1、2018 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=（ ）A0 B1 C1，2 D0，1，22 （5 分） （1+i） （2i）=（ ）A 3i B3+i C3i D3+i3 （5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A B C D4 （5 分）若 si
2、n= ，则 cos2=（ ）A B C D5 （5 分） （x 2+ ） 5 的展开式中 x4 的系数为（ ）A10 B20 C40 D806 （5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则ABP 面积的取值范围是（ ）A2 ，6 B4，8 C ，3 D2 ，3 7 （5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（ ）A B CD8 （5 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（ x=4）P（X=6） ，则 p=（ ）
3、A0.7 B0.6 C0.4 D0.39 （5 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c若ABC 的面积为，则 C=（ ）A B C D10 （5 分）设 A，B，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（ ）A12 B18 C24 D5411 （5 分）设 F1，F 2 是双曲线 C： =1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF 1|= |OP|，则C 的离心率为（ ）A B2 C D12 （5 分）设 a=log0.20.3，b=lo
4、g 20.3，则（ ）Aa +bab 0 Baba+b0 Ca+b 0ab Dab0a+b二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知向量 =（ 1，2） ， =（2， 2） ， =（1，） 若 （2 + ） ，则 = 14 （5 分）曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 15 （5 分）函数 f（x ）=cos（3x + ）在0， 的零点个数为 16 （5 分）已知点 M（1 ，1）和抛物线 C：y 2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=三、解答题：共 70 分。解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）等比数列a n中，a 1=1，a 5=4a3（1）求a n的通项公式；（2）记 Sn 为 an的前 n 项和若 Sm=63，求 m18 （12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎
6、叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2= ，P（ K2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82819 （12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C， D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）当三棱锥 M
7、ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值20 （12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明：k ；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = 证明：| |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差21 （12 分）已知函数 f（ x）=（2+x +ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中
8、任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ， （ 为参数） ，过点（0， ）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x ）=|2x+1|+|x 1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b ，求 a+b 的最小值2018 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，
9、共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=（ ）A0 B1 C1，2 D0，1，2【解答】解：A=x|x 10= x|x1 ，B= 0，1，2，AB=x |x1 0，1 ，2= 1，2故选：C2 （5 分） （1+i） （2i）=（ ）A 3i B3+i C3i D3+i【解答】解：（1+i） （2i）=3 +i故选：D3 （5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构
10、件的俯视图可以是（ ）A B C D【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是 A故选：A4 （5 分）若 sin= ，则 cos2=（ ）A B C D【解答】解：sin= ，cos2=12sin 2=12 = 故选：B5 （5 分） （x 2+ ） 5 的展开式中 x4 的系数为（ ）A10 B20 C40 D80【解答】解：由二项式定理得（x 2+ ） 5 的展开式的通项为：Tr+1= （x 2） 5r（ ） r= ，由 103r=4，解得
11、 r=2，（x 2+ ） 5 的展开式中 x4 的系数为 =40故选：C6 （5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则ABP 面积的取值范围是（ ）A2 ，6 B4，8 C ，3 D2 ，3 【解答】解：直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=2，A（2 ，0） ，B（0 ，2） ， |AB|= =2 ，点 P 在圆（ x2） 2+y2=2 上，设 P（2+ ， ） ，点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d= = ，sin （ ）1，1，d= ，AB
12、P 面积的取值范围是： ， =2，6故选：A7 （5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（ ）A B CD【解答】解：函数过定点（0，2） ，排除 A，B 函数的导数 f（x ）=4x 3+2x=2x（2x 21） ，由 f（x）0 得 2x（2x 21）0，得 x 或 0x ，此时函数单调递增，排除 C，故选：D8 （5 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（ x=4）P（X=6） ，则 p=（ ）A0.7 B0.6 C0.4 D0.3【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付
