1、 1 2017 高考数学一轮复习 第二章 函数的概念 及其基本性质 2.8 函 数的零 点与方程的根对点 训练 理 1. 已知 函 数f(x) 2|x| ，x 2， x 2 ，x2 ， 函数 g(x)b f(2 x) ， 其 中b R. 若函 数y f(x) g(x)恰有 4 个零 点， 则 b 的 取值 范围 是( ) A. 7 4 ， B. ， 7 4C. 0 ， 7 4D. 7 4 ，2 答案 D 解析 函数 yf(x) g(x)恰有4 个 零点， 即方 程 f(x)g(x)0，即 bf(x) f(2 x) 有4 个不 同的 实数 根， 即直 线 yb 与 函数yf(x)f(2 x)的
2、图象 有4 个 不同的 交点 又 y f(x) f(2 x) x 2 x 2，x2 ， 作出该函数的图象如图所示 ，由图可 得，当 7 4 0 的零 点个 数为( ) A 3 B2 C 7 D0 答案 B 解析 解法 一： 由 f(x) 0 得 x0， x 2 x 20或 x0， 1ln x 0 ， 解得 x2 或 x e. 因此函 数f(x) 共有2 个 零 点 2 解法二 ：函 数f(x) 的图 象 如图所 示， 由图 象知 函 数f(x)共有 2 个零 点 3 设f(x) e x x4， 则 函数f(x) 的零 点位 于区 间( ) A (1,0) B(0,1) C (1,2) D(2,
3、3) 答案 C 解析 f(x)e x x4 ，f (x) e x 10 ， 函数 f(x) 在 R 上单 调递 增 对于 A 项，f( 1) e 1 ( 1) 45e 1 0 ，A 不正确 ；同 理 可验证 B 、D 不 正确 对 于 C 项，f(1) e 14e30 ， f(1)f(2)0 ，解 得 1 2 a2 ； a0，b2 ； a1 ，b 2. 答案 解析 令 f(x) x 3 ax b，则 f(x) 3x 2 a. 对于 ，由 ab 3，得 f(x)x 3 3x 3 ，f (x)3(x1)(x 1) ，f(x) 极大值 f( 1) 10 ，f(x) 极小值 f(1) 0， 函 数f(
4、x) 的 图 象与 x 轴有 两个 交点 ， 故x 3 ax b 0 有 两个 实根 ； 对于 ，由 a 3 ，b2 ，得 f(x)x 3 3xb ，f (x)3(x1)(x1) ，f(x) 极 大值 f(1) 2b0， f(x) 极小值 f(1) b20 ， 函数 f(x) 的 图象 与 x 轴 只 有一个 交点 ，故 x 3 ax b 0 仅 有一 个实根 ； 对 于 ，由 a 0 ，b 2，得 f(x) x 3 2 ，f(x) 3x 2 0 ，f(x)在R 上单调 递增 ， 函数f(x) 的图 象与x 轴 只 有一个 交点 ， 故 x 3 axb 0 仅 有一 个实 根； 对于 ，由 a
5、1 ， b2，得 f(x) x 3 x 2 ，f(x)3x 2 10 ，f(x) 在R 上 单调 递增， 函 数f(x)的图 象 与x 轴只有 一个 交点 ， 故x 3 ax b0 仅 有一 个实 根 7. 已知 函 数f(x) x 3 ，x a， x 2 ，xa. 若存 在 实数 b ，使 函数g(x) f(x)b 有两 个零 点， 则a 的 取值 范围 是_ 答案 ( ，0) (1 ，) 解析 令 (x) x 3 (xa) ，h(x)x 2 (xa) ， 函 数 g(x)f(x)b 有 两个 零点 ， 即函 数 yf(x)的 图象 与直 线 y b 有两 个交 点， 结 合图 象可 得 a
6、h(a)，即 aa 2 ， 解得a1 ，故a ( ，0)(1， ) 4 8 已 知函 数f(x) e x ax 2 bx 1， 其中a，b R ，e2.7 1828 为 自然 对数 的底数 (1)设g(x) 是函 数 f(x)的 导函数 ，求 函 数g(x)在区间0,1 上 的最 小值 ； (2)若f(1) 0 ，函 数 f(x) 在区间(0,1) 内 有零 点， 求 a 的 取值 范围 解 (1) 由f(x) e x ax 2 bx1，有 g(x)f(x)e x 2ax b. 所以g (x)e x 2a. 因此， 当x 0,1 时，g (x) 1 2a ，e2a 当 a 1 2 时，g(x
7、) 0，所以 g(x)在0,1 上单 调递 增，因 此 g(x) 在0,1 上 的最小 值 是g(0) 1 b ； 当 a e 2 时，g(x ) 0，所以 g(x)在0,1 上单 调递 减，因 此 g(x) 在0,1 上 的最小 值 是g(1) e 2a b ； 当 1 2 0 ，g(1) e2a b0. 由 f(1) 0 有 abe 10 ，g(1) e 2a b 1a0. 解得e 20 ，g(1) 1a0 ， 故此 时g(x)在(0 ，ln (2a)和(ln (2a)，1)内 各只 有一个 零 点 x1 和 x2. 由此可 知f(x) 在0 ，x1 上 单调递 增， 在(x1 ，x2)上 单 调递减 ，在x2,1 上 单调 递 增 所以f(x1)f(0) 0 ，f(x2)f(1) 0 ， 故 f(x)在(x1 ，x2) 内 有零 点 综上可 知，a 的 取值 范围 是(e2,1)
