1、.2019 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设集合 A x|x25 x+60， B x|x10，则 A B（ ）A （，1） B （2，1） C （3，1） D （3，+）2 （5 分）设 z3+2 i，则在复平面内 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知 （2，3） ， （3， t） ，| |1，则 （ ）A3 B2 C2 D34 （5 分）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面
2、软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥” ，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行 L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R， L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： + （R+ r） 设 由于 的值很小，因此在近似计算中 3 3，则 r 的近似值为（ ）A R B R C R D R5 （5 分）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最
3、高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A中位数 B平均数 C方差 D极差6 （5 分）若 a b，则（ ）A ln（ a b）0 B3 a3 b C a3 b30 D| a| b|7 （5 分）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ）.A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C， 平行于同一条直线D， 垂直于同一平面8 （5 分）若抛物线 y22 px（ p0）的焦点是椭圆 + 1 的一个焦点，则 p（ ）A2 B3 C4 D89 （5 分）下列函数中，以 为周期且在区间（ ， ）单调递增的是（ ）A f（ x）|
4、cos2 x| B f（ x）|sin2 x| C f（ x）cos| x| D f（ x）sin| x|10 （5 分）已知 （0， ） ，2sin2 cos2+1，则 sin（ ）A B C D11 （5 分）设 F 为双曲线 C： 1（ a0， b0）的右焦点， O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x2+y2 a2交于 P， Q 两点若| PQ| OF|，则 C 的离心率为（ ）A B C2 D12 （5 分）设函数 f（ x）的定义域为 R，满足 f（ x+1）2 f（ x） ，且当 x（0，1时，f（ x） x（ x1） 若对任意 x（， m，都有 f（ x） ，则 m 的取值范
5、围是（ ）A （， B （， C （， D （， 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 14 （5 分）已知 f（ x）是奇函数，且当 x0 时， f（ x） eax若 f（ ln2）8，则a .15 （5 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 b6， a2 c， B ，则ABC 的面积为 16 （5 分）
6、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1） 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有 个面，其棱长为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）如图，长方体 ABCD A
7、1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE EC1（1）证明： BE平面 EB1C1；（2）若 AE A1E，求二面角 B EC C1的正弦值18 （12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10：10 平后，每球交换发.球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 10：10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束（1）求 P（ X2） ；（2）求事件“ X4 且甲获胜”的概率19 （12 分）已知数列 an和
8、 bn满足a11， b10，4 an+13 an bn+4，4 bn+13 bn an4（1）证明： an+bn是等比数列， an bn是等差数列；（2）求 an和 bn的通项公式20 （12 分）已知函数 f（ x） lnx （1）讨论 f（ x）的单调性，并证明 f（ x）有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f（ x）的一个零点，证明曲线 y lnx 在点 A（ x0， lnx0）处的切线也是曲线 y ex的切线21 （12 分）已知点 A（2，0） ， B（2，0） ，动点 M（ x， y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 记 M 的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程，并说明 C
9、是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P， Q 两点，点 P 在第一象限， PE x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G（ i）证明： PQG 是直角三角形；（ ii）求 PQG 面积的最大值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中， O 为极点，点 M（ 0， 0） （ 00）在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为 P（1）当 0 时，求 0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P
10、 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 f（ x）| x a|x+|x2|（ x a） .（1）当 a1 时，求不等式 f（ x）0 的解集；（2）当 x（，1）时， f（ x）0，求 a 的取值范围.2019 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）设集合 A x|x25 x+60， B x|x10，则 A B（ ）A （，1） B （2，1） C （3，1） D （3，+）【考点】1E：交集
