1、第 5 章 振动和波动5-1 一个弹簧振子 ， ，振幅 ，求0.kgm0Nm0.4A(1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力；(3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。解：（1） )srad(105.mkmax2204/)1.(svA(2) 设 ，则cos()tdinxvAtt222dcos()xaAtxt当 x=0.02m 时， ，所以cos()1/,sin()3/t20.3.46m(/)1NvaF(3) 作旋转矢量图，可知： 20.4cos()xt5-2 弹簧振子的运动方程为 ，写出此简谐
2、振动的振幅、角频0.4cos(.703)(SIxt率、频率、周期和初相。解： A=0.4(m) .7(rad/s).(rad)11Hz892T5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为 12km式中 分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量。12,k习题 5-3 图解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧 1 的伸长量为 ,弹簧 2 的伸长量为 ，则应有10x20021xk当物体运动到平衡位置的位移为 x 处时，弹簧 1 的伸长量就为 ，弹簧 2 的伸长量就x10为 ，所以物体所受的合外力为x20 102012()()()Fkxkxkx由牛顿第二定律
3、得 212dmt即有 212()d0kxxt上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为 12kxm振动的频率为 12km5-4 如图所示，U 形管直径为 d，管内水银质量为 m，密度为 ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。习题 5-4 图解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为 x 轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至 x 时，振动系统所受回复力为： 224ddgFxx振动角频率 2dgm振动周期 2T5-5 如图所示，定滑轮半径为 R，转动惯量为 J，轻弹簧劲度系数为 k，物体质量为m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动
4、，并求其作微小振动的周期。解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为 x 轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长 ，有： （1）0l0klmg物体位于 x 位置时（以原点为重力势能零点）： 22201()vkxlJmgxCR对上式两边求导： 0()0vakxlJv从上式消去 v，且将（1）式代入，得到 22kxJmR2J说明系统作简谐振动。振动周期为： 2JmRTk5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为 k，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，物体质量为 m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其
5、固有周期。习题 5-6 图解：设任意时刻 t，物体 m 离平衡位置的位移为 x，速率为 v，则振动系统的总机械能22 211vEkxCJmR恒 量式中 C 为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对 t 求导得 0vakxJ22xmR于是 2kJ2TRk5-7 如图所示，质量为 10g 的子弹，以 速度射入木块并嵌在木块中，使01msv弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为 4.99kg，弹簧的劲度系数为 ，求振动3810Nm的振幅。 （设子弹射入木块这一过程极短）解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒，设碰撞后子弹与木块共同以速度 v 运动，则有 0()2m/
6、sv然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅 A 可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有 2211()vk30.490.5m8mAk5-8 如图所示，在一个倾角为 的光滑斜面上，固定一个原长为 、劲度系数为 k、质0l量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为 m 的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。解： 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为 ,则0xsinsinmgmgkk平衡位置距 点为：O00lxl以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴 Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为 x处时，弹簧的伸长量就是 ,所以物体所受的合外力为00sin()F
