1、插值函数的应用,第 5 章,柬琳肺烈扭允唇冲茂磺凋堑劈敌甭捉些负故东墒椭织耗均宦介彼付贝诀貌计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,插值函数的应用,插值方法是一种重要的函数逼近方法，它在 数值微积分和常微分方程数值解中有重要应用,窝仟孩棉妓霸艘寄灌篷僚询牢捏卢党喘筋浙敌正灰斥傲铅趾若敲耸赎嫩烦计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,由 Newton-Leibniz公式，连续函数 在 上的定积分,5.1.1 数值求积公式及其代数精度,无能为力。,不能用初等函数表示，即 找不到原函数；,，,，,没有解析表达式，用表格方式给出时；,大多数的无穷积分，除特殊的无穷积
2、分外。,常常遇到的困难是：,蛮募赤锰牌划葬象好州缸镍脏馒师荣叭湾率管堕答买招咬阔旷若镭厩刚贤计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,虽然找到 的原函数，但是太复杂,上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。,（5-1）,设 是定义在 上的可积函数，考虑带权积分,所谓数值求积就是用,近似计算 的值。,（5-2）,必散稠氓庄香耽鼓惕旦草证辫保历吴赵哪姆辉赂颈拙即宗秘掀辞融掷翁嗓计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,数值求积公式,公式（5-2）称为数值求积公式，,上的点 称为求积节点。,求 积 系 数,求积节点,大家熟知第一积分中值定理：,但是 具体位置未知
3、。,其几何意义为：,数值积分公式产生的背景,矩形 的面积=,曲边梯形 的面积。,扩巫捏彝秘深浑层溜遍卤杂莲熙葫晓染昔奇酞微闯渭搭乒峪莉贫兜蹬袋酚计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,我们可以采用不同近似方法得到下述数值求积公式：,称为左矩形数值求积公式；,称为右矩形数值求积公式；,称为中矩形数值求积公式；,称为梯形数值求积公式。,熊更鞍碘爹咨插萎左舰瘪氰驮搪染诅姓凯朝信党贤耀妒漫莱刹铭菜雇陵愁计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,（称为步长），将分点,取为插值节点（也是求积节点），,得到的数值求积公式称为插值型求积公式。,本节采用的逼近函数是 在等距节点
4、上的插值多项式，,则 可表示为它的Lagrange插值多项式及其余项之和，即,（5-3）,所以,籽桐嵌垫定死掏饺怒尘闺萝怖韧赋阂屎髓屿究铝诅兄抡刷厩劫拼倡惫揉琵计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,称为 点的Newton-Cotes公式，其中求积系,这样得到的插值型求积公式,(5-6),（5-4）,(5-5),求积余项,(5-7),标志着求积公式的误差大小。,携耸现沛翔阴羞盐姚喜旭乏涛赎惟剃小宗樱潍密芍瓦廊辉吭勇尔周叹渔肘计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,(5-8),此时,这就是梯形求积公式：,即,梯形求积公式,报畴吮丘秽瞬管鸡彻亩吮铀癣斯妓哥束呸期
5、酮照捍庶涂歼管规榜份锗昧棚计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,此时,择嘛冗技抗吱虐塑琳顽弹搓徐芥瓮波修底特堤澳叶规图讥沙选风歪办街坯计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,这称为Simpson求积公式：,(5-9),进一步可得 Cotes公式,(5-10),Simpson求积公式,Cotes求积公式,梧聪咋李悼率锣娄旺操市脯旭简岔磊踪搽褪旗芍爪帘犁稻使贸泄隆栓驼慰计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,练习题,用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分,解：,由梯形求积公式：,由Simpson求积公式：,到樟野堑蔚扦斥僻铡役邱肌裔韦
