1、初中数学探索规律题（几何部分）七年级（1,2）班 2013.10.20【 版权所有, 未经允许, 不得翻印】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”数学中，数和形是两个主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案第一部分 数列1.等差 数列（y=a+nx）例 1.
2、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律，拼成若干个图案：（1）第四个图案中有白色地砖 块； （2）第 n个图案中有白色地砖 块； 第 10题 图 例 2某广场要做一个正六边形的花坛,每条边(包括两个顶点)有 n(n1)盆花,设这个花坛边上的花盆的总数为 S,请观察图中的规律:n=4图 S=18n=3图 S=12n=2图 S=6按上规律推断,S 与 n的关系是_。例 3如图 5，四边形 ABCD是梯形（标注的数字为边长），按图中所示的规律，用 2013个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是_.1211 DCBA图5例 4. 用火柴棒按如图方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第 4个图形需要 根
3、火柴棒，第 n个图形需要 根火柴棒（用含 n的代数式表示）.例 5、学校阅览室有能坐 6人的方桌，如果多于 6人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐 10人（如图 12所示）若按这种方式摆放 10张长桌（如图 3），可同时容纳的人数是( )(1) (2) (3)例 4图例 6.观察图（l）至（4），按这样的规律继续摆放，记第 n个图中小圆圈的个数为 m，则 m= （用含 n 的代数式表示）.”例 7.右图是一回形图，其回形通道的宽与 OB的长均为 1，回形线与射线OA交于点 A1，A 2，A 3，。若从 O点到 A1点的回形线为第 1圈（长为7），从 A1点到 A2点的回形线为第 2圈，依
4、此类推。则第 10圈的长为 。2.其他数列例 1 下面是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子；（2）第 n个“上”字需用 枚棋子例 2. .我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出右表，此表揭示了 （n 为非负数）展开式的各项系数ba)(的规律。例如： ，它只有一项，系数为 1；10，它有两项，系数分别为 1，1ba1)(，有三项，系数为 1，2，1；22，它有四项，系数分别为 1，3，3，1；33ba根据以上规律， 展开式共有五项，系数分别为 。4)(例 3
5、. 在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全郯城四中七（1,2）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内各班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高如果七(1)班有 24名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？如果七(2)班有 25名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？例 4科学研究发现：植物的花瓣、片、果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，仔细观察以上数列，则它的第 11个数应该是 .例 5.某种树木的分枝生长规律如
6、图所示，则预计到第 6年时，树木的分枝数为 .年 份 分 枝 数第 1 年 1第 2 年 1第 3 年 2第 4 年 3第 5 年 5例 6、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条如下面的草图所示：这样捏合到第 次后可拉出 128根细面条例 8右边给出的是 2004年 3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，发现这三个数的和不可能是（ ）A69 B54C27 D40例 9.如图是 2013年 10月份的日历，现用一个矩形在日历中任意框出 4个日期,利用等式表示 a、b、c、d 之间的关系为 日
7、一 二 三 四 五 六1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 31 a bc d日 一 二 三 四 五 六1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30 31第三次捏合后第一次捏合后 第二次捏合后例 10.下图的数阵是由全体奇数排成（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由
8、；（3）这九个数之和能等于 1998吗？2005，1017 呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。例 11、正ABC 的面积是 4，顺次连接各边中点得 ，顺次连接1CBA各边中点得 ， ，如此下去得 。1CBA2CBAn1） 的面积是 的面积是 22） 的面积是 的面积是 7 n例 12.一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6根据图中该正方体 A、B、C 三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是 图中有规律哟！例 13.自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以 3后加上1，多次重复这
9、种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数 R，它会掉入一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”那么最终掉入“陷井”的这个固定不变的数 R_例 14、探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个 3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数 T ，我们称它为数字“
10、黑洞”T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！3.循环规律例 1.观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球 )：从第 1个球起到第 2004个球止，共有实心球 个例 2.如图，一个机器人从 O出发向正东方向走 3m到达 点，再向正北1A方向走 6m到达 点，再向正西方向走 9m到达 点，再向正南方向走2A312m到达 点，再向正东方向走 15m，到达 ，按此规律走下去。当机4 5器人到 时，它应向 走 m。6北西 东南A1A2A3A5OA4A6第二部分 数列求和例 1. 图 1 是棱长为 a 的小正方体，图 2、图 3 由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放
11、，由上而下分别叫第一层、第二层、第 n 层，第 n 层的小正方体的个数为 s解答下列问题：（1）按照要求填表：（2 ）写出当 n=10 时，s = 例 2. 、如下图，一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，以此类推。填写下表：最外层每边对应点数（x）1 2 3 4 5每个点阵点的总数（y）若一个点阵点的总数为 721，你知道它最外层有几个点吗？请说明理由。n 1 2 3 4 s 1 3 6 n 1 2 3 4 s 1 3 6 n 1 2 3 4 s 1 3 6 n 1 2 3 4 s 1 3 6 图 1 图 2 图 3* * * * * *
12、 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *例 3. 如下图所示，摆第一个“小屋子”要 5枚棋子，摆第二个要 11枚棋子，摆第三个要 17枚棋子，则摆第 30个“小屋子”要 枚棋子例 4. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（ 1） 在 和 后 面 的 横 线 上 分 别 写 出 相 应 的 等 式 ；（ 2） 通 过 猜 想 写 出 与 第 n个 点 阵 相 对 应 的 等 式 .例 5. (2005年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求的值（结果用 n表示），设计如图 a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求 的值为 。（2）请你利用图 b，再设计一个能求的值的几何图形。(1) (2) (3)例 3 图 1=12； 1+3=2 2；1+3+5=3 2； ； ；解析：【例 5】(1) （2）可设计如图 1，图 2， 图 3，图 4所示的方案：例 6. 观察下面的图形（每一个正方形的边长均为 1）和相应的 等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第 n个图形相对应的等式。
