1、长郡中学 2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 在复平面内对应的点在（ ）2cosin3zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.设 、 为非空集合，定义集合 为如图非阴影部分的集合，若 ，*AB 2|Axyx，则 （ ）|3,0xyA B C D0,20,12,(1,20,12,3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为 5，则程序中 的取值范围为（ ）aS1iDOiiLPUNTIaRISEA B C D 56a5656a56a4.使
2、不等式 成立的一个必要不充分条件是（ ）14xA B C. D233x3x2x5.已知集合 ， ，则从 到 的映射 满足 ，则这样的映射共有（ ）,2,4ABf()3A3 个 B4 个 C.5 个 D6 个6.在直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，在 （ ）2sin,co3Psin()A B C. D12321227.定义运算 ， ，例如 ，则函数 的值域为（ ）*abab1*21*2xyA B C. D0,1,1,0,8.若 在区间 上单调递减，则 的取值范围为（ ）2()lg)fxax(,1aA B C. D,， +)， 2+)，9.已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，且 ， ，
3、成等比数列，且 ，则abcACBbc3B（ ）1tntA B C. D3234310.已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ab c()0acbAc）A1 B2 C. D2211.已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 的值等于（ ()yfx(1,)Mf 12yx(1)f）A1 B C.3 D05212.设 ，则使得 的 的取值范围是（ ）1()()xxfxe(1)(2)fxfxA B C. D,3,),3,31(,)313.已知函数 ，其中 为函数 的导数，则2(sin019xf()fx()fx（ ）(2018)()2019f ffA.2 B.201
4、9 C.2018 D.014. 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若 ，三角形面积为 ，ABCCabc20abc103，则 ( )60aA.7 B.8 C.5 D.615.在 中，已知 ， ， ， 为线段 上的一点，且9ABsincosinAC6ABSPAB，则 的最小值为（ ）CABPxy1xyA. B. C. D.767127312736二、填空题：本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分.16. 左传.僖公十四年有记载:“皮之不存,毛将焉附?“”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条
5、件(将正确的序号填入空格处).充分条件必要条件充要 条件既不充分也不必要条件17.对于 ， ，规定 ，集合 ，abN,*ab与 的 奇 偶 性 相 同与 的 奇 偶 性 不 同 ,*36,MababN则 中的元素的个数为 M18.已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影是 ab12b3aab19.已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ()2sinfxx()21)0f4ab20.已知集合 ，且下列三个关系： ， ， 中有且只有一个正确，则函数,34abc 3abc的值域是 2(),xf三、解答题 ：本大题共 5 小题，每小题 8 份，共 40 分. 21. 以直角坐标系
6、的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为Ox C.2sin=4cos（1）求曲线 的直角坐标方程；C（2）若直线 的参数方程为 （ 为参数） ，设点 ，直线 与曲线 相交于 ， 两点，l251xty(1,)PlCAB求 的值.PAB22.如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 .CABCabc2oscosab（1）求角 的大小；（2）若点 在边 上，且 是 的平分线， ， ，求 的长.DACBDAC2AB4CAD23.已知函数 （ 为自然对数的底数）.()xfet（1）当 时，求函数 的单调区间；t()f（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实
7、数 的取值范围.0,2x()0fxt24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族 中的成S员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 中 ( )的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间S%10x为 (单位:分钟), 30,()1829,301xfxx而公交群体的人均通勤时间不受 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?x(2)求该地上班族 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性,并说明其实际意义.S()gx()gx25.已知函数 ， （ ）.2()1axflna0
8、（1）求函数 的单调区间；（2）求证：当 时，对任意 ， ，总有 成立.0a1x2(,e12()gxf试卷答案一、选择题1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC二、填空题16. 17.41 18. 19. 20. 1 129423,)三、解答题21.(1)曲线 的极坐标方程 ，即 ，C2sin4cos2sincos曲线 的直角坐标方程为 .yx（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入曲线 的方程 ，可得l251tyC24yx，21455tt整理得 ，260tt ，点 在 之间，12PAB .21211|()45PABttt22.（1） ，coscosabC ，2s
9、iniini()sinBCA .3A（2）在 中，由余弦定理得 ，BC2416cosA解得 或 （舍）13A13 是 的角平分线，D ，2BC 133A23.（1）当 时， ，te()xfe()xfe由 ，解得 ；由 解得， .()0xf101x函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 .(,)(,)（2）依题意：对于任意 ，不等式 恒成立，2x()fx即 恒成立，即 在 上恒成立，0xetxet0,令 ，()xg所以 .21)(xex当 时， ；当 时， .0()0g12x()0gx函数 在 上单调递增；在 上单调递减.()x,(,所以函数 在 处取得极大值 ，即为在 上的最大值.)e(,2
10、x实数 的取值范围是 .t(,)e所以对于任意 ，不等式 恒成立的实数 的取值范围是 .02x(0fxt(,)e24.（1）由题意知，当 时，31，8()94fx即 ，2650x解得 或 ， 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(4,1)（2）当 时，03x；()%()401xg当 时，1；28013()29)(%)580xxx ；240(30)1()581xgx当 时， 单调递减；03.x()g当 时， 单调递增；2.51x说明该地上班族 中有小于 的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 的人自驾时人均S32.5%32.5%通勤时间是递增的；当自驾人数为 时，人均通勤时间
11、最少.25.（1）函数 的定义域为 ， .()fxR22(1)()1)axxf当 时，0a当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf,1-1 (1,)1 (1,)()fx- 0 + 0 - 当 时，0a当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf,1-1 (1,)1 (1,)()fx+ 0 - 0 + 综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；0a()fx(1,)(,1)(,)当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .(,)（2）由（1）可知，当当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，0a()fx0()fx,e又 ， ，(0)fa2()1efa所以 ，minx同样地，当 时，若 ， 在 上单调递增， 在 上单调递减，所以e()gx0,()gx,ae，min()()lgxa因为 ，l(2ln)(l)aea同理，当 或 时，对于任意 ， ，总有 .e1x2(0,max min()()()geafx综上所述，对于任意 ， ，总有 成立.1x2(0,e12)ff
