1、第 1 页（共 23 页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分） =（ ）A1+2i B1 2i C2+i D2i2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 B=（ ）A1，3 B1，0 C1，3 D1，53（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有
2、灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A90 B63 C42 D365（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）A15 B9 C1 D96（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则第 2 页（共 23 页）不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2
3、 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ）A2 B3 C4 D59（5 分）若双曲线 C： =1（a0，b0）的一条渐近线被圆（ x2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ）A2 B C D10（5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB1 与
4、BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D第 3 页（共 23 页）11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x 2+ax1）e x1 的极值点，则 f（x）的极小值为（ ）A1 B2e 3 C5e 3 D112（5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 （ +）的最小值是（ ）A2 B C D1三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 14（5 分）函数 f（x）=sin 2x+ cosx （x0
5、， ）的最大值是 15（5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，则 = 16（5 分）已知 F 是抛物线 C：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点N若 M 为 FN 的中点，则|FN|= 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A +C）=8sin 2 （1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC 面积
6、为 2，求 b第 4 页（共 23 页）18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：P（ K2k） 0.050 0
7、.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 K2= 第 5 页（共 23 页）19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值20（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 = （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且 =
8、1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F第 6 页（共 23 页）21（12 分）已知函数 f（x ）=ax 2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 （22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM|OP|=16
9、，求点 P 的轨迹C2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为（2 ， ），点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0，a 3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a 5+b5）4；第 7 页（共 23 页）（2）a+b2第 8 页（共 23 页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性
10、质，求出结果【解答】解： = = =2i，故选 D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2（5 分）【考点】1E：交集及其运算【分析】由交集的定义可得 1A 且 1B，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x 24x+m=0若 AB=1，则 1A 且 1B，可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=x|x24x+3=0=1，3故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题3（5 分）【考点】89：等比
11、数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列第 9 页（共 23 页）【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381= =127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项
12、和公式的实际应用，属于基础题4（5 分）【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210 326=63，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5 分）【考点】7C：简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，第 10 页（共 23 页）由
13、 解得 A（6，3），则 z=2x+y 的最小值是：15故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力6（5 分）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得： =6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6 =36 种故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力7（5 分）【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所
14、知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后第 11 页（共 23 页）甲说话，属于中档题8（5 分）【考点】EF：程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 值，当 k=7 时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，有 S=0，k=1，a=1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1 ，k=2；满足条件，第二次满足循环，
15、S=1，a=1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=1，k=7；76 不成立，退出循环输出，S=3；故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础9（5 分）【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；KC：双曲线的简单性质【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b0）的一条渐近线不妨为： bx+ay=0，圆（x2 ） 2+y2=4 的圆心
16、（2，0），半径为：2，双曲线 C： =1（a 0 ，b0）的一条渐近线被圆（ x2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为： = ，第 12 页（共 23 页）解得： ，可得 e2=4，即 e=2故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力10（5 分）【考点】LM：异面直线及其所成的角【专题】31 ：数形结合；4O ：定义法；5G ：空间角【分析】设 M、N、P 分别为 AB，BB 1 和 B1C1 的中点，得出 AB1、BC 1 夹角为 MN 和 NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、MQ，MP 和MNP 的余弦值即
17、可【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB 1 和 B1C1 的中点，则 AB1、BC 1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ），可知 MN= AB1= ，NP= BC1= ；作 BC 中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcos ABC=4+1221（ ）=7，AC= ，MQ= ；在MQP 中，MP= = ；在PMN 中，由余弦定理得第 13 页（共 23 页）cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB 1 与 BC1 所成角的余弦值为 【
18、解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁故选：C【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题11（5 分）【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【解答】解：函数 f（x）=（x 2+ax1）e x1，可得 f（x）=（2x+a）e x1+（x 2+ax1）e x1，x=2 是函数 f（ x）=（x 2+ax1）e x1 的极值点，可得：4+a+（32a）=0解得 a=1可得 f（x）=（2x 1）e x1+（ x2x1）e x1，=
19、（x 2+x2）e x1，函数的极值点为： x=2，x=1 ，第 14 页（共 23 页）当 x2 或 x 1 时，f（x） 0 函数是增函数，x （2，1）时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1 211）e 11=1故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力12（5 分）【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A（0， ）， B（1，0），C （1，0），设 P（x，y），则 =（x，
20、 y）， =（ 1x，y）， =（1x， y），则 （ + ）=2x 22 y+2y2=2x2+（y ） 2 当 x=0，y= 时，取得最小值 2（ ）= ，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，第 15 页（共 23 页）p=0.02，n=100，则 DX=npq=np（1p）=100 0.020.98=1
21、.96故答案为：1.96【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键14（5 分）【考点】HW：三角函数的最值【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=sin 2x+ cosx =1cos2x+ cosx ，令 cosx=t 且 t0，1，则 y=t2+ t+ =（t ） 2+1，当 t= 时，f（t） max=1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15（5 分）【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前 n 项和【分析】利用已知条件求出等差数