7、mgkxFkx即物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为 2Tk5-9 两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。解：根据题意，两质点分别在 和 处相向通过，由此可以画出相应的旋2Ax转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为 。34即2A1A23xOA2A1Ox435-10 一 简谐振动的振幅 A = 24c、周期 T = 3s，以振子位移 x = 12cm、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到 x =
8、 -12c处所需的最短时间。 5-11 如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为 m = 1.0kg 的物体 B 和 C，此时弹簧伸长 2.0c并保持静止。用剪刀断连接 B 和 C 的细线，使 C 自由下落，于是 B 就振动起来。选 B 开始运动时为计时起点，B 的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求 B 的振动方程(1)x 轴正向向上；(2)x 轴正向向下。 习题 5-11 图解：已知 m=1kg, ,可得mlBC02.)/(10/mNlgkBC)rad/s(1mk当以 B 的平衡位置为坐标原点，振动振幅为 )(0102.02. mkgA习题 5-9 图由题意知，振动初速度 0v(1)x 轴正
9、向向上时： )(1.mx振动方程为 cos.t(2)x 轴正向向下 时： 0)(.0x振动方程为 1cs.mt5-12 劲度系数为 k 的轻弹簧，上端与质量为 m 的平板相联，下端与地面相联。如图所示，今有一质量也为 m 的物体由平板上方 h 高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。 习题 5-12 图解：物体下落与平板碰撞前速度： ghv20()mv所以物体与平板碰撞后共同运动的速度： v210以平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，建立坐标系。依题意： kmgx0在 x 处，物体和平板受力： 2()mgFkk则： 2mT
10、kT2220/41vghAxmgkhkNmgxO见旋转矢量图，有： 02arcos()arcosxmgAkh5-13 在一平板上放一重 9.8N 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期 T =0.50s，振幅 A =0.020m，试求(1)重物对平板的压力 F；(2)平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板?解：以平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，物体在 x 处时，29.816mgNax(1)重物对平板的压力 2Fx（2）当 N=0 时重物将脱离平板，由 ，得2ax9.8160N,max0.6()max0.2()A5-14 一木块在水平面上作简谐运动，振幅为 5.0c，频率为 ，一块质量为
11、 m 的较小木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为 0.4g，求振动频率至少为多大时，上面的木块将相对于下面木滑动?解：以平衡位置为坐标原点，向右为 x 轴正方向，建立坐标系，小木块在 x 处：22FmxT在最大位移处，F 最大， 2maxF当 时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：gAfss2max即8.5(rad/s)s1.4Hz2振动频率至少应略大于 1.4Hz 时，上面小木块相对于下面木块滑动。5-15 一台摆钟的等效摆长 L = 0.995，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天快 1分 27 秒。假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟
12、走得准确?解：设原摆钟周期为 T，钟走时准确时，其钟摆长为 ，周期为 ，则LT246087640T而22().95.7(m)L0.m()应将摆锤下移 2mm。5-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数 ，当物体以初动能 0.2J 和初势能 =25Nk0.6J 振动时，求(1) 振幅；(2) 位移是多大时，势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时，势能多大?解：（1） 0.206.8()kpEJ120.53()EkAmk(2) 时， ，即 ，得kpE2pE221x0.79()A(3)当 时， Ax212211().4pkkEJ5-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为
13、10.cos()SI6xt23求合振动的振幅和初相。解： 2 21121cos()43cos6.08(cm)AA0124sin3si()sinsi6arct arct 4.7oocA5-18 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们合振动的振幅为 10cm，合振动与第一个振动的相差为 /6，若第一个振动的振幅 A1=8.0cm，求（1）第二个振动的振幅 A2；（2）第一个振动和第二个振动的相位差。解：依题意，作旋转矢量图（缺图，P30） ，可知2 211 3cos0815(cm)62AA210cos.385-19 已知两个分振动的振动方程分别为 2cosxt()y求合振动轨道曲线。解：两个振动方程
