1、1,第一章 振动 第二章 波动 习题,2,振动,1. 掌握简谐振动的基本特征（运动学、动力学和能量特征），掌握描述简谐振动各物理量的物理意义及其相互关系。,2. 会根据简谐振动的特征判断物体是否作简谐振动，并能建立其运动方程（微分方程）。,3. 掌握用解析法，旋转矢量法或所给的振动图线描述简谐振动，并根据所给条件建立振动表达式。,4. 掌握两个同频率同方向简谐振动的合成规律，了解两个相互垂直的同频率简谐振动的合成。,了解阻尼振动、受迫振动和共振现象。,3,波动,1. 理解机械波产生的条件，掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。掌握根据已知振动条件或已知波形的振动曲线建立平面简谐波的运
2、动学表达式。,2. 理解波的能量特征及能流、能流密度等概念。,3. 了解波动微分方程建立的方法及其意义。,4. 理解惠更斯原理和波的叠加原理，掌握波的相干条件，掌握相干波叠加后振幅加强或减弱对应的相位差（或波程差）的条件。,5. 理解驻波的概念及其形成条件，了解驻波的特点，它与行波的区别，能确定波腹和波节的位置。,6. 了解多普勒效应及其产生原因。,4,例 1-1. 一质点沿 X 轴做谐振动，振动方程为,从 t=0 时刻起，到质点位置在 x = -2cm 处，且向 X 轴正方向 运动的最短时间间隔为,(A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s,解法（1）:
3、解析法.,将 x = -2 cm 代入振动方程，得,考虑到振子此时向 X 轴正方向运动，v 0 , 故取,5,解法（2）：旋转矢量法.,p,Q,且向轴正方向运动时，转过的角度,6,例 1-2. 在竖直面内半径为 R 的一段光滑圆弧轨道上，放一 小物体，使其静止于轨道的最低处，然后轻碰一下此物体，使 其沿圆弧轨道来回做小幅度运动，试证：（1）此物体做简谐振动；（2）此简谐振动的周期,解: （1）当小物体偏离圆弧轨道最低点角时，切向力为,由牛顿第二定律,故物体作简谐振动。,（2）,7,例 1-3. 一劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为 m 的物体，
4、则振动系统的频率为,解: 设每一等分弹簧的劲度系数为 k0 ，,因此由弹簧串联关系，有,两个同样的弹簧并联，有,振动频率为,答案：( B),8,例 1-4. 在长为 L 的细杆的两端各固定一个同样的重物，绕水平轴作简谐振动，此轴距上端为 d ，如不计杆的重量，求此摆的周期及折合摆长（与其同周期的单摆的摆长）。,解 设重物质量为 m ，合外力矩为,周期,等效摆长,由转动定律,9,例 1-5. 倾角为的固定斜面上放一质量为 m 的物体，用细绳跨过滑轮把物体与一弹簧相连接，弹簧另一端与地面固定。 弹簧的劲度系数为 k ，滑轮可视为半径为 R ,质量为 M 的匀质圆盘。设绳与滑轮间不打滑，物体与斜面间
5、以及滑轮转轴处摩擦不计。（1） 求证物体 m 的运动是简谐振动；（2）在弹簧不伸长，绳子也不松弛的情况下，使 m 由静止释放，并以此时为计时起点，求 m 的振动方程。（沿斜面向下为 x 轴正方向）,（1）证明 : 平衡时，弹簧伸长x ,有,以平衡位置处为 x 轴原点，运动中任意时刻有：,对物体 m ：,10,对滑轮 :,由线量角量关系, 有,解 (1),(2),(3),(4) 式，得,故物体 m 的运动是简谐振动。,在弹簧不伸长，绳子也不松弛的情况下，使 m 由静止释放，并以此时为计时起点初始条件： t = 0 时,因此,振动方程为,11,例1-6： 劲度系数为 k 的轻弹簧，上端与质量为 m
6、 的平板相连，下端与地面相连。今有一质量也为 m 的物体由平板上方高 h 处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期，振幅和初相。,解:,木块下落与木板碰撞，动量守恒：,以2m 的平衡位置为坐标原点O：,周期,振幅,由,得,12,例1-7：图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为 k ，物体质量为 , 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力，试证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。,解：,在平衡状态时：,在任意位置 x 时：,13,1-8. 一弹簧振子，弹簧的劲度系数 k=25 Nm-1, 当物体以
