1、 - 1 -博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年 级：九年级 日期：辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间：课 题 九上 第四讲：二次函数及其图像授课日期 教学目标1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；3、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学内容- 2 -二次函数及其图像教学重点与难点教学重点：理解二次函数yax 2bxc（a、b、c是常数，且a0）的概念。教学难点：学会运用二次函数解决一些复杂的数学问题，需要学生有较强的抽象概括能力。教学过程 来源:Zxxk.Com一、二次函数的概念请用适当的函数解析式表
2、示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系。(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm );(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x ，两年后王先生共得本息y元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m 2)。上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?其实，不难发现，经化简后它们都具有y=ax 2+bx+c (a,b,c是常数,a0)的形式。我们把形如y=ax 2+bx+c(其中a,
3、b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。）例如，1、二次函数 y=-x 2+58x-112 的二次项系数为1，一次项系数为58，常数项112。2、二次函数y=x 2的二次项系数,一次项系数0，常数项0。做一做:1.下列函数中,哪些是二次函数?y=x 2； y=- ； y=2x 2-x-1； y=x(1-x)； y=(x-1) 2-(x+1)(x-1)；1x22、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项？y=x 2+1 y=-3x 2+7x-12 y=2x(1-x)111 3x- 3 -注意:当二
4、次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围. 想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢? 二、典型例题例1 ：如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 )设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm 2)，求 : y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四边形 EFGH的 面积，并列表表示.变式训练：1、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：(1)写出y关于x的函数关系式.(2)当x=3时,矩形的面积为多少
5、?A BE FCGDHx- 4 -例：已知二次函数y=x+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5, 用待定系数法求这个二次函数的解析式？变式训练:1、已知二次函数y=ax+bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的解析试.三、二次函数的图像（一）回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时是如何进一步研究这些函数的？ 先用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 入手。现在我们来2axy讨论二次函数 （ ）的图像。2axy0- 5 -（二）探索图像1、用
6、描点法画出二次函数 和 图像2xy2（1） 列表x -2 21-1 210 1 22 2y 4 1 40 41 44 2x -4 -2-1 - 0 - -1-2-4 仔细观察上表，思考一下问题：无论x取何值，对于 来说，y的值有什么特征？对于 来说，又有什么特征？ 2x 2xy当x取 等互为相反数时，对应的 y的值有什么特征？ 1,2（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.（3） 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到 和 的图2xy2像。2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和 的图像。2xy2xy3、二次函数 （ ）的图像2axy0由
7、上面的四个函数图像概括出：（1） 二次函数 的图像形如物体抛射时所经过的路线，所以我们把它叫做抛物线，2（2） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。（4） 当 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点0a- 6 -外)；当 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的下方(除顶0a点外)。（三）课堂练习观察二次函数 和 的图像2xy2(1) 填空：抛物线 2xy2xy顶点坐标对称轴位 置开口方向(2)在同一坐标系内，抛物线 和抛物线 的位置有什么关系？如果在同一个坐标
8、系2xy2xy内画二次函数 和 的图像怎样画更简便？ 2axy（四）例题讲解1、已知二次函数 （ ）的图像经过点（-2，-3）。2axy0（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。- 7 -变式训练：1、已知抛物线 经过点 A（-2，-8）。2axy（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。四、本课小结回顾一下，这节课我们学习了哪些内容了，你掌握了多少呢？想一想:函数y=ax 2+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时
9、：它是二次函数？它是一次函数？它是正比例函数？注意：自变量的取值范围必须使其所在的代数式有意义；如果是实际问题，那么自变量的取值必须使实际问题有意义。5、课后练习练习一：二次函数1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：时间t（秒）1 2 3 4 - 8 -距离s（米）2 8 18 32 写出用t表示s的函数关系式.2、下列函数： ； ； ；23yx=()21yx=-+()24yx=+- ； ，其中是二次函数的是 ，其中 ，21yx+()1- a， 。b=c3、 当 时，函数 （ 为常数）是关于 的二次函数。m()235ymx
10、=-+-mx4、当 时，函数 是关于 的二次函数。 221-x5、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积6、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm 2， 求 y 与 x 之间的函数关系式. 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.- 9 -7、已知二次函数 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.),0(2acxy8、富根老伯想利用一边长
11、为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米 2）与x有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米 2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二：二次函数的图像1、填空：（1）抛物线 的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 21xy时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；- 10 -（2）抛物线 的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 21xy时，y随x的增大
12、而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数 下列说法： 当x取任何实数时， y的值总是正的；x的值增大，y的值也2xy增大；y随x的增大而减小；图象关于y轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 yx 2 不具有的性质是（ ）A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S12gt2（g9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）stOstOstOstOA B C D5、函数 与 的图象可能是（ ）2axybxA B C D6、已知函数 的图象是开口向下的抛物线，求 的值.24myx-= m7、二次函数 在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.12- 11 -8、二次函数 ，当x 1x 20时，求y 1与y 2的大小关系.23y9、已知函数 是关于x的二次函数，求：42my（1） 满足条件的m的值；（2） m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
