1、大学物理习题详解振动与波动部分106第十二章 机械振动简谐振动121 一倔强系数为 k 的轻弹簧，下端挂一质量为 m 的物体，系统的振动周期为，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为 m 的物体,则系统振动周期 等T 122T于（A）2 ；（B） ；（C） /2；（D ） / ；（ E） /4 11T11T1答：（C）分析：一根弹簧，弹性系数为 ，把它截短以后， 不是减小了，而是增大了。弹kk簧的弹力大小取决于弹簧的形变，在伸长相同的长度 x 的情况下，弹簧越短，其变形越大，弹力 f 也越大。而胡克定律为： ，即 ，因此弹簧变短后弹ff性系数 增大。k，弹簧截去一半的长度，倔强系数变为 ，下
2、端挂一质量12mT 2k为 m 的物体，则系统振动周期 为： 22T2 1/12mT122 图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移 x，速度 v 和加速度 a，下列说法中那一个是正确的？（A）曲线 3、1、2 分别表示 x、 v、 a 曲线；（B）曲线 2、1、3 分别表示 x、 v、 a 曲线；（C）曲线 1、3、2 分别表示 x、 v、 a 曲线；（D）曲线 2、3、1 分别表示 x、 v、 a 曲线；（E）曲线 1、2、3 分别表示 x、 v、 a 曲线第 12. 3题 图 00v 0v 0v (c) (a) (b) 1tx v a03 2大学物理习题详解振动与波动部分107答：（
3、E）分析：位移 x 与加速度 a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线 1、3 反相，曲线2 是速度 v 曲线；另外，速度比位移的位相超前 ，加速度比速度的位相超前 ，从图上看曲22线 3 比 2 超前了 ，3 是加速度曲线；曲线 2 比 1 超前了 ，1 是位移曲线123 在 t=0 时，周期为 T、振幅为 A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为 x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1） ；（2） ；（3） 答：（1）X= Acos ( ) （2）X=Acos ( + ) （3）X=Acos tT2tT2( + )t
4、T2分析：关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便： x x x （ a） = - /2 （ b） = /2 （ c） = 124 设振动周期为 T，则 a 和 b 处两振动的时间差 _。tAx2toab第 12. 2 题图大学物理习题详解振动与波动部分108答： 16T分析：作如图两点振动的旋转矢量，可知 ， 。 33126tT125 有一个和轻弹簧相联的小球，沿 x 轴作振幅为 A 的谐振动，其表达式用余弦函数表达若 t=0 时，球的运动状态为（1） = A；0x（2）过平衡位置向 X 正方向运动；（3）过 x= 处向 X 负方向运动；2（4）过 x= 处向 X 正方向运动；A试用矢量图示法确
5、定各相应的初位相的值解：126 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程解：设振动方程为 0cos()xAt图中 A=10 cm由 t=0 时， ，并向反方向运5动，作旋转矢量图 第 12. 6题 图 x(cm) 10-100-5 2 t (s) 大学物理习题详解振动与波动部分109023由 t=2 时， ，并向正方向运动，作旋转矢量图x0512cmcos()3xt12 7 一弹簧振子沿 X 轴作谐振动，已知振动物体最大位移为 =0.4 m 时，最大x恢复力为 =0.8 N，最大速度为 =0.8 m/s，又知 t=0 的初位移为+0.2 mFmvm且初速度与所选 X 轴方向相反（1）求此振动的数
6、值表达式 （2）求振动能量解：（1）A = = 0.4 m x= A = mv24.08v由旋转矢量图知 = 3 振动的数值表达式为：x =A cos ( t + ) = 0.4 cos (2t + )(2) = k k = = =2 N.mFmxF4.081振动能量 E = k = 0.16 J212mxA x(m)0.2-5 t=0 t=2 大学物理习题详解振动与波动部分110振动的合成128 图中所画的是两个谐振动的振动曲线，若这两个谐振动是可叠加的，则合成的余弦振动的初位相为（A）/2；（B）；（C）3/2；（D）0 答：（B）分析：两振动反相，分别作出两振动的旋转矢量图，矢量合为合振