11、及其运算菁优网版权所有【分析】根据题意，求出集合 A、 B，由交集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意， A x|x25 x+60 x|x3 或 x2，B x|x10 x|x1，则 A B x|x1（，1） ；故选： A【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题2 （5 分）设 z3+2 i，则在复平面内 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【分析】求出 z 的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可【解答】解： z3+2 i， ，在复平面内 对应的点为（3，2） ，在第三象限
12、故选： C【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题3 （5 分）已知 （2，3） ， （3， t） ，| |1，则 （ ）A3 B2 C2 D3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】由 先求出 的坐标，然后根据| |1，可求 t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解【解答】解： （2，3） ， （3， t） ，. （1， t3） ，| |1， t30 即 （1，0） ，则 2故选： C【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题4 （5 分）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
13、天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥” ，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行 L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月距离为 R， L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： + （R+ r） 设 由于 的值很小，因此在近似计算中 3 3，则 r 的近似值为（ ）A R B R C R D R【考点】5C：根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【分析】由 推导出 3 3，由此能求出 r R【解答】解： r R，r 满足方
14、程： + （R+ r） 3 3，. r R 故选： D【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的奶灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题5 （5 分）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A中位数 B平均数 C方差 D极差【考点】BB：众数、中位数、平均数菁优网版权所有【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案【解答】解：根据题意，从 9 个原始评分中去掉 1 个
15、最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选： A【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题6 （5 分）若 a b，则（ ）A ln（ a b）0 B3 a3 b C a3 b30 D| a| b|【考点】R3：不等式的基本性质菁优网版权所有【分析】取 a0， b1，利用特殊值法可得正确选项【解答】解：取 a0， b1，则ln（ a b） ln10，排除 A；，排除 B；a30 3（1） 31 b3，故 C 对；|a|0|1|1 b，排除 D故选： C【点
16、评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题.7 （5 分）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ）A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行C， 平行于同一条直线D， 垂直于同一平面【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【解答】解：对于 A， 内有无数条直线与 平行， 或 ；对于 B， 内有两条相交直线与 平行， ；对于 C， 平行于同一条直线， 或 ；对于 D， 垂直于同一平面， 或 故选： B【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题8 （
17、5 分）若抛物线 y22 px（ p0）的焦点是椭圆 + 1 的一个焦点，则 p（ ）A2 B3 C4 D8【考点】KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得【解答】解：由题意可得：3 p p（ ） 2，解得 p8故选： D【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题9 （5 分）下列函数中，以 为周期且在区间（ ， ）单调递增的是（ ）A f（ x）|cos2 x| B f（ x）|sin2 x| C f（ x）cos| x| D f（ x）sin| x|【考点】H5：正弦函数的单调性菁优网版权所有【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次
18、判断，利用排除法即可求解【解答】解： f（ x）sin| x|不是周期函数，可排除 D 选项；f（ x）cos| x|的周期为 2，可排除 C 选项；.f（ x）|sin2 x|在 处取得最大值，不可能在区间（ ， ）单调递增，可排除B故选： A【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题10 （5 分）已知 （0， ） ，2sin2 cos2+1，则 sin（ ）A B C D【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得 4sincos2cos 2，结合角的范围可求 sin0，cos0，可得 cos2sin
19、 ，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin 的值【解答】解：2sin2cos2 +1，可得：4sincos2cos 2，（0， ） ，sin 0，cos0，cos2sin，sin 2+cos2sin 2+（2sin ） 25sin 21，解得：sin 故选： B【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题11 （5 分）设 F 为双曲线 C： 1（ a0， b0）的右焦点， O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x2+y2 a2交于 P， Q 两点若| PQ| OF|，则 C 的离心率为（ ）A B C2 D【考点