13、的概率都为 p，看做是独立重复事件，满足 XB（10，p ） ，P（x=4）P（X=6） ，可得 ，可得 12p0即 p因为 DX=2.4，可得 10p（1p ）=2.4，解得 p=0.6 或 p=0.4（舍去） 故选：B9 （5 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c若ABC 的面积为，则 C=（ ）A B C D【解答】解：ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，cABC 的面积为 ，S ABC = = ，sinC= =cosC，0C，C= 故选：C10 （5 分）设 A，B，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且面积为
14、 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（ ）A12 B18 C24 D54【解答】解：ABC 为等边三角形且面积为 9 ，可得 ，解得AB=6，球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O，显然 D 在 OO 的延长线与球的交点如图：OC= = ，OO= =2，则三棱锥 DABC 高的最大值为： 6，则三棱锥 DABC 体积的最大值为： =18 故选：B11 （5 分）设 F1，F 2 是双曲线 C： =1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF 1|= |OP|，则C 的离心率为（ ）A B2 C D【解答】解：双曲线 C： =1（a0
15、b 0）的一条渐近线方程为 y= x，点 F2 到渐近线的距离 d= =b，即|PF 2|=b，|OP|= = =a，cos PF 2O= ，|PF 1|= |OP|，|PF 1|= a，在三角形 F1PF2 中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF 2O，6a 2=b2+4c22b2c =4c23b2=4c23（c 2a2） ，即 3a2=c2，即 a=c，e= = ，故选：C12 （5 分）设 a=log0.20.3，b=log 20.3，则（ ）Aa +bab 0 Baba+b0 Ca+b 0ab Dab0a+b【解答】解：a=log
16、0.20.3= ，b=log 20.3= ， = ， ， ，ab a +b0故选：B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知向量 =（ 1，2） ， =（2， 2） ， =（1，） 若 （2 + ） ，则 = 【解答】解：向量 =（ 1，2） ， =（2， 2） ， =（4，2） ， =（ 1，） ， （2 + ） ， ，解得 = 故答案为： 14 （5 分）曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3 【解答】解：曲线 y=（ax+1）e x，可得 y=aex+（ax+1）e x，曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，
17、1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3故答案为：315 （5 分）函数 f（x ）=cos（3x + ）在0， 的零点个数为 3 【解答】解：f（x）=cos（3x+ ）=0 ，3x+ = +k，kZ ，x= + k，kZ，当 k=0 时，x= ，当 k=1 时，x= ，当 k=2 时，x= ，当 k=3 时，x= ，x0，x= ，或 x= ，或 x= ，故零点的个数为 3，故答案为：316 （5 分）已知点 M（1 ，1）和抛物线 C：y 2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=2 【解答】解：抛物线 C：y 2=4x 的
18、焦点 F（1，0） ，过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x 1） ，联立 可得，k 2x22（2+k 2）x+k 2=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2=1，y 1+y2=k（x 1+x22）= ，y 1y2=k2（x 11） （x 21）=k 2x1x2（x 1+x2）+1= 4，M（ 1，1） ， =（ x1+1，y 11） ， =（x 2+1，y 21） ，AMB=90=0， =0（x 1+1） （x 2+1）+（y 11） （y 21）=0，整理可得，x 1x2+（x 1+x2）+y 1y2（y 1+y2）+2=0 ，1+2 +
19、4 +2=0，即 k24k+4=0，k=2故答案为：2三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）等比数列a n中，a 1=1，a 5=4a3（1）求a n的通项公式；（2）记 Sn 为 an的前 n 项和若 Sm=63，求 m【解答】解：（1）等比数列a n中，a 1=1，a 5=4a31q 4=4（1q 2） ，解得 q=2，当 q=2 时，a n=2n1，当 q=2 时，a n=（2） n1，a n的通项公式为， an=2n1
20、，或 an=（ 2） n1（2）记 Sn 为 an的前 n 项和当 a1=1，q= 2 时，S n= = = ，由 Sm=63，得 Sm= =63，mN，无解；当 a1=1，q=2 时，S n= = =2n1，由 Sm=63，得 Sm=2m1=63，mN，解得 m=618 （12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效
21、率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2= ，P（ K2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 7092 之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 6590 之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这 40 名工人完成生
22、产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 m= =80；由此填写列联表如下； 超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式 15 5 20第二种生产方式 5 15 20总计 20 20 40（3）根据（2）中的列联表，计算K2= = =106.635，能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异19 （12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C， D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值【解答】解
23、：（1）证明：在半圆中，DMMC ，正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，AD平面 BCM，则 ADMC，ADDM=D，MC平面 ADM，MC平面 MBC，平面 AMD平面 BMC（2）ABC 的面积为定值，要使三棱锥 MABC 体积最大，则三棱锥的高最大，此时 M 为圆弧的中点，建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形 ABCD 的边长为 2，A（2， 1，0） ，B （2，1，0） ，M（0，0，1） ，则平面 MCD 的法向量 =（1，0，0） ，设平面 MAB 的法向量为 =（x，y ，z）则 =（ 0，2，0） ， =（ 2，1，1） ，由 =2y=0