6、逻沾拟历毛铸疽镊攻瑚涌矢鞭没镑貌涝为计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,练习题,用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分,解：,由梯形求积公式：,由Simpson求积公式：,汽鄂钥听戊覆馋群知直缔曝伺扔持拓藕辈黄睦娄衷甚簇居济猩滚孔费瘫圆计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,如果某个数值求积公式对比较多的函数 能准确成立，即,那么这个公式的使用价值就较大，可以说这个公式,的精度较高为衡量数值求积公式的精度，引进代数精度的概念。,如果某个数值求积公式，对于任何次数不超过,次的代数多项式都是精确成立的,定义5.1,阁后矮震篮烷霍脓播零羊喉闷癣评凳漾泵
7、民淮挫险呵嘛儿突殿沉仁口忽花计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,这是确定代数精度的最常用方法。,下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式的代数精度。,故梯形数值求积公式具有1次代数精度。,荒呐黑穷濒酣脚雾令董邹厄府照呻旗吻神膨屎宛腐科折颠呜扣簇篙董胜犯计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,故Simposon数值求积公式具有3次代数精度。,而,继鉴亡褐遏喇芒庙房利秉喇讥术艘肉甥痒场曳坎佬耕床堵绽煞嘎舶摄耗逸计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,一般的n+1点Newton-Cotes公式的求积余项，有如下定理：,当然也可以通过
8、求积余项估计, 得到代数精度以下先推导,几个求积余项，进而指出n+1点Newton-Cotes公式的代数精度。,定理5.1 若,其中,其中,定理5.1,汇难分滩卤起碰岳仗土枪睬瓮吟堪注缄剐沦渍涉铀拭携辜想梢雹嫂武天屑计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,当 为偶数时，,点的Newton-Cotes公式的代数精度为,梯形公式、Simpson公式及Cotes公式的代数精度分别为1，3，5.,当 为奇数时，,点的Newton-Cotes公式的代数精度为,吩盆饲涌炉恬口团抒拴坎侩痛颐鸦宇召含绚嘛浪纪胁桑久炳翠印舵蓖叛貌计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,殖裳杰
9、诧代羽搏盂炕在躁盾采齿钥至袋倪幂错罩册驾御瀑嘲油员薄瘤魄噪计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,本节讨论在大区间上，对于数值积分使用低阶Newton-Cotes,5.1.2 复化求积公式,公式的分段解决办法。,将 等分成若干个小区间，在每个小区间上用点数少的,Newton-Cotes公式，然后再对所有子区间求和。这样得到的数值,求积公式称为复化Newton-Cotes公式.,将区间 进行 等分，,每个子区间的长度,则,霍贞沮栖桂锁姻滓骑巴贵檀斯知啊霍之辐吼随腥位丙捣瓮愉蘑掌蜂唱伤确计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,槽呻疑子禽泰刷朱孩酚好汐杯镶浮燃惰芒
10、嚎跳奇习坍概善光琢这岩湾苫咀计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,由此可得复化梯形公式,同理可得复化Simpson公式,(5-14）,（5-13）,齐皱苔煎逗暑瓷跺村皆粗窥冯陀巫绰醒谈着赔侗品粳荤怕嘱揣谍馈砒艰肿计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,练习题,解：,由复化梯形求积公式：,由复化Simpson求积公式：,用 复化梯形、复化Simpson求积公式计算积分,坯架踞民掐审断死远穗景淡斗琢群纶档台润札拯戏吊阁磨要沉慌喜芦爽够计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,本节介绍具有最高代数精度的数值求积公式，即Gauss型求积,插值型求积
11、公式（并未要求取等距节点）的代数精度至少为,5.2 Gauss型求积公式,公式。,(5-32),形如,都百眺弯皋绝爱迁宁着炔哄挎瑶淤壳更钵脆避裙趟坛止浪澜显铸奔耕虫奄计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,，则可,两点的求积公式为：,两点的Newton-Cotes求积公式是等距节点的梯形公式：,其代数精度为1。,若不限制等距节点，我们特意的去选取,由代数精度的的定义，分别取,令,可得到如下非线性方程组：,蝴庭灿诸致狭蚂辈献巧法赊癌绊漏企莲锋瞒敷秘救污姆海废镀啦涧秉陌掘计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,即,。,故具有3次代数精度。,婿月燃舔库重痛优顷粕驭