20、】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【分析】由题意画出图形，先求出 PQ，再由| PQ| OF|列式求 C 的离心率.【解答】解：如图，由题意，把 x 代入 x2+y2 a2，得 PQ ，再由| PQ| OF|，得 ，即 2a2 c2， ，解得 e 故选： A【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12 （5 分）设函数 f（ x）的定义域为 R，满足 f（ x+1）2 f（ x） ，且当 x（0，1时，f（ x） x（ x1） 若对任意 x（， m，都有 f（ x） ，则 m 的取值范围是（ ）A （， B （， C （， D （， 【考点】57：函数与方程的综合
21、运用菁优网版权所有【分析】因为 f（ x+1）2 f（ x） ， f（ x）2 f（ x1） ，分段求解析式，结合图象可得【解答】解：因为 f（ x+1）2 f（ x） ， f（ x）2 f（ x1） ，. x（0，1时， f（ x） x（ x1） ，0， x（1，2时， x1（0，1， f（ x）2 f（ x1） 2（ x1） （ x2） ，0； x（2，3时， x1（1，2， f（ x）2 f（ x1） 4（ x2） （ x3）1，0，当 x（2，3时，由 4（ x2 ） （ x3） 解得 m 或 m ，若对任意 x（， m，都有 f（ x） ，则 m 故选： B【点评】本题考查了函数与方
22、程的综合运用，属中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 0.98 【考点】C2：概率及其性质菁优网版权所有【分析】利用加权平均数公式直接求解【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的
23、估计值为：. （100.97+200.98+100.99）0.98故答案为：0.98【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题14 （5 分）已知 f（ x）是奇函数，且当 x0 时， f（ x） eax若 f（ ln2）8，则a 3 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果【解答】解： f（ x）是奇函数， f（ ln2）8，又当 x0 时， f（ x） eax， f（ ln2） e aln28， aln2 ln8， a3故答案为：3【点评】本题主要考
24、查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题15 （5 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 b6， a2 c， B ，则ABC 的面积为 【考点】HT：三角形中的几何计算菁优网版权所有【分析】利用余弦定理得到 c2，然后根据面积公式 求出结果即可【解答】解：由余弦定理有 b2 a2+c22 accosB， b6， a2 c， B ， ， c212， ，故答案为： 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题16 （5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多
25、面体” （图 1） 半.正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有 26 个面，其棱长为 1 【考点】LR：球内接多面体菁优网版权所有【分析】中间层是一个正八棱柱，有 8 个侧面，上层是有 8+1，个面，下层也有 8+1 个面，故共有 26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45 倍【解答】解：该半正多面体共有 8+8+8+226 个面，设其棱长为 x，则x+ x+ x1，解得 x 1故答案为：26， 1【点评】
26、本题考查了球内接多面体，属中档题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE EC1（1）证明： BE平面 EB1C1；（2）若 AE A1E，求二面角 B EC C1的正弦值.【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【分析】 （1）推导出 B1C1 BE， BE EC1，由此能证明 BE平面 EB1C1（
27、2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B EC C1的正弦值【解答】证明：（1）长方体 ABCD A1B1C1D1中， B1C1平面 ABA1B1， B1C1 BE， BE EC1， BE平面 EB1C1解：（2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AE A1E1， BE平面 EB1C1， BE EB1， AB1，则 E（1，1，1） ， A（1，1，0） ， B1（0，1，2） ， C1（0，0，2） ， C（0，0，0） ， BC EB1， EB1面 EBC，故取平面 EBC 的法向量为 （1，0，1） ，设平面 ECC1 的法向量
28、（ x， y， z） ，由 ，得 ，取 x1，得 （1，1，0） ，cos ，二面角 B EC C1的正弦值为 .【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题18 （12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10：10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 10：10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束（1）求 P（
29、X2） ；（2）求事件“ X4 且甲获胜”的概率【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【分析】 （1）设双方 10：10 平后的第 k 个球甲获胜为事件 Ak（ k1，2，3，） ，则P（ X2） P（ A1A2）+ P（ ） P（ A1） P（ A2）+ P（ ） P（ ） ，由此能求出结果（2） P（ X4 且甲获胜） P（ A2A2A4）+ P（ ） P（ ） P（ A2）P（ A3） P（ A4）+ P（ A1） P（ ） P（ A3） P（ A4） ，由此能求出事件“ X4 且甲获胜”的概率【解答】解：（1）设双方 10：10 平后的第 k 个球甲获胜为
30、事件 Ak（ k1，2，3，） ，则 P（ X2） P（ A1A2）+ P（ ） P（ A1） P（ A2）+ P（ ） P（ ）.0.50.4+0.50.60.5（2） P（ X4 且甲获胜） P（ A2A2A4）+ P（ ） P（ ） P（ A2） P（ A3） P（ A4）+ P（ A1） P（ ） P（ A3） P（ A4）（0.50.4+0.50.6）0.50.40.1【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题19 （12 分）已知数列 an和 bn满足a11， b10，4 an+13 an bn+4，4 bn+13 bn a