7、初动能 0.2J 和初势能 0.6J 振动时，求：（1）振幅； （2）位移多大时势能和动能相等？（3）位移是振幅的一半时，势能多大？,解：,（1）求振幅:,（2）求势能和动能相等时的位移:,若,则有,14,相位,此时位移,（3）求位移是振幅一半时的势能:,当,时,势能,得,15,1- 9. 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式为,求合振动的振幅和初相。,解：,两振动位相差,合振动,合振动振幅,合振动初相,当两个分振动的位相差为 时，合振动的位相与振幅大的振动位相相同，合振动振幅等于两分振动振幅之差。,16,例2-1：,（1）波的干涉，其相干条件是什么？ 什么时候相干加强，什么时候
8、相干减弱？,（2）驻波 ，驻波的特点 ？驻波与行波的区别？,（3）半波损失，何时产生？,17,例2-2. 一波长为 的平面简谐波，已知 A 点的振动方程为y=Acos(t+)，试求在图中四种坐标选择情况下此简谐 波的表达式。,解：,（1）,（2）,（3）,（4）,18,例2-3. 图示为 t=0 时刻的波形，求：（1）原点的振动方程；（2）波动方程；（3）p 点的振动方程；（4）a,b 两点的运动方向。,解：（1）由图知,设原点振动方程为,由,19,（2）波动方程,（3） p 点与 O 点相距一个波长，p点振动与 O 点相同,相位落后2：,（4） a 向 y 轴负方向，b 向 y 轴正方向。,
9、y(m),0.2,p,0.04,o,x(m),y(m),a,b,u=0.08m/s,20,例2-4: 一列沿 x 轴正方向传播的简谐波在 t1=0 和t2=0.25s 时的波形如图所示，求：（1） p点的振动方程； （2）波动方程；（3）画出原点 O 的振动曲线。,0.2,y(m),x(m),0.3,0.6,p,t1=0,t2=0.25,解：,（1）求 p 点的振动方程, 振幅 A=0.2(m), t=0 时 p 点位移和速度, 波长=0.6m , 经 0.25s 波形移动了/4， 波速为,频率,O,21,故 p 点振动方程,（2）波动方程为,（3） 原点 O 的振动曲线,将 x=0 代入波动
10、方程,22,例2-5: 如图所示，波源位于 O 处，由波源向左右两边发出振幅为 A，角频率为 ，波速为 u 的简谐波。若波密介质的反射面 BB与点 O 的距离为 d=5/4, 试讨论合成波的性质。,解：设 O 为坐标原点，向右为正方向。,自 O 点向右的波：,自 O 点向左的波：,p点处入射波引起的振动：,波源的振动方程：,p 点反射波 的振动（有半波损失， 即有 相位的突变）：,23,反射波的波函数,在,合成波为,在此区域内合成波为驻波,在x0的区域合成波为,O点两侧波的叠加情况是不同的，左边由于入射波与反射波同频率，同振幅，传播方向相反，形成驻波。右边入射波与反射波传播方向相同，叠加后形成
11、振幅增大的行波。,自 O 点向右的波：,自 O 点向左的波：,24,例 2-6 . 如图，一圆频率为，振幅为 A 的平面简谐波沿 x 轴 正方向传播，设在 t = 0 时刻波在原点 O 处引起的振动使媒质元 由平衡位置向 y 轴负方向运动。 M 是垂直于 x 轴的波密媒质反 射面。已知 OO= 7/ 4 , PO= /4 ,（为该波波长）；设 反射波不衰减，求（1）入射波和反射波的波动方程；（2）P 点的振动方程。,解：（1）,O 点的振动方程为,入射波的波动方程为,入射波在 O 点处的振动方程：,25,反射波在 O 点处的振动方程：,反射波的波动方程：,入射波的波动方程为,（2）求 P 点的
12、振动方程：,驻波方程为,将 P 点坐标,代入得该点的振动方程：,26,例 2-7. 横波以速度 u 沿 x 轴负方向传播， t 时刻波形曲线 如图，则该时刻,(A) A 点振动速度大于零。 (B) B 点静止不动。 (C) C 点向下运动。 (D) D点振动速度小于零。,答案：(D),27,例 2-8. 在截面积为 S 的圆管中，有一列平面简谐波在传播， 其波的表达式为 y=Acos( t - 2x / ), 管中波的平均能量密 度是 w , 求通过截面 S 的平均能流.,解：,平均能流,而,例 2-9 . 一球面波在各向同性均匀介质中传播，已知波源的功率为 100 W，若介质不吸收能量，则距波源 10m 处的波的平均能流密度为,解：,平均能流密度为,28,例2-10 ： 一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的各向同性介质，求波的强度和振幅与离波源距离的关系。,解：,柱面 s1 平均能流,柱面 s2 平均能流,由,波强之比,振幅之比,得,
