1、第二章 误差的基本性质与处理2-1试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度；2-2试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。【解】单次测量的标准差 表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。221n算术平均值的标准差 是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作x为算术平均值不可靠性的评定标准 xn在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量
2、标准差的 ，当测量1n次数n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。2-3 试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率【解】 （1）误差服从正态分布时 2 2() ()0(2)Peded 引入新变量 t: ,经变换上式成为： ,tt20(2)()20.4195.84%tedt（2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为： ，所以区间 ,故: a,2a21()1aPd（3） 误差服从均匀分布时 因其标准差为： ，所以区间 ，故 3a22,3a23112() 0.8%3aPda2-4测量某物体重量共 8 次，测的数据(单位为 g)为236.45，236.37，2
3、36.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。 0.5(.3)0.1(.6)(0.1).80723648.x210.59niv.xn2-5 用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算 2-4，并比较2-6 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 168.4.168.9.40168.5x.()mA)(082.1552vi37()x mAn或然误差： 0.645.0.37.25()xRmA平均误差： 7990.3x
4、T2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确定测量结果。 20.1.062.180.52.01x20.15()m210.55iv正态分布 p=99%时， t8limxx0.25.3()测量结果： lim2015.03)xXm27 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据(单位为 mm)为200015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99的置信概率确定测量结
5、果。解：求算术平均值求单次测量的标准差求算术平均值的标准差确定测量的极限误差因 n5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。现自由度为：n14； 10.990.01，查 t 分布表有： ta4.60极限误差为写出最后测量结果2-8 对某工件进行 5 次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差 =0.005mm，若要求测量结果的置信概率为 95%，试求其置信限。 nli.1vi 482105.6mx4. mtxx 44lim 102.51.604Lli【解】因测量次数 n=5，次数比较少，按 t 分布求置信限（极限误差） 。 已知：P=95%，故显著度 =1P0.05；而自由度 n151
6、4。 根据显著度 =0.05 和自由度 查附录表 3 的 t 分度表，得置信系数 ta=2.78。 所以算术平均值的置信限为：2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差 ，若要求m04.测量结果的置信限为 ，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。m05.正态分布 p=99%时， t2.8limxtn2.58042.6.n取210 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有 015.nttx根据题目给定得已知条件，有 .01.t查教材附录
7、表 3 有若 n5，v4，0.05，有 t2.78， 24.136.785.2n若 n4，v3，0.05，有 t3.18， 59.2.4.即要达题意要求，必须至少测量 5 次。2-11 已知某仪器测量的标准差为 0.5m。若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为 26.2025mm，试写出测量结果。若重复测量 10 次，测得值（单位为 mm）为 26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中 10 次重复测量的测量值，写出
8、上述、的测量结果。2-12 某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为 1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。)(.081Papxiii)(95.86)1(82Papviixix2-13 测量某角度共两次，测得值为 ， ，其标准差分别为6312424132，试求加权算术平均值及其标准差。8.13,.21961:04:21p352434 x0.96101.21 iixpi2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对
9、一锥体的锥角 各重复测量 5 次，测得值如下：;27,5327,027: 甲405乙试求其测量结果。甲： 20“6352“17 73“x 甲51iv222甲 （ -“） （ ） “（ -0） （ 5）48.x4“235甲甲乙： 0“547 723“ 乙521 13iv22222乙 （ -8“） （ ） （ “） （ 7） （ “）43.5“x.56.0乙乙22x11:348:78p乙乙甲 甲 3640“2甲 乙 乙甲 乙甲 3“78.46382. 乙甲 甲甲 px1537xX2-15试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为 n 乘以任一个测量值的权。证明：解：因为 n 个测量值属于等精度测量
10、，因此具有相同的标准偏差：n 个测量值算术平均值的标准偏差为：已知权与方差成反比，设单次测量的权为 P1，算术平均值的权为 P2，则2-16 重力加速度的 20 次测量具有平均值为 、标准差为 。2/81.9sm2/014.sm另外 30 次测量具有平均值为 ，标准差为 。假设这两组测2/80.9s2/0.量属于同一正态总体。试求此 50 次测量的平均值和标准差。147:302.:14.0:1:221 xp)/(9.874.9.82smx）（ 2/0.5120.x2-17 对某量进行 10 次测量，测得数据为x1221:xPnn14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.
11、9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x按贝塞尔公式 230按别捷尔斯法 0.264)1(5.110i2v由 得 u123.12所以测量列中无系差存在。67.0n2-18 对一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后 6 次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法：排序：序号 1 2 3 4 5第一组第二组 50.75 50.
12、78 50.78 50.81 50.82序号 6 7 8 9 10第一组 50.82 50.83 50.87 50.89第二组 50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14T30所以两组间存在系差T2-19 对某量进行 10 次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x按贝塞尔公式 230按别捷尔斯法 0.264)1(253.110iv由 得 u12 3.12所以测量列中无系差存在。67.0n2-20对某量进行 12 次测量，测的数据为20.06，20.07，2
13、0.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。解：(1)残余误差校核法 20.15x(6.0.65.40.25.)(0.15.0.5.0.85.6).4A因为 显著不为 0，存在系统误差。（2）残余误差观察法残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。（3） 120.5iv122.5.6()in120.9u.631un所以不存在系统误差。2-222-21 对某量进行两组测量，测得数据如下2-22. 对某量进行 15 次测量，测得数据为
14、28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。【解】将有关计算数据：平均值、残差等列于表中：2-23. 对某一个电阻进行 200 次测量，测得结果列表如下：2-26 对某被测量 x 进行间接测量得： ，其权分别为21.4,32.8,4.90xx5:1:1，试求 x 的测量结果及其标准差？【解】 123.4.18.900.7,0.7,.75,选取 235
15、,pp可由公式直接计算加权算术平均值和标准差： 01.70.5.7.72x加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差： 1 23.,0.5,.0x xxvv算术平均值的标准差为： 2222150.1.05.30.(3)()mixxipvlim.2.60.7x2-28 测量圆盘的直径 ，按公式计算圆盘面积 ，由(2.35)D2/4SD于选取 的有效数字位数不同，将对面积 S 计算带来系统误差，为保证 S 的计算精度与直径测量精度相同，试确定 的有效数字位数？【解】测得 D 的平均值为 72.003mm由 ,得：24DS2 21.039.815(/).8gms当 D 有微小变化 、 有 变化时，S 的变化量为：22243.1467.037.030.52(.5).840.SD取 4 位有效数字