31、n4（1）证明： an+bn是等比数列， an bn是等差数列；（2）求 an和 bn的通项公式【考点】84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式菁优网版权所有【分析】 （1）定义法证明即可；（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】解：（1）证明：4 an+13 an bn+4，4 bn+13 bn an4；4（ an+1+bn+1）2（ an+bn） ，4（ an+1 bn+1）4（ an bn）+8；即 an+1+bn+1 （ an+bn） ， an+1 bn+1 an bn+2；又 a1+b11， a1 b11， an+bn是首项为 1，公比为 的等比数列，an bn是首项为
32、1，公差为 2 的等差数列；（2）由（1）可得： an+bn（ ） n1 ，an bn1+2（ n1）2 n1； an（ ） n+n ，bn（ ） n n+ 【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题20 （12 分）已知函数 f（ x） lnx （1）讨论 f（ x）的单调性，并证明 f（ x）有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f（ x）的一个零点，证明曲线 y lnx 在点 A（ x0， lnx0）处的切线也是曲.线 y ex的切线【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】 （1）讨论 f（ x）的单调性，求函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点
33、个数，（2）运用曲线的切线方程定义可证明【解答】解析：（1）函数 f（ x） lnx 定义域为：（0，1）（1，+） ；f（ x） + 0， （ x0 且 x1） ， f（ x）在（0，1）和（1，+）上单调递增，在（ 0，1）区间取值有 ， 代入函数，由函数零点的定义得， f（ ）0， f（ ）0， f（ ） f（ ）0， f（ x）在（0，1）有且仅有一个零点，在（ 1，+ ）区间，区间取值有 e， e2代入函数，由函数零点的定义得，又 f（ e）0， f（ e2）0， f（ e） f（ e2）0， f（ x）在（1，+）上有且仅有一个零点，故 f（ x）在定义域内有且仅有两个零点；（2）
34、 x0是 f（ x）的一个零点，则有 lnx0 ，曲线 y lnx，则有 y ；曲线 y lnx 在点 A（ x0， lnx0）处的切线方程为： y lnx0 （ x x0）即： y x1+ lnx0即： y x而曲线 y ex的切线在点（ ln ， ）处的切线方程为： y （ x ln ） ，即： y x ，故曲线 y lnx 在点 A（ x0， lnx0）处的切线也是曲线 y ex的切线故得证【点评】本题考查 f（ x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零.点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明21 （12 分）已知点 A（2，0） ， B（2，0） ，动点 M（ x，
35、y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 记 M 的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P， Q 两点，点 P 在第一象限， PE x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G（ i）证明： PQG 是直角三角形；（ ii）求 PQG 面积的最大值【考点】KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有【分析】 （1）利用直接法不难得到方程；（2） （ i）设 P（ x0， y0） ，则 Q（ x0， y0） ， E（ x0，0） ，利用直线 QE 的方程与椭圆方程联立求得 G 点坐标，去证 PQ， PG 斜率之积为1；（ ii）利用
36、S ，代入已得数据，并对 换元，利用“对号”函数可得最值【解答】解：（1）由题意得 ，整理得曲线 C 的方程： ，曲线 C 是焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆；（2）（ i）设 P（ x0， y0） ，则 Q（ x0， y0） ，E（ x0，0） ， G（ xG， yG） ，.直线 QE 的方程为： ，与 联立消去 y，得 ， ， ， ， ，把 代入上式，得 kPG ，. kPQkPG 1， PQ PG，故 PQG 为直角三角形；（ ii） S PQG令 t ，则 t2，S PQG 利用“对号”函数 f（ t）2 t+ 在2，+）的单调性可知，.f（ t） （ t2 时取等号） ， （此时
37、） ，故 PQG 面积的最大值为 【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中， O 为极点，点 M（ 0， 0） （ 00）在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为 P（1）当 0 时，求 0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网
38、版权所有【分析】 （1）把 0 直接代入 4sin 即可求得 0，在直线 l 上任取一点（，） ，利用三角形中点边角关系即可求得 l 的极坐标方程；（2）设 P（， ） ，在 Rt OAP 中，根据边与角的关系得答案【解答】解：（1）当 0 时， ，在直线 l 上任取一点（， ） ，则有 ，故 l 的极坐标方程为有 ；（2）设 P（， ） ，则在 Rt OAP 中，有 4cos， P 在线段 OM 上， ， ，故 P 点轨迹的极坐标方程为 4cos， ， .【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 f（ x）
39、| x a|x+|x2|（ x a） （1）当 a1 时，求不等式 f（ x）0 的解集；（2）当 x（，1）时， f（ x）0，求 a 的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【分析】 （1）将 a1 代入得 f（ x）| x1| x+|x2|（ x1） ，然后分 x1 和 x1 两种情况讨论 f（ x）0 即可；（2）根据条件分 a1 和 a1 两种情况讨论即可【解答】解：（1）当 a1 时， f（ x）| x1| x+|x2|（ x1） ， f（ x）0，当 x1 时， f（ x）2（ x1） 20，恒成立， x1；当 x1 时， f（ x）（ x1） （ x+|x2|）0 恒成立， x；综上，不等式的解集为（，1） ；（2）当 a1 时， f（ x）2（ a x） （ x1）0 在 x（，1）上恒成立；当 a1 时， x（ a，1） ， f（ x）2（ x a）0，不满足题意， a 的取值范围为：1，+）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/10 10:49:02；用户：18698887531；邮箱：18698887531；学号：22438407
