 的取值范围m2已知函数 )(3ln)(Raxaxf （I）求函数 的单调区间；（II）函数 的图象的在 处切线的斜率为 若函数)(f4,23在区间（1，3）上不是单调函数，求
13、m 的取值范围231)(2mxxg3已知函数 的图象经过坐标原点，且在 处取得极大cbxaxf23)( 1x值（I）求实数 的取值范围；（II）若方程 恰好有两个不同的根，求 的解析式；9)()2xf )(f（III）对于（II）中的函数 ，对任意 ，求证：(xf R、81|sin2()si(| ff4已知常数 ， 为自然对数的底数，函数 ， 0ae xef)( xagln)(2（I）写出 的单调递增区间，并证明 ；)(xf a（II）讨论函数 在区间 上零点的个数)(gy),1(ae5已知函数 ()ln1)()1fxkx（I）当 时，求函数 的最大值；kf（II）若函数 没有零点，求实数 的
14、取值范围；k6已知 是函数 的一个极值点（ ） 2x2()3)xfxae718.2e（I）求实数 的值；a（II）求函数 在 的最大值和最小值f,7已知函数 )0,(,ln)2(4)(2 aRxaxf（I）当 a=18 时，求函数 的单调区间；f（II）求函数 在区间 上的最小值f,e8已知函数 在 上不具有单调性()6)lnfxax(2,)（I）求实数 的取值范围；（II）若 是 的导函数，设 ，试证明：对任意两f(f 2(6gxfx个不相等正数 ，不等式 恒成立12x、 12138|()|79已知函数 .1,ln)(21)( axaxxf（I）讨论函数 的单调性；（II）证明：若 .1)(
15、,),0(,5 212121 xffx有则 对 任 意10已知函数 21()ln,()1,fxaxgax（I）若函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，(),fxg1,3求实数 的取值范围；a（II）若 ，设 ，求证：当1,2.78)e ()()Fxfgx时，不等式 成立12,x1|()|Fx11设曲线 ： （ ） ， 表示 导函数C()lnfxe2.718()fx()f（I）求函数 的极值；（II）对于曲线 上的不同两点 ， ， ，求证：存在唯1(,)Axy2,By12一的 ，使直线 的斜率等于 0x12(,)B0(f12定义 ，),0(,)1(, yxyxF（I）令函数 ，写出函数 的定义域；223log4fF()fx（II）令函数 的图象为曲线 C，若存在实数 b3, 1)axb使得曲线 C 在 处有斜率为8 的切线，求实数 的取值范围；)4(00 a（III）当 且 时，求证 ,*xyNxy(,(,)Fyx