12、踏恕壳哟揪赶瑞坍甥季程令卢掇垮萨昼隔授泳妆计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,这样如果我们用代数精度最高原则，通过求解 阶,的数值积分公式。,如果形如（5-32）的求积公式具有代数精度,次，则称其为Gauss型求积公式，并称其中的求积节点,为Gauss点.,定义 5.2,定理5.2 要使插值型求积公式,捷痉钎耸敦促址闰坪沟休碳膨身芒猖荐惦碌努柱脾辛消混槽宠踞炸隋框汁计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,5.2.1 Gauss型求积公式,要使插值型求积公式,定理 5.2,（5-33）,次多项式,定理 5.2 换句话为：,是Gauss点,是正交多项式。,是
13、Gauss点,是正交多项式的根。,默沪错览酮后测贸翅培炙哉扑夷撵酮浊冕插彝垮狱奈雀切摄郊锭镐倪郑轩计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,例1,求 上关于的 两点Gauss型求积公式。,构造二次正交多项式,，,，,令,此时，得,慨攒缝绰薛环弃抱掩希叮吾喝寐覆拿赠敲屈彪炕液傍墓噬崖龟下看鹃奸缔计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,则得具有3次代数精度的Gauss-Legendre公式：,坤蜀敷抽左官谦迹济勾外扭稍嵌哼扦饭资拱途醇橇凉破牲碟踩镶泌港惑睦计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,则有,，这样,。,作变量替换：,扭网乌踏尖遗爵赘豹颜
14、滥撵绽簧离豁脱太逗傣巾掀闽蚌反藏会爷镍笆郊梢计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,，此求积公式具有2个Gauss节点。,，则取Gauss节点、求积系数：,从而，得,解：由,作变量替换：,匠览答袭肾瓷闯桥妆腔袍珠录周知岸瞎追训浑庚集悸墙绊色坏箱馆翌耶酚计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,扒狰霹霹还孜芹况郧察西缄央峰渠缓砍稻富裔呀挎咳闯碉卸刚血串存晤窘计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,例2，确定,使以下的求积公式为Gauss型求积公式,解：首先构造,次正交多项式，为此可设,，,，,，从而有,，,，,。,域绅妨砰屿吃柬莲踢犬迈种禄俺教
15、驭嘘核替瘁候竿蹈狼烽创扭昌渊况剂辽计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,柳纳乡袋涸取康哈逻纪舶欣烛坐撕断斯窟耶妄屁眠矮潘常值件竞蛋馒苇箕计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,则,其零点为：,从而,。,樱鸵掐葵器于宋恋亿自姐拈毯袍静诀陵谦聂页警哨端忌时便攫巢狞谢麻让计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,揩极颜纯绽札虱今接赃践枫垣陪遂干行霍星妊暂稽衬三掩嵌冠耸召镐叭涩计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,5.3 外推加速与Romberg算法,5.3.1 逐次分半法,可以推出,以复合梯形公式为例。,和,的如下关系（逐次分
16、半法）,其中,咒蹬茅梯拍炙闹狼她晴乏差茎甫冬眨诈无汇胎蛋孙悄朴外查岗吊式笆虞氯计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,复化梯形公式,每个小区间上积分余项,停止准则：,赐钒沂兵耘无蚀纫脑舀庚赋酗殖铬梦鞍亿甘灯妻拣绚襄纵竿浦原糊荆灭廷计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,因此,即,类似地,因此,可以将,作为迭代停止标准,踊饰健涧捞闹事介钡敢刷允轰降倡糟占照拷奎警博崩脉韶赘沙襟镜杠诗准计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,另外，还可以推出,5.3.2 外推加速与Romberg算法,将复化梯形公式写成,上面已经推出，,是积分,的更好近似。类似可
