1、第四章 振动,1. 简谐振动 物理量随时间按余弦(或正弦)规律变化,则称该物理量在作简谐振动,简谐振动的三个特征量,振幅 A：物理量变化的最大范围 圆频率 ：2时间内振动的次数(rad/s) 初相角 ：初始时刻(t=0)的相位,一、简谐振动,特征值的确定,由初始条件确定振幅和初相,2.谐振动,这里：角频率 为系统的固有频率； A和由初始条件确定。,弹簧振子 由一根质量可忽略不计、劲度系数为k 的轻弹簧和质量为m 的重物组成。选择物体静止时的 位置为原点(平衡位置)，忽略阻力。 物体受到恢复力：F = - kx 谐振动方程为：,方程的解为：,3.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),振动动能,振
2、动势能,随着振动，系统的动能、势能各自都是随时间变 化，且交替变化(一个最大时另一个最小)，但总能 量保持不变。,二、阻尼振动,能量有损失的振动。由于振动系统克服 阻力做功而不断消耗能量，因此振幅不断减 小 ，所以阻尼振动又被称为减幅振动。,三、受迫振动,在外来策动力(周期性的外力)作用下的振动,周期性策动力 f =F0cost,A与与初始条件无关， 只与系统的性质和外 界条件有关。,共振(resonance):,当策动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动速度的振幅 A 达到极大值的现象称为速度共振。 速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总做正功，此时向系统输入的能量最大。,四、振动
3、的合成,同方向同频率的简谐振动的合成,合振动是简谐振动, 其频率仍为,同方向不同频率的简谐振动的合成,当两分振动的圆频率间有公倍数时：,合振动是 周期函数,当 2 1时 2- 1 2+ 1,这样的两个简谐函数之和称为拍。这时合矢量在X轴上投影的变化就和简谐函数的变化有点相似，即投影的变化可看成是振幅在缓慢变化的“简谐振动”。,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数, 拍=|2-1|=,垂直方向同频率简谐振动的合成,振动练习题,1.一质点沿X轴作谐振动，平衡位置为X轴的原点，已知周期 为T，振幅为A，则 (1)若t=0时质点在x=0处且向X轴正方向运动，则振动方程为：(2) 若t=0质点在x=A/2
4、处且向X轴负方向运动，则振动方程为：,2. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅和周期相同。第 一个质点的振动方程为 x1 = Acos ( t+) ，当第一个质点从相对平衡位置的负位移处回到平衡位置时，第二个质点正在正的最大位 移处，则第二个质点的振动方程为,x2 = Acos ( t+/2),3.,4.,5.劲度系数为100N/m的轻弹簧和质量为10g的小球组成弹簧 振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm ，由静止释放任其摆 动；第二次将球拉离平衡位置2cm 并给以2m/s的初速度任其 摆动。两次振动的能量之比为( ),6.一弹簧振子竖起挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振动 频率为0 ,现使电
5、梯以加速度a 向上作匀速运动，则其简谐振 动的频率将如何变化？(填不变、变大、变小、变大变小都有 可能),7.一单摆挂在电梯顶上，当电梯静止时，单摆的谐振动周期 为T0 ，现使电梯向下作匀加速运动，则单摆周期将如何变化？ (变大、变小、不变),8.一竖起悬挂的弹簧振子系统如图所示。今将物体下拉使弹簧 伸长为2mg/k，然后由静止释放，要使振子的动能达到 m2g2/k, 至少需要经历的时间t=?s.,所求振子的势能：,9.弹簧下悬一质量为10g的小球时，其伸长量为4.9cm.将小球从平衡位置向下拉1cm后，再给它向上的初速度5cm/s. 。求小球的振动周期和任意时刻的振移和速度.,10.在平板上
6、放一质量为1kg的物体。平板沿铅直方向作简谐振动，振幅为2cm,周期为0.5s,(1)平板位于最高点时，物体对平板的压力是多大?(2)平板应以多大的振幅振动时，才能使重物跳离平板？,解1.,最高点,取平板位于最高处为计时开始，建立如图坐标系,2.任意时刻,物脱离板,11. 已知 k、M、m、h, 求（1）T，（2）A，（3）取平衡点为原点，位移向下为正，并以开始振动为计时开始，求振动表达式。,过程：,自由下落碰撞共同下落振动,解：,12.水平振子A = 2.010-2m，T=0.5s。t =0 时（1）物体经x = 1.0 10-2m 处，向X轴负方向运动（2）物体经x= - 1.0 10-2
7、m处，向X轴正方向运动分别写出其振动表达式,（1）,A1,（2）,A2,13.一质量为10g的物体作谐振动，A = 24cm，T = 4s，t =0 x = 24cm，求t = 0.5s时，物体所在的位置和物体所受的力。,t =0.5 =（1/8）T,t=0.5,解：,14. m =10kg，k = 700N/m， = 40Ns/m F0 = 100N，=10rad/s 求（1）稳态时的速度（2）简谐力的角频率为多大时产生共振？共振时速度的振幅多大？,解（1）稳态时振动频率为简谐力的频率,（2）共振,15.一弹簧振子在真空中和在某流体中振动的周期分别为T0和T1，在该流体中能使振子产生振幅共振
8、的周期为T，则三者之间的关系?,真空中谐振动,流体中阻尼振动,受迫振动,当： 时产生振幅共振，此时,16.弹簧振子在光滑水平面上作谐振动，弹性力在半个周期内所作的功为,17.当质点作谐振动时，它们的动能和势能随时间作周期性变化，质点振动规律用余弦函数表示，若 f 为质点的振动频率，则其动能的变化频率为 1. f 2. 2f 3. 4f 4. f/2 5. f/4,18.一弹簧振子（ k, m ) , 其周期 T1 ，若将弹簧截去一半的长度，质量减小为原来的一半，则其振动周期T2为 1. 2 T1 2. T1 3. T1/2 4. T1/,19.谐振子作稳态受迫振动时 1.振动的频率与策动力的频率一致。 2.振幅及振移与策动力的相位差，由初始条件决定。3.策动力的频率与系统的固有频率相同时，其速度的振幅最大。 4.策动力的频率与系统的固有频率相同时，其振移的振幅最大。,