7、动矢量。合振动的振幅为 A/2，位相为振幅大的振动的位相。129 一质点同时参与三个同方向、同频率的谐振动，它们的方程分别为：t； =Acos(t+ )； =Acos(t+ )cos1x2x3x32则合振动振幅和初位相为（A）3A， ；（B ）A ， 0 ； （C）2A， /3 ； （D）2A ， 答：（C）分析：分别画出三个振动在 t=0 时的矢量，如图所示。三个矢量的矢量和为合振动在 t=0 时的矢量。而振动 1 和振动 3 的矢量和等于振动 2 的矢量。1210 一系统作谐振动，周期为 T，以余弦函数表达振动时，初位相为零，在0tT /2 范围内，系统在 t= 、 时刻动能和势能相等答：
8、 ； 83分析：振动动能和势能相等x 第 12. 8题 图 1x 2x x A/2 - 0 t x 0 x 2/A/大学物理习题详解振动与波动部分11121kpEkA221xx，所以 13,4tT13,8tT1211 两个同方向的谐振动曲线如图所示，合振动的振幅为 ，合振动的振动方程为 答： ； 21Ax = cos 1()2(tT分析：两振动反相，合振动的振幅为两振幅差的绝对值，位相为振幅大的振动的位相。1212 两个同方向、同频率、振幅均为 A 的谐振动，合成后振幅仍为 A，则这两个分振动的位相差为 答： 。 32分析： ， 22cosAA， 1cos3或者直接从矢量图得出。1213 两个
9、物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动在振动过程中，每当第一个物体经过位移为 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，2/A但向远离平衡位置的方向运动。利用旋转矢量法求得它们的相位差为_。答： 21A 2 )(1tx )(2t x t T 第 12. 题 图 2/A 物 体 1 物 体 2 大学物理习题详解振动与波动部分112分析：依题意画出旋转矢量图 由图可知两简谐振动的位相差为 21214 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动= 4cos (2 t + ) = 3cos (2 t )1x62x65其合振动的振幅为_，初位相为_。 （其中 x以 cm 计，t 以秒计） 答：1cm
10、 6分析：= 与 位相相反)5(1x2合振幅 A = = 1 cm21位相与原振幅较大的分振动位相相同，即： = = 161215 两个同方向的简谐振动方程分别为= 4 cos 2( t + ) （SI） 及 = 3 cos 2( t + ) （SI）1x0812x04求合振动方程解： 4 m = 1A2143 m = 202A = = 6.48 m)cos(1121 A20tg = = 2.06 = 1.12 rad21cosini合振动 x = = A cos (t +) = 6.48 cos (2t + 1.12) m2210大学物理习题详解振动与波动部分113第十三章 机械波机械波13
11、1 一简谐波沿 X 轴正向传播，t=T/4 时的波形曲线如图所示，若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取 到 之间的值，则（A） 0 点的初位相为 =0；0（B） 1 点的初位相为 = /2；1（C） 2 点的初位相为 = ；2（D） 3 点的初位相为 = /23答：（D） x 01234u y t =0时 波 形 y0132分析：初位相为 t=0 时的位相，因此先画出 t=0 时的波形图。各点的旋转矢量如图所示，可见 0、1、2、3 点的位相依次落后 /2 。而 3 点的位移为 0，向正方向运动（或速度大于 0） ，所以初位相为 = /2.3132 图示为一简谐波在 t=0 时刻的波形
12、图，波速 u=200m/s，则图中 O 点的振动加速度的表达式为（A）a=0.4 cos (t/2 ) （SI） ；2（B）a=0.4 cos (t3/2 ) （SI） ；（C）a=0.4 cos (2t) （SI） ；2（D）a=0.4 cos (2t+ /2) （SI） 第 13. 题 图 x 01234u y 第 13. 2题 图 0.1 Y(m) X(m) 10 20 u P O 大学物理习题详解振动与波动部分114答：（D） 分析：从图上可看出，O 点振动的振幅为 0.1m；初位移为 0，向负方向运动，画出旋转矢量图得初位相 = /2 ； 波长 ，波速 u=200m/s，得到周期 2
