1、振 动 习 题,15-1 质量为10g的小球与轻弹簧组成的 系统，按,的规律而振动，式中t以s为单位,试求:(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、 速度及加速度的最大值;(2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多 少?(3)分别画出位移、速度、加速度与时间 的关系曲线。,返回,结束,解：,返回,at,vt,xt,返回,结束,15-2 有一个和轻弹簧相联的小球， 沿x 轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若t =0 时，球的运动状态为:(1)x0=-A; (2)过平衡位置向x 正方向运动;(3)过x=A/2处向 x 负方向运动;,试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写,出振动表式。
2、,返回,结束,返回,结束,15-3 一质量为10g的物体作简谐振动， 其振幅为24cm，周期为4.0s，当t =0时， 位移为+24cm。求: (1) t =0.5s时，物体所在位置; (2) t =0.5s时，物体所受力的大小与方向; (3)由起始位量运动x = l2cm处所需的最少时间; (4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及 系统的势能和总能量。,返回,结束,振动方程为：,返回,结束,= -0.41910- 3 N,返回,结束,=-0.326m/s,=5.3110- 4 J,=1.7710- 4 J,返回,结束,15-4 一物体放在水平木板上，此板沿 水平方向作简谐振动，频率为2H
3、z，物体与 板面间的静摩擦系数为050。问:(1)要使物体在板上不致滑动，振幅的最 大值为若干?(2)若令此板改作竖直方向的简谐振动， 振幅为0.05m，要使物体一直保持与板接触 的最大频率是多少?,返回,结束,(1)为使物体和板不发生相对滑动，由最 大静摩擦力带动物体和板一起振动,所以有：,返回,结束,为使物体不脱离板必须满足,(2)物体作垂直振动时有：,返回,结束,15-5 在一平板上放质量为m =1.0kg的 物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周 期为T =O.5s，振幅A=O.O2m。试求:(1)在位移最大时物体对平板的工压力；(2)平板应以多大振幅作振动才能使重物 开始跳离平板。,
4、返回,结束,=1.0(9.8+3.16),(1)当物体向上有最大位移时有：,=12.96N,=6.64N,当物体向下有最大位移时有：,返回,结束,(2)当物体向上脱离平板时有：,返回,结束,15-6 图示的提升运输设备，重物的质 量为1.51O4kg，当重物以速度v = l5 m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝 绳突然被轧住。此时， 钢丝绳相当于劲度系 数 k = 5.781O6 N/m 的弹簧。求因重物的 振动而引起钢丝绳内 的最大张力。,返回,结束,=2.21105 N,t =0：,解：取物体突然停止时的位置作为坐 标的原点（物体的静平衡位置），并以此 时刻作为计时零点。,返回,结束
5、,15-7 一落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻 杆与半径为 r 的匀质圆盘组成，如图所示， 如摆动的周期为1s，则 r 与 l 间 的 关系如 何?,返回,结束,解：,返回,结束,可得 r 与 l 的关系式：,比较上两式得到：,返回,15-8 如图所示，两轮的轴互相平行，相 距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为 m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的 摩擦系数均为m ，当木板偏离对称位置后， 它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期 是多少?,返回,结束,解：,从上述四式解得：,返回,结束,返回,结束,15-9 如图所示，轻质弹簧的一端固定， 另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量 为m的
6、物体，绳在轮上不打滑，使物体上下 自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半 径为R 转动惯量为J。(1)证明物体作简谐振动;(2)求物体的振动周期；(3)设t = 0时，弹 簧无伸缩，物体也无 初速，写出物体的振 动表式。,返回,结束,解：,在静平衡时有：,返回,结束,取静平衡位置为坐标原点,在任意位置时有：,返回,结束,由初始条件：,振动方程为：,返回,结束,15-10 如图所示，绝热容器上端有一截面积 为S 的玻璃管，管内放有 一质量为m 的光滑小球 作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p 的某种 气体，设大气压强为p0 。开始时将小球稍向下移， 后放手，则小球将上下振动。如 果 测出小球
7、作简 谐振动时的周期 T，就可以测定气体的比热容比热 容比。试证明 ：,(假定小球在振动过程中， 容器内气体进行的过程可看 作准静态绝热过程),返回,结束,解：在静平衡时：,当小球下降 x (任意位置)时：,由上两式可得到：,设过程是绝热的，所以：,返回,结束,返回,结束,前面已得到：,返回,结束,15-11 1660年玻意耳把一段封闭的气 柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧”如图所 示，有一截面积为S 的空心管柱，配有质量 为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。 在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为 p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活 塞将作上下振动，求系 统的固有角频率。可利用这空气