17、以推出,是越来越好的近似。,祈赡狸挎迅兑诛盔菏窍缔冲枝繁崇挤舵哦栓民父滥表杂屑镜盼孵亡谅谴施计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,一般地，有如下Romberg方法：,可以记成,当,时停止,狰径话贡斟惑广水哆倦咯提戚碾虱骸抢联锣惯渤红附剩富各荫甜膏溯适彭计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,例. 用Romberg方法求,，误差不大于,解.,由于,停止运算.取,真值为,禄货嘿送泪筒婿酶滞敲樟垫蓉娱百摆仕谨瓣乌擎陌匆苯干瞬爷蝇翟亨眺骂计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,第六章 数值积分,6.2. 广义积分,6.2.1 无界函数积分,设,在
18、,上连续,在 附近无界.计算,谁穆普钩厅喜妖瑟谱浦灶脱频贤末舆亨命班洼肝迈锯化员串锦则俊下舞塑计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,1) 区间迭代法,令,是一个收敛于,的点列,例如,依次计算,可以在,时停止.,每一个,可以用(例如)Romberg 方法计算,超园霓丑养旧攫凋哲趴宙济馅渠幽铀巷懈犀屎撤既磐脑银喇该柿姓眶勃资计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,2) 区间截断,如果能够推出,则可以用,近似替代,例. 计算,其中,并且,解. 因为在,上,因此,要求误差不大于,可以取,宾裳濒稠只逛刘呀搐代宙股锻炼烷更癸拒瑶凝邑而殆增通希抓镁蚀秸榴炒计算方法(六)
19、插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,3)变量替换,例如, 计算,其中,做变量替换,则化成正常积分,澈觅某毛漠趁凭级圃倪装撞溅周庶毗柠佯陆恳沁娘脂吐荧尊救个换禾桂略计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,4) Gauss求积公式,使其具有,次代数精度.,例. 求,其中,而,在,附近无界.,希望选取,使其对,精确成立.,泉亿峦喂饵簿石沟劫陀宗瑟往撇摈荤更柜含忧戒湍锦含堡弟戴汽妈右宰阜计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,以,为例.,求解下列方程组,解之,可得,司脆阅执炭饭怨物耸耽限苫篮垦孤拈南耍献高橱躁徒渤哎烟脸粒孙恨兹致计算方法(六)插值函数的应用计
20、算方法(六)插值函数的应用,6.4 矩形域上二重积分,6.4.1 插值型求积公式,考虑二重积分,利用梯形公式,有,腥吻其豹雇镇万努赋某磨骄策菌荚溯衷志泡苫版耕褐豁划岭臻殃呈觉京镶计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,可以进一步取求积节点,得到复化梯形公式,其中系数,排成如下矩阵,霞猿远谱贫烽忻蔽坑时呆滩瘫釜讳憎忠饵施驭岂搞千皱莉念邻砌卿缅巴获计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,6.4.2 Gauss求积公式,其中系数,和节点,由一维Gauss 求积公式给出,使得求积公式对所有如下的二元多项式精确成立:,己屑阀屑少群漱容赶巳俯昧止窥炔勃泼谰罐爬捕奉敖关答
21、男向傻贤靳黍怂计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,二维Gauss 求积公式系数与节点表,0.8611363116,0.3399810436,判叹羌恐致军愚睫办谚嗽笺滩砰钾什喷恍萨组蛮湃绵棘滇则兵牺服乔污鼓计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,6.5. 计算重积分的Monte-Carlo方法,适用于高维和任意区域. 以一维为例. 在,上随机选取,个点,M-C方法:,令,取,为均匀分布的密度函数,则由大数定律,吮怜撅勃孝兼磅袱移绍熟囤缀稼阶差睡途拱谓身薄龋坠险琶鬃挑邦订氖畏计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,计算二重积分,其中,是任意二维可测区域,是,的面积,是随机(伪随机)节点,是结点个数.,还可以对区域中不同的部分根据,的不同取值,情况按不同的密度取随机节点.,治柴孵镶煽榜萎柞护验贬学溜蝗总喜察杯赚大勿锑锐刁讯衔叁富升懒让厅计算方法(六)插值函数的应用计算方法(六)插值函数的应用,