13、0m；1sTu2所以得到 O 点的振动方程为,0.cos2oytO 点的振动加速度的表达式为.22d.14cosoatt 133 已知波源的振动周期为 4.00 s，波的传播速度为 300 m 波沿 X 轴210 1s正方向传播，则位于 =10.0 m 和 =16.0 m 的两质点的振动位相差为1x2x_答： （或 ）.分析： T = 4.00 s， u = 300 m ，波长2101s12 uT位于 =10.0 m 和 =16.0 m 的两质点的振动位相差为x2x.21602x134 图示为一平面简谐波在 t=2s 时刻的波形图，波的振幅为 0.2m，周期为 4s则图中 P 点处质点的振动方
14、程为答： 0.2cosPyt分析：初位相为 t=0 时的位相，因此先画出 t=0 时的波形图。在 t=0 时刻，即之前的波形如下图所示； P 点的初位移为零，振动方向向上，初速度大于零，T 第 13. 4题 图 传 播 方 向 Y(m) A 0 P X(m) y大学物理习题详解振动与波动部分115根据旋转矢量图得 ；P 点处质点的振动方程为2.0.2cos0.cos0.2cos4Ptty tT传 播 方 向 Y(m) A 0 P X(m) y135 如图所示，一平面简谐波沿 OX 轴的负方向传播，波速大小为 u，若 P 处介质质点的振动方程为 ，求cosPYAt（1）O 处质点的振动方程；（2
15、）该波的波动方程；（3）与 P 处质点振动状态相同的那些点的位置解：(1) O 比 P 点先振动 ，即超前 。 （注意 : 波沿 OX 轴的负方向传播）tLut 0coscosLyAtAtu（注：超前为正，落后为负。 ）(2) 波动方程 y = A cos ( t + + ) + = A cos ( t + ) + .uLxx(3) 思路一：与 P 处质点振动状态相同的那些点：即与 P 点距离为波长整数倍的那些点。= uT = u 2/ ， x = L k= L2k思路二： 与 P 点位相相差 2k 的那些点，( t + ) + = t + 2k，得 x = L2k .u136 图示一平面余弦
16、波在 t=0 时刻与 t=2 s (小于周期 T) 时刻的波形图，求第 13. 5题 图 X L P O大学物理习题详解振动与波动部分116（1）坐标原点处介质质点的振动方程；（2）该波的波动方程解：（1）画出原点的旋转矢量图，原点在 t = 0 时过平衡位置向正方向运动， 初位相 0 = ;2原点在 t = 2 时位移为 ，2向正方向运动，位相为 = 。4由于 ， 得： ， ;0t0t248所以，原点的振动方程为 .0coscos82yAtt（2）由题中图知 = 160 m, 波动方程为：.cos28160xyt波的能量、波的干涉137 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回
17、到平衡位置的过程中（A）它的势能转换成动能；（B）它的动能转换成势能；（C）它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；（D）它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元，其能量逐渐减少 答：（C） 分析：媒质质元在最大位移处，动能为零，势能也为零；媒质质元在平衡位置处，动能最大，势能也最大；Y(m) X(m) u t=0 t=2s 80 160 A 2第 13. 6题 图 x /4 t=0时 刻 t=2s时 刻 大学物理习题详解振动与波动部分117所以，从最大位移处回到平衡位置的过程中，动能、势能都在增大，要从相邻的一段媒质质元获得能量。138 在下面几种说法中，正确的说法是： (A) 波源不动
18、时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；(B) 波源振动的速度与波速相同 ； (C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后； (D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前 答：（C） 分析：(A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期相等，因为各点都在重复波源的振动；(B) 波源振动的速度为 ，即质点在平衡位置附件振动的速度。波速 u 0dyt=为相位的传播速度，波速由介质决定，与波源无关。(C) 正确，任一质点振动都比波源要晚，都是重复波源的行为，因此相位总是比波源的相位滞后。(D) 错误。139 一个点波源位于 O 点，以 O 为圆心作两个同心球