8、弹簧 作为消振器。,返回,结束,解：在静平衡时：,当活塞下降 x (任意位置)时：,设过程是等温的,由上两式得到：,返回,结束,返回,结束,15-12 设想沿地球直径凿一隧道，并设 地球为密度=5.5l03kg/m3的均匀球体。 试证:(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作 简谐振动；(2)物体由地球表面落至地心的时间为,(提示，物体在地球内部所受引力的计算， 与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似),返回,结束,解：由万有引力定律：,和静电场类似，引入万有引力场场强 K,和静电场类似，引入引力场的高斯定理,在地球内部作一半径为 r 的高斯面,得到该处的场强：,返回,结束,=1267s,返回,
9、结束,15-13 一半径为R的光滑圆环以恒定 的角速度绕其竖直的直径旋转，圆环上套 有一小珠。试求在R2g的情形下，(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆 心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);(2)小珠在平衡位置 附近作小振动的角频 率。,返回,结束,解：(1)在平衡位置时,(2)当小球偏离平衡位置时,小球除了受正压力N，重力作用mg 外，,还受到一惯性力作用,返回,结束,将这两式代入上式可得：,返回,结束,返回,结束,15-14 一长为 l 质量为m的均匀细棒， 用两根长为L的细线分别拴在棒的两端，把 棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴oo 作小角度的摆动，试测定其振动周期。,返回,结
10、束,解：当棒偏转一个角度j 时,返回,结束,返回,结束,15-15 一质量为M的盘子系于竖直悬 挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为 k 现有 一质量为m的物体自离盘 h 高处自由落下掉 在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时 作为计时起点，求盘子 的振动表式。(取物体 掉在盘子后的平衡位置 为坐标原点，位移以 向下为正，),返回,结束,解：设盘子挂在弹簧下的静平衡位置为x01,当物体落入盘上后新的平衡位置为x02,系统将以此平衡位置,振动的圆频率为：,为中心进行振动。,返回,设碰撞时刻(t=0)盘的位,碰撞是完全弹性的，所以：,得：,置为x0,返回,结束,返回,结束,返回,结束,15-16 一个
11、水平面上的弹簧振子，弹簧 的劲度系数为k，所系物体的质量为M，振幅 为A。有一质量为m的小物体从高度h处自由 下落。当振子在最大位移处，物体正好落在 M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、 振幅和振动能量有何 变化？如果小物体是 在振子到达平衡位置 时落在M上，这些量 又怎样变化?,返回,结束,解：,当物体m落下时,当物体m落下后,系统的圆频率为：,系统的振动周期为：,振子的速度v1= 0,(1)弹簧振子的圆频率为：,返回,(2)当振子在平衡位置时m 落下,由动量守恒,系统的振,动能量为：,返回,结束,返回,结束,15-17 一单摆的摆长l =1m，摆球质量 m =0.01kg。开始时处在平衡
12、位置。(1)若给小球一个向右的水平冲量 I =210-3 kgm/s。设摆角向右为正。如以 刚打击后为t =0，求振 动的初相位及振幅；(2)若冲量是向左的， 则初相位为多少?,返回,结束,解：,由动量原理：,若冲量向左，则：,=3.660,返回,结束,15-18 一弹簧振子由劲度系数为k 的弹 簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶 板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗 质量为m、速度为v0的子弹由下而上射入物 块，并留在物块中。(1)求振子以后的振 动振幅与周期；(2)求物块从初始位 置运动到最高点所需的 时间。,返回,结束,解：在初始位置,(1),由动量守恒,振子的频率为：,得到：,返
13、回,结束,返回,结束,返回,结束,15-19 一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如弹簧的劲度系k =2.0N/m，所 系物体体的质量m =0.50kg。试求:(1)当动能和势能相等时，物体的位移 多少？(2)设t =0时，物体在正最大位移处，达 到动能和势能相等处所需的时间是多少？(在一个周期内。),返回,结束,解：设谐振动方程为：,A=0.2m,返回,结束,t =0.39s,1.2s,2s,2.7s,=0.141m,返回,结束,15-20 一水平放置的弹簧振子，已知物 体经过平衡位置向右运动时速度v =1.0m/s， 周期T =1.0s。求再经过1/3 s时间，物体的 动能是原来的多
14、少倍。弹簧的质量不记。,返回,结束,解：经平衡位置向正方向运动时，最大动能为,返回,结束,15-21 在粗糙的水平面上有一弹簧振子， 已知物体的质量m=1.0kg，弹簧的劲度系数 k=100N/m，摩擦系数m 满足mg =2m/s2， 今把物体拉伸l =0.07m然后释放，由静止 开始运动如图所示。求物体到达最左端B点所 需的时间。,返回,结束,解：,AB 应用功能原理,返回,结束,=0.03m,返回,结束,AC 应用功能原理,返回,结束,令：,返回,结束,返回,结束,返回,结束,l =0.07,b =0.03,=0.314s,返回,结束,15-22 质量为m =5.88kg的物体，挂 在弹簧