24、， =2x+y+z=0，令 x=1，则 y=0，z=2，即 =（1， 0，2） ，则 cos ， = = = ，则面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 sin= = 20 （12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A，B 两点，线段AB 的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明：k ；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = 证明：| |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 M（1，m） ，x 1+x2=2，y 1+y2=2m将 A
25、，B 代入椭圆 C： + =1 中，可得，两式相减可得，3（x 1+x2） （x 1x2）+4（y 1+y2） （y 1y2）=0，即 6（x 1x2）+8m（y 1y2）=0，k= = =点 M（ 1，m）在椭圆内，即 ，解得 0m （2）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，可得 x1+x2=2， + + = ，F（1，0） ，x 11+x21+x31=0，y 1+y2+y3=0，x 3=1，m0，可得 P 在第一象限，故 ，m= ，k=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex 1=2 x1，|FB|=2 x2，|FP|=2 x3= 则|FA|+
26、|FB|=4 ，|FA|+|FB|=2|FP|，联立 ，可得|x 1x2|=所以该数列的公差 d 满足 2d= |x1x2|= ，该数列的公差为 21 （12 分）已知函数 f（ x）=（2+x +ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a【解答】 （1）证明：当 a=0 时，f （x）=（2+x ）ln（1+x ） 2x， （x1） ， ，可得 x（1， 0）时，f（x）0 ，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（ 1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（ x）= （
27、2+x）ln （1 +x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0当1x0 时，f（x） 0；当 x0 时，f（x ） 0（2）解：由 f（x）=（2+x+ax 2）ln （1+x）2x，得f（x ）=（1+2ax）ln（1+x）+ 2= ，令 h（x）=ax 2x+（1+2ax ） （1+x）ln （x+1） ，h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln （x+1） 当 a0，x0 时，h （x ）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x ）0，f（ x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1
28、 ）+ ，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a= 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h （x）0，h（x ）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x ）h （0）=0 ，h（x）单调递减，又 h（0）=0 ，当1x0 时，h（x）0，即 f（x ）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（ x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若 a0，则 h（0）=1 +6a0，h （e 1）=（2a 1） （1e ）0，h （x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0xx 0 时，h（x）0，
29、h （x）单调递增，h（x ）h （0）=0 ，即 f（x）0，f（ x）在（0，x 0）上单调递增，不符合题意；若 a ，则 h（0）=1 +6a0，h （ 1）=（ 12a）e 20，h （x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1，当 x1x 0 时，h（x）0，h （x）单调递减，h（x ）h （0）=0 ，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x ）0，f（ x）在（x 1，0）上单调递减，不符合题意综上，a= （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10
30、 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ， （ 为参数） ，过点（0， ）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O 的参数方程为 （ 为参数） ，O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0） ，半径 r=1，当 = 时，过点（0 ， ）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0， ）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx+ ，倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点，圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d= 1，tan 21， tan1 或
31、tan 1， 或 ，综上 的取值范围是（ ， ） （2）由（1）知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=m（y+ ） ，设 A（x 1，y 1） ， （B（x 2，y 2） ，P（x 3，y 3） ，联立 ，得（m 2+1）x 2+2 +2m21=0，= +2 ，= ， = ，AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 ， （m 为参数） ， （ 1m1） 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x ）=|2x+1|+|x 1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b ，求 a+b 的最小值【解答】解：（1）当 x 时，f（x ）= （2x +1）（x1）=3x，当 x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，当 x1 时，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，则 f（x）= 对应的图象为：画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b ，当 x=0 时，f（0）=20a+b ，b2，当 x0 时，要使 f（x）ax +b 恒成立，则函数 f（x ）的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上，f（ x）的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2，且各部分直线的斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，不等式 f（x）ax+b 在0，+）上成立，即 a+b 的最小值为 5