19、面，它们的半径分别为和 ，在两个球面上分别取相等的面积 和 ，则通过它们的平均能流之1R2 1S2比/ = 1p2答： 1分析： ，波的强度 I 与半径的关系为：122PIS，流过两个面的总能量相等。14IRI21.1310 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，波速 u = 100 m/s，t = 0 时刻的波形曲线如图所示可知波长 = _； 振幅 A = _；频率 = _ x (m) O 0.2 0.6 1.0 -. . y (m) 第 13. 0题 图 大学物理习题详解振动与波动部分118答：由图可知，波长 =0.8m；振幅 A =0.2m；频率 =u/Hz.1311 一声波在空气中的波长是
20、 0.25 m，传播速度是 340 m/s，当它进入另一介质时，波长变成了 0.37 m，它在该介质中传播速度为_ 答：503.2m/s分析：波从一种介质进入另一种介质时，传播频率不变；故波在介质中的传播速度为 .340.7=5.2/uu s1312 一平面简谐波，频率为 300 Hz，波速为 340 m/s，在截面面积为 3.00的管内空气中传播，若在 10 秒内通过截面的能量为 2.70 J，求210m 210（1）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度解：（1）通过截面的平均能流即单位时间通过截面的平均能量：= = 2.70 J. ;PWt3101s（2）平均
21、能流密度 I = = 9.00 J. ;22m（3）平均能量密度 J. .4.65wu31313 如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的 P 点相遇，频率 =100 Hz，振幅 = =1.00 m， 的位相比1A2201S的位相超前 /2，在媒质 1 中波速 = 400 m ，在媒质 2 中波速 = 2Su1s2u500 m ， = =4.00 m = =3.75 m，求 P 点的合振幅1s1r2SPr解：波源 在 P 点引起的振动的位相：= (t )+ 为波源 的振动初位相11ru101s同理对波源 有： = (t )+2s22ru20为波源 的振动初位相0的位
22、相比 的位相超前 /2 ，有 = 1S2201第 13. 题 图 2r P 1 2 1S 2S 1r 大学物理习题详解振动与波动部分119 = ( )= 2 ( )212012ru12ru1= 200( )= 0 57.34. A= .mA2211314 在均匀介质中，有两列余弦波沿 OX 轴传播，波动方程分别为 2(t x/)； 2(t + x/ )cos1Ycos2AY试求 O X 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置解：在任一点 x 处= 2( t ), = 2(t + );1x= = 22 = 4 ,1x振幅最大条件为： =2 k,4 =2 k x = k k=0、1、2;x振幅最
23、小条件为： =(2 k +1)4 =(2 k +1) x = (2 k +1) k=0、1、2.4大学物理习题详解振动与波动部分120驻波、多普勒效应1315 驻波上相邻两波节间距离及相邻两波节间各质点振动的位相为 （ 为产生驻波的相干波波长）（A） ，不同； （B） ，相同；（C）/2 ，相同； （D ）/2 ，不同 答：（C） 分析：驻波上相邻两波节间距离为 /2，相邻两波节间各质点振动的位相相同。1316 一平面简谐波沿 x 正方向传播，t 时刻波形如图所示，欲沿 x 轴形成驻波，且使 O 点为波节，则 t 时刻另一波的波形为答：（D） 分析：由驻波产生条件，两列波传播方向相反，可排除（
24、A）(C) 。要使 O 点为波节，要求两列波在 O 点振动方向相反，排除（ B） 。 Oy xu O y x u (A) O y x u （ B） O y x u (C) O y x u (D) 大学物理习题详解振动与波动部分1211317 （1）一列波长为 的平面简谐波沿 X 正方向传播，已知 x= 处振动的12方程为 Y=Acost，则该平面简谐波的方程为_（2）如果在上述波的波线上 x=L（L）处放一如图所示的反射面，且假1设反射波的振幅为 A，则反射波的方程为_（xL） 答：（1） = Acos (t x +)1y2（2） = cos (t + x )A4分析： （1）波向右传播，令