14、消去 t 得： ,所以合振动轨迹是圆。42x5-20 质量为 4536kg 的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。已知发射架以 10的初速向后反冲并移动了 3m。试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼ms时的阻力系数。解：已知 m=4536kg，v 0=10m/s，A=3m反冲时，反射架动能转换成弹簧弹性势能 ，得2201mvkA0013v22045364(N/)vkA临界阻尼时 ，由 有，阻力系数：0m)kg/s(30241456
15、20m5-21 已知地壳平均密度约 ，地震波的纵波波速约 5.5103 ，地震3.8kgms波的横波波速约 3.5103 ，计算地壳的杨氏模量与切变模量。s解:由 得，YU即 )J即kg/m1047.822即U由 得，G)/3.21025-22 已知空气中的声速为 344 ，一声波在空气中波长是 0.671m，当它传入水中s时，波长变为 2.83m，求声波在水中的传播速度。解：5-23 有一沿 x 轴正方向传播的平面简谐横波，波速 u =1.0 ，波长 = 0.04，振ms幅 A = 0.03，若从坐标原点 O 处的质元恰在平衡位置并向 y 轴负方向运动时开始计时，试求(1) 此平面波的波函数
16、；(2) x1=0.05处质元的振动方程及该质元的初相位。5-24 有一沿 x 轴正向传播的平面简谐波，波速为 2 ，原点处质元的振动方程为ms，试求0.6cos(SI)yt(1) 此波的波长；(2) 波函数；(3) 同一质元在 1 秒末和 2 秒末这两个时刻的相位差；(4) xA=1.0m 和 xB=1.5m 处两质元在同一时刻的相位差。5-25 振动频率为 的波源发出一列平面简谐波，波速 ，试求50Hz 350msu(1) 相位差为 的两点相距多远；3(2) 在某点，时间间隔为 的两个状态的相位差是多少？31st5-26 有一波长为 的平面简谐波，它在 a 点引起的振动的振动方程为，试分别
17、在如图所示四种坐标选择情况下，写出此简谐波的波函数。cos()yAt习题 5-26 图5-27 图示为 t = 0 时刻的平面简谐波的波形，求(1) 原点的振动方程；(2) 波函数；(3) P 点的振动方程；(4) a、b 两点的运动方向。习题 5-27 图 习题 5-28 图5-28 一列平面简谐波沿 x 轴正方向传播，波速为 u，波源的振动曲线如图所示。(1) 画出 t = T 时刻的波形曲线，写出波函数；(2) 画出 处质元的振动曲线。4x5-29 已知一平面简谐波的波函数 ，cos(4+2)(SIyAtx(1)写出 t = 4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，计算此时离原点最近的一个波
18、峰的位置，该波峰何时通过坐标原点?(2)画出 t = 4.2s 时的波形图。5-30 图示为 时刻沿 x 轴正方向传0 播的平面简谐波的波形图，其中振幅 A、波长、波速 u 均 为已知。(1) 求原点处质元的初相位 ；0(2) 写出 P 处质元的振动方程；(3) 求 P、Q 两点相位差。5-31 一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。求波的强度和振幅与离波源距离的关系。习题 5-30 图5-32 设简谐波在直径 d = 0.10的圆柱形管内的空气介质中传播，波的强度 I = 1.010-2 ，波速为 u = 250 ，频率 = 300Hz，试计算2Wms(1) 波的平均能
19、量密度和最大能量密度各是多少?(2) 相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量?5-33 一个声源向各个方向均匀地发射总功率为 10W 的声波，求距声源多远处，声强级为 100 dB。5-34 设正常谈话的声强 ，响雷的声强 ，它们的声强级621.0WmI20.1WmI各是多少？5-35 纸盆半径 R=0.1m 的扬声器，辐射出频率 = 103Hz、功率 P = 40W 的声波。设空气密度 = 1.29 ，声速 u=344 ，不计空气对声波的吸收，求纸盆的振幅。3kgms5-36 P、Q 为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一介质中传播，设波的频率为 、波长为 ，P、Q 间
20、距离为 3/2，R 为 PQ 连线上 P、Q 两点外侧的任意一点，求（1）自 P 发出的波在 R 点的振动与自 Q 发出的波在 R 点的振动的位相差；（2）R 点合振动的振幅。5-37 一弦的振动方程为 ，求0.2cos.16750(SI)yxt（1）合成此振动的两个分振动的振幅及波速为多少？（2）两个相邻节点间的距离为多大？（3）t=2.010 -3s 时，位于 x=5.0cm 处的质元的速度为多少？5-38 如图所示，一列振幅为 A、 频率为 平面简谐波，沿 x 轴正方向传播，BC 为波 密介质的反射面，波在 P 点反射。已知 ，34OP ，在6DP时，O 处质元经过平衡位置向负0t 方向
21、运动。求入射波与反射波在 D 点处叠加的合振 动方程。5-39 速度为 20 的火车 A 和速度也为 20 的火车 B 相向行驶，火车 A 以频率 msms = 500Hz 鸣汽笛，试就下列两种情况求火车 B 中乘客听到的声音的频率。 (设声速为 340)s(1) A、B 相遇之前；习题 5-38 图(2) A、B 相遇之后。5-40 一人造地球卫星发出 = 108Hz 的微波信号，卫星探测器在某一时刻检测到由地面站反射回的信号与卫星发出的信号产生了拍频 = 2400Hz 的拍，求此时卫星沿地面站方向的分速度。5-41 从远方某一星体发射的光谱，经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。经测定，地球上氢原子的 434nm 谱线与该星体上氢原子的 589nm 谱线属于同一谱线。试由此推断该星体是正在远离还是正在接近地球?它相对地球的运动速度是多大?