22、列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，S 4=2（a 2+a3）=10，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn= ， = ，则 =21 + + =2（1 ）= 故答案为： 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力16（5 分）【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可第 16 页（共 23 页）【解答】解：抛物线 C：y 2=8x 的焦点 F（2，0），M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN 的中
23、点，可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）【考点】HP：正弦定理；GS：二倍角的正弦【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=B，再利用诱导公式化简 sin（A+C），利用降幂公式化简 8sin2 ，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB，（2）由（1）可知 sinB= ，利用勾
24、面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin 2 ，sinB=4（1 cosB），sin 2B+cos2B=1，16（1cosB） 2+cos2B=1，（17cosB15 ）（cosB 1）=0，cosB= ；（2）由（1）可知 sinB= ，S ABC = acsinB=2，ac= ，b 2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+ c） 22ac15=361715=4，第 17 页（共 23 页）b=2【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18（12 分）【考
25、点】BL：独立性检验； B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC ）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成 22 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其平均数【解答】解：（1）记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”，由 P（A）=P（BC ）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5=
26、0.62，故 P（B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）5=0.66，故 P（C）的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P（A ）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A 发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量50kg 箱产量50kg 总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则 K2= 15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：第 18 页（共 23 页）=5（37.50.004+
27、42.5 0.020+47.50.044+52.50.068+57.50.046+62.50.010+67.50.008），=510.47，=52.35（kg）新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）5=0.34，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）5=0.680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ 52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）【点评】本题考查频率分布直方图的应用
28、，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题19（12 分）【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CEBF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角MABD 的余弦值即可【解答】（1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，BC AD，BCEF 是平行四边形，可得 CEBF，BF平面 PAB，CF 平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2
29、）解：四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1，OP=，第 19 页（共 23 页）PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作 NQAB 于 Q，连接 MQ，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ= ，二面角 MABD 的余弦值为： = 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理
30、的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12 分）【考点】KL：直线与椭圆的位置关系； J3：轨迹方程【分析】（1）设 M（x 0，y 0），由题意可得 N（x 0，0），设 P（x，y），运用向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；（2）设 Q（3，m），P（ cos， sin），（0 2），运用向量的数量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得证【解答】解：（1）设 M（x 0，y 0），由题意可得 N（x 0，0），第 20 页（共 23 页）设
31、 P（x，y），由点 P 满足 = 可得（xx 0，y） = （0，y 0），可得 xx0=0，y= y0，即有 x0=x，y 0= ，代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m）， P（ cos， sin），（ 0 2 ）， =1，可得（ cos， sin）（3 cos，m sin）=1，即为3 cos2cos2+ msin2sin2=1，解得 m= ，即有 Q（3， ），椭圆 +y2=1 的左焦点 F（1，0），由 kOQ= ，kPF= ，由 kOQkPF=1，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点
32、F【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12 分）【考点】6D：利用导数研究函数的极值【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用【分析】（1）通过分析可知 f（x）0 等价于 h（x）=ax alnx0，进而利用 h（x）=a第 21 页（共 23 页）可得 h（x） min=h（ ），从而可得结论；（2）通过（1）可知 f（x）=x 2xxlnx，记 t（x）=f（x）=2x 2lnx，
33、解不等式可知 t（x）min=t（ ）=ln210，从而可知 f（x）=0 存在两根 x0，x 2，利用 f（x）必存在唯一极大值点 x0 及 x0 可知 f（x 0） ，另一方面可知 f（x 0） f（ ）= 【解答】（1）解：因为 f（x ）=ax 2axxlnx=x（axa lnx）（ x0），则 f（x）0 等价于 h（x）=axa lnx0，因为 h（x）=a ，且当 0x 时 h（x）0、当 x 时 h（x）0，所以 h（x） min=h（ ），又因为 h（1）=aa ln1=0，所以 =1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f（ x）=x 2xxlnx，f（x）=2x 2l
34、nx，令 f（x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=2x2 lnx，则 t（x）=2 ，令 t（x）=0，解得：x= ，所以 t（x）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，所以 t（x） min=t（ ）=ln210，从而 t（x）=0 有解，即 f（x）=0 存在两根 x0，x 2，且不妨设 f（x）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+）上为正，所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（x 0）= x0x0lnx0= x0+2x02 =x0 ，由 x0 可知 f（x 0）（x 0 ） max= + = ；
35、由 f（ ）0 可知 x0 ，所以 f（x）在（0，x 0）上单调递增，在（ x0， ）上单调递减，所以 f（x 0）f（ ）= ；第 22 页（共 23 页）综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x 0）2 2【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 （22（10 分）【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|OP|=16 列方程化
36、简即可；（2）求出曲线 C2 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为： x=4，设 P（x，y），M （4，y 0），则 ，y 0= ，|OM|OP|=16， =16，即（x 2+y2）（1+ ）=16，x 4+2x2y2+y4=16x2，即（x 2+y2） 2=16x2，两边开方得：x 2+y2=4x，整理得：（x2 ） 2+y2=4（x0），点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（x2） 2+y2=4（x0）（2）点 A 的直角坐标为 A（1， ），显然点 A 在曲线 C2 上，|OA |=2，曲线 C2 的圆心（2，0
37、）到弦 OA 的距离 d= = ，AOB 的最大面积 S= |OA|（2+ ）=2+ 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23第 23 页（共 23 页）【考点】R6：不等式的证明【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由 a3+b3=2 转化为 =ab，再由均值不等式可得：=ab（ ） 2，即可得到 （a+b） 32，问题得以证明【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a 5+b5）（ + ）2=（a 3+b3） 24，当且仅当 = ，即 a=b=1 时取等号，（2）a 3+b3=2，（a+b）（a 2ab+b2）=2，（a+b）（a+b） 23ab=2，（a+b） 33ab（a+b）=2， =ab，由均值不等式可得： =ab（ ） 2，（a+b） 32 ， （a+b） 32，a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成立【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