25、x0= ，x 点比 点位相落后 (xx 0) = (x )，所1222以向右传播的波动方程为：= Acos t (x ) 1y= Acos (t x +)（2）向右传播的波在反射面处（x=L ）的振动方程为：= Acos (t L +),1Ly2由于有半波损失，反射波在反射面处（x=L）的位相为：t L +振动方程为： = cos (t L ) ，振幅为 , 式中忽略位相中的 22LyA2A波向左传播，x 点比 x=L 点位相落后 (Lx)，所以向左传播的波动方程为：2= cos (t L (Lx) )， 2y第 13 7题 图 波 疏 媒 质 O X L 波 密 媒 质 反 射 面 波 疏
26、媒 质 O X L 波 密 媒 质 反 射 面 /2 x 大学物理习题详解振动与波动部分122即 = cos (t + x ).2yA2L41318 如果在固定端 x=0 处反射的反射波方程式是 =Acos2（ tx/） ，设反2Y射波无能量损失，那么入射波的方程式是=_；形成的驻波的表达式是1YY=_答： = Acos 2( t + ) +，y = 2A cos ( x + ) cos (2 t + )1yx22分析：反射波在原点的振动方程： =Acos 2t0Y固定端有半波损失，入射波在原点的振动方程： =Acos (2t +)10Y入射波的波动方程： = Acos 2( t + ) +；
27、1yxy = + = 2A cos ( x + ) cos (2 t + )121319 一列火车以 20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为 600 Hz，一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为_和_（设空气中声速为 340 m/s） 答：637.5 HZ 566.7 HZ分析：多普勒效应公式： ， 取值为：靠近为正，远离为负。RSu对于机车前静止观测者而言，波源以 = 20 m/s 的速度靠近观测者， 取正值，S Su观测到的频率为 ；340637.52RSuHzz对于机车后静止观测者而言，波源以 = 20 m/s 的速度远离观测者， 取负值，S Su观测到的频率为 .34
28、06572RSuzz1320 设入射波的方程式是 = Acos 2（t/T + x/）在 x=0 处发生反射，反射点1Y为一固定端，设反射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波大学物理习题详解振动与波动部分123的方程式；（3）波腹和波节的位置解：（1）入射波在 0 点的振动方程为 = Acos 2 ,10yTt反射点为一固定端，有半波损失，反射波在 0 点的振动方程为：= Acos（2 +),20yTt反射波的波动方程为 = Acos 2( )+;ytx（2）驻波方程为 y = + = 2A cos ( x ) cos（2 + );12Tt（3）波腹位置 cos ( x )
29、 = 1,x = k x =（2 k +1） 2 4k=0、1、2;波节位置 cos ( x ) = 0,x = k x = k 22k=0、1、2.1321 一弦上的驻波方程式为 Y=3.00 （cos1.6 x）cos550 t （SI）10（1）若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速（2）求相邻波节之间的距离（3）求 t=3.00 s 时，位于 X=0.625 m 处质点的振动速度310解：（1）2A = 3.00 m A =1.50 m2210= 550 T= s = 1.6 = 1.25 m75波速 u = = 343.8 m. ；1（2）相邻波节距离 L = = 0.625 m；2（3）x = 0.625 m 点振动方程为：y = 3.00 cos (1.60.625) cos 550t10= 3.00 cos 550t2大学物理习题详解振动与波动部分124振动速度 v = = 16.5sin550tdty当 t = 3.00 s 时, v =16.5sin (5503.00 ) = 46.2 m/s.310 310
