1、计算方法实验报告书院系名称 ： 计算机学院学生姓名 ：专业名称 ： 计算机科学与技术班 级 ：时间 ： 2017 年 4 月 23 日至 2017 年 6 月 05 日实验一：牛顿插值法一、实验目的（1） 掌握牛顿插值法的基本思路和步骤（2） 培养编程与上机调试能力二、实验内容（1）已知数据点:x=0.017037, 0.146447, 0.370590, 0.629410, 0.853553, 0.982963;y=1.017183, 1.157713, 1.448590, 1.876502, 2.347975, 2.672363;利用关于该数据点的牛顿插值多项式计算出 xt 中各点所对应的
2、函数值xt=0.155026, 0.293016, 0.431005, 0.568995, 0.706984, 0.844974,并给出牛顿插值多项式中所用的各阶差商 dq。要求：编写函数yt,dq=Newtonchz(x,y,t),其中数据点的个数可变.输出的数据要求保留小数点后六位。三、实验原理简述插值法利用函数 f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数 f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时
3、全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=fx0+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+.fx0,.xn(x-x0).(x-xn-1)+Rn(x)。四、实验结果牛顿插值多项式请输入结点个数:6请输入各个结点的数值:X0=0.017037 Y0=1.017183X1=0.146447 Y1=1.157713X2=0.370590 Y2=1.448590X3=0.629410 Y3=1.876502X4=0.853553 y4=2.347
4、975X5=0.982963 Y5=2.672363请输入所要求函数值的 X 值，输入 0 结束: 0.155026 则所求得的近似值是: 1.167688请输入所要求函数值的 X 值，输入 0 结束: 0.293016则所求得的近似值是: 1.340464请输入所要求函数值的 X 值，输入 0 结束: 0.431005 则所求得的近似值是: 1.538805请输入所要求函数值的 X 值，输入 0 结束: 0.568995则所求得的近似值是: 1.766491请输入所要求函数值的 X 值，输入 0 结束: 0.706984则所求得的近似值是: 2.027864请输入所要求函数值的 X 值，输入
5、 0 结束: 0.844974则所求得的近似值是: 2.327918请输入所要求函数值的 X 值，输入 0 结束: 0Press any key to continue五、实验分析（1）计算方法及过程：1.先后输入节点个数 n 和节点的横纵坐标，插值点的横坐标，最后输入精度 e2. 用 do-while 循环语句得到跳出循环时 k 的值3.将 k 值与 n-1 进行比较，若在达到精度时 kn-1,则输出计算结果；若此时 k=n-1,则计算失败！（2）我们通常会选择与插值点最接近的节点，可以提高精度；（3）在可以计算出结果的情况下，插值点越多，结果越精确。（4）利用牛顿插值公式，当增加一个节点时
6、，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面 Nn(x)的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。由线性代数知，对任何一个不高 n 次的多项式 P(x)=b0b1xb2x2bnxn (幂基) 也可将其写成 P(x)=a0a1(xx0)a2(xx0) (xx1)an(xx0) (xxn-1)其中 ai 为系数，xi 为给定节点，可由求出 ai 一般情况下，牛顿插值多项式 Nn(x)可写成：Nn(x)= a0a1(xx0)a2(xx0) (xx1)an(xx0) (xxn-1)只需求出系数 ai，即可得到插值多项式。实验二：Romberg 求积算法一、实验目的掌握 Romb
7、erg 求积算法的基本原理，理解数值积分的基本思想，学会用计算机语言编写程序实现算法二、实验内容Romberg 求积算法:用 Romberg 求积算法计算积分 的近似值,wuch .210xed 610要求: 编写函数 I=Romberg(f,a,b,wuch),其中被积函数 f、上下限 a,b 及误差wuch 可变.输出的数据要求与 wuch 保持一致(缺省值取小数点后六位).三、实验原理简述计算 )()(21)0,(bfabR计算 1212, ikihfhir14),(),(),(1jj jmRmR这样就构成了 Romberg 积分的基本步骤，其计算步骤可以表 1.1 来表示：表 1.1
8、Romberg 积分R(1,1)R(2,1) R(2,2)R(3,1) R(3,2) R(3,3)R(4,1) R(4,2) R(4,3) R(4,4)R(5,1) R(5,2) R(5,3) R(5,4) R(5,5)可以证明 Romberg 方法是数值稳定的。四、实验结果输入积分上限：1输入积分下限：0用算法算出的精确结果是:0.855624-Process exited with return value 0Press any key to continue . . .五、实验分析（1）龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一
9、种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。（2）在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。（3）用 rombreg 算法在一定的精确度内计算比较准确。实验三：解线性方程组的高斯全主元消去法一、实验目的熟悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法， 高斯全主元消去法二、实验内容解线性方程组的高斯全主元消去法: 123410.31.50.2495.9.805.7x 要求: 编写函数 x=Gaussqzy(A,b),其中系数矩阵 A 及非齐次项 b 可变(元素及