15、上，让它在竖直方向上作自由振动。 在无阻尼情况下，其振动周期为T =0.4s； 在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中， 它的振动周期为T=0.5s；求当速度为0.01 m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。,返回,结束,=3.53(kg.s-1),=235.88,=3(s-1 ),F = r v,=3.51.010-2 = 0.353N,解：,返回,结束,15-23 一摆在空中振动，某时刻，振 幅为 A0= 0.03m，经过t1=10s后，振幅变 为 A1=0.01m，问:由振幅为 A0时起，经多 长时间，其振幅减为 A2=0.003m ？,返回,结束,=20.9(s),=0.110,解：,
16、返回,结束,15-24 试用最简单的方法求出下列两组 简谐振动合成后所得合振动的振幅：,第一组：,第二组：,返回,结束,A = A1+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m),A = A1-A2= 0,解：,返回,结束,15-25 一质点同时参与两个在同一直线 上的简谐振动:,试求其合振动的振幅和初相位(式中x以m 计, t 以s计) 。,返回,结束,=0.01m,解：,返回,结束,15-26 有两个同方向的简谐振动，它们 的表式如下：,(1)求它们合成振动的振幅和初相位；,问0为何值时x1+x3的振幅为最大；,(2)若另有一振动,0为何值时x2+x3的振幅为最小。,(式中 x 以 m
17、计; t 以 s计),返回,结束,=0.078m,解： (1),= 84048,返回,结束,(2),返回,结束,15-27 两个同方向的简谐振动，周期相 同，振幅为A1=0.05m， A2=0.07m，组成 一个振幅为A=0.09m的简谐振动。求两个分 振动的相位差。,返回,结束,解：,返回,结束,15-28 当两个同方向的简谐振动合成为 一个振动时，其振动表式为：,式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合,x =Acos2.1t cos50.0t,振动的拍的周期。,返回,结束,x =Acos2.1t cos50.0t,=1.5(s),解：,两式比较得：,拍频为：,返回,结束,15-29 三个
18、同方向、同频率的谐振动为,试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。,返回,结束,返回,结束,15-30 一质点同时参与两个互相垂直的 简谐振动，其表式分别为:,若0 =/4,试用消去法求出合振动的轨,迹方程，并判断这是一条什么曲线。,返回,结束,解：,返回,结束,由式(1)、(1)得：,返回,结束,15-31 质量为0.1kg的质点同时参与互 相垂直的两个振动，其振动表式分别为：,求: (1)质点的运动轨迹;,(2)质点在任一位置所受的作用力。,返回,结束,解：(1),两振动方程改写为：,返回,返回,结束,15-32 一质点同时作两个相互垂直的振 动。设 此 两 振动的振幅相同，频率之比为2：3，
19、初相都为零，求该质点的运动轨。,返回,结束,返回,结束,15-33 设一质点的位移可用两个简谐振 动的叠加来表示:,(1)写出这质点的速度和加速度表式；(2)这质点的运动是不是简谐振动?(3)画出其 x t 图线。,返回,结束,解：,返回,结束,15-34 把一个电感器接在一个电容器 上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。 我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度而 作线性变化，如果旋钮旋转1800角，振荡频 率就自2.0105Hz变到4.0105Hz ，若L=1.010-3H，试绘出在转角1800的范围内， 电容C与角度的函数曲线。,返回,结束,L =1.010-3H,解：,返回,结束,15-
20、35 如图所示，将开关K揿下后，电 容器即由电池充电，放手后，电容器即经由 线圈L 放电。(1)若L=0.010H，C =1.0mF, =1.4V， 求L中的最大电流(电阻极小，可略);(2)当分布在电容和电感间的能量相等时， 电容器上的电荷为多少?(3)从放电开始到电荷 第一次为上述数值时， 经过了多少时间?,返回,结束,=100(),=1.410-2 ( A ),解：(1),(2)当磁场能量和电场能量相等时：,返回,结束,由前面得到,=1.010-6 (C),返回,结束,(n=0,1,2,),=7.510-5 (s),最少时间为：,返回,结束,15-36 图中16mF的电容器已被充电至 l
21、00V，而1mF的电容器未被充电，试具体地 说明如何适当应用开关K1，及K2，将1mF电 容器充电至400V。,返回,结束,=0.02(s),=0.005(s),解：首先将K1闭合1/4周期,经过T/4后C1上电量全部放完变为电感线,然后迅速闭合K2同时打开K1 ，待K2闭合,L上的磁场能量又转换为C2上的电场能量,圈内的磁场能量,1/4周期,返回,L上的磁场能量又转换为C2上的电场能量,=400(V),返回,结束,15-37 由一个电容C =4.0mF 的电容器 和一个自感为L=10mH的线圈组成的LC电 路，当电容器上电荷的最大值Q 0= 6.010-5 C时开始作无阻尼自由振荡。试求：(1)电场能量和磁场能量的最大值;(2)当电场能量和磁场能量相等时，电容 器上的电荷量。,返回,结束,=4.510- 4 (J),解：,返回,结束,返回,结束,