10、阶数).输出的数据要求保留小数点后六位.三、实验原理简述将方程组(1)记为 (1) = (1)，其中 . 1） 第一步(k = 1). 设 ，首先计算乘数 . 用 1乘方程组(1) 的第一个方程，加到第 个( = 2,3, , . )方程上，消去方程组(1) 的从第 2 个方程到第个方程的未知数 1，得到与方程组(1) 等价的线性方程组 简记为 , 其中 ， 的元素个数计算公式为2） 第 次消元 . 设上述第 1 步， ，第 k-1 步消元过程计算已经完成，即已计算好与方程组(1) 等价的线性方程组 简记为 . 设 ，计算乘数 . 用 乘方程组(3) 的第 个方程加到第 i 个方程 ，消去从个
11、方程到第 个方程的未知数 ，得到方程组(1) 等价的线性方程组. , 元素的计算公式为 显然 中从第 1 行到第 k 行与 相同。 3） 继续上述过程，且设 ，直到完成第 n-1 步消元计算。最后得到与原方程组等价的简单方程组 ，即 如果 是非奇异矩阵（即 ），且 ，求解三角形线性方程组(4)，得到求解公式，以上为高斯消去法的基本过程。四、实验结果请输入方程的个数和未知数个数：4请输入方程组（逐个输入方程 i）1 0.333 1.5 -0.333-2.01 1.45 0.5 2.954.32 -1.95 0 2.085.11 -4 3.33 -1.1135.40.133.77第 1 次消元结果
12、：x1 + 0.344828x2 + 2.03448x3 + 2.97931x4 = -1.34483-0.0118276x2 + -0.534483x3 + -3.31231x4 = -0.6651725.11x3 + -4x4 = 3.333.43703x4 = 2.27724第 2 次消元结果：x1 + 0.344828x2 + 2.03448x3 + 2.97931x4 = -1.34483x2 + 2.26391x3 + 1.01604x4 = 0.6731910.401058x3 + -6.11337x4 = 1.92976-3.30029x4 = -0.65721第 3 次消元结
13、果：x1 + 0.344828x2 + 2.03448x3 + 2.97931x4 = -1.34483x2 + 2.26391x3 + 1.01604x4 = 0.673191x3 + -15.2431x4 = 4.81168-11.0393x4 = 1.78571解方程得：x1 = -4.093134x2 = -4.473527x3 = 2.345969x4 = -0.161759-Process exited with return value 0Press any key to continue . . .五、实验分析主元素消去法是为控制舍入误差而提出的一种算法，在用 消去法的消元Gu
14、as过程中，若出现 ，则消去法无法进行，即使 但很小，把它作除0)(ak ,0)(k数，就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散，最后使计算结果不可靠。实验四：解线性方程组的 SOR 迭代法一、实验目的1.熟悉掌握逐次超松值迭代法的基本原理和基本方法。 2.学会用逐次超松弛迭代法解简单的方程组。 3.选取不同的 w 值（0w2）进行试探性的计算，从中摸索出近似的最佳松弛因子。二、实验内容解线性方程组的 SOR 迭代法:用 SOR 迭代法解 ,其中:Axb, ,204141A 2011b(0)201x要求: 编写函数(x,k)=Sor(A,b,x (0),w, wuch),其中系数矩阵 A
15、(元素及阶数)、非齐次项 b(元素及阶数)、初值 x(0)及松弛系数 w 可变,输出的 x 为方程的解,k为迭代的次数. 数据输出要求与 wuch 保持一致(缺省值取小数点后六位).三、实验原理简述超松弛迭代法以及所涉及的主要算法为：Xi(k+1)（1-w）*Xi(k)+w*Xi 的共轭的（k+1）次幂。四实验结果迭代结果：-2.65028 -4.01658 -5.60461 -6.84338 -7.95437 -8.85622 -9.58279 -10.1235 -10.4843 -10.6641 -10.6641 -10.4843 -10.1235 -9.58279 -8.85622 -7
16、.95437 -6.84338 -5.60461 -4.01658 -2.65028 -2.6553 -4.02457 -5.61615 -6.85794 -7.97175 -8.87601 -9.60459 -10.1468 -10.5086 -10.689 -10.689 -10.5086 -10.1468 -9.60459 -8.87601 -7.97175 -6.85794 -5.61615 -4.02457 -2.6553 -2.66018 -4.03235 -5.62739 -6.87212 -7.98867 -8.89528 -9.62581 -10.1696 -10.5324
17、-10.7133 -10.7133 -10.5324 -10.1696 -9.62581 -8.89528 -7.98867 -6.87212 -5.62739 -4.03235 -2.66018 -2.66493 -4.03992 -5.63833 -6.88592 -8.00515 -8.91404 -9.64647 -10.1917 -10.5555 -10.7369 -10.7369 -10.5555 -10.1917 -9.64647 -8.91404 -8.00515 -6.88592 -5.63833 -4.03992 -2.66493 -2.66956 -4.0473 -5.6
18、4898 -6.89936 -8.02119 -8.93231 -9.66659 -10.2132 -10.578 -10.7599 -10.7599 -10.578 -10.2132 -9.66659 -8.93231 -8.02119 -6.89936 -5.64898 -4.0473 -2.66956 最终结果：x=-2.66956 -4.0473 -5.64898 -6.89936 -8.02119 -8.93231 -9.66659 -10.2132 -10.578 -10.7599 -10.7599 -10.578 -10.2132 -9.66659 -8.93231 -8.02119 -6.89936 -5.64898 -4.0473 -2.66956 五、实验分析使用 SOR 迭代的关键在于选取合适的松弛因子，松弛因子的取值对收敛速度影响很大，但如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍未有效解决，在实际计算时，通常依据系数矩阵的特点，并结合以往的经验选取合适的松弛因子。更深的理解了用迭代法解线性方程组的方法，并且懂得了编写一段代码，我们不仅要考虑它的可行性，更应该考虑它的算法复杂度，运行效率。由此，我们可以看出做一件事要精益求精，多加斟酌 ，并且在数值分析理论课方面更应该多下功夫，扎实基础才是最重要的。
