1、13.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.了解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系思考 1 f(x) x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，那么 f( x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？答案 当 x(，0)时， f( x)0.思考 2 y f(x)在区间( a， b)上的单调性与 y f( x)在区间( a， b)上的函数值的正、负有何关系？答案 在区间( a， b)上， f( x)0，则 f(x)在( a， b)上为增函数；在
2、区间( a， b)上， f( x)0 单调递增f( x)0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x( a， b)都有 f( x)0 且在( a， b)内的任一非2空子区间上 f( x)不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些1函数 f(x)在定义域上都有 f( x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )2函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )3函数在某
3、个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )类型一 原函数和导函数图象之间的关系例 1 已知函数 y f(x)的图象如图所示，则函数 y f( x)的图象可能是图中的( )考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 C解析 由函数 y f(x)的图象的增减变化趋势判断函数 y f( x)的正、负情况如下表：x (1， b) (b， a) (a,1)f(x) f( x) 由表分析函数 y f( x)的图象：当 x(1， b)时，函数图象在 x 轴下方；当 x( b， a)时，函数图象在 x 轴上方；当 x( a,1)时，函数图象在 x 轴下方故选 C.反思
4、与感悟 对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零根据导数值的正负可判定导函数3图象跟踪训练 1 函数 y f(x)在定义域 内可导，其图象如图(32， 3)所示，记 y f(x)的导函数为 y f( x)，则不等式 f( x)0的解集是( )A. 2,3)13， 1B. 1，12 43， 83C. )1,2(32， 12)D. (32， 1) 12， 43 83， 3考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 A解析 求 f( x)0 的解集，即求函数 f(x)在 上的单调减区间由题干图象可知
5、(32， 3)y f(x)的单调减区间为 ，2,3)13， 1类型二 利用导数求函数的单调区间例 2 求下列函数的单调区间(1)f(x)2 x33 x236 x1；(2)f(x)3 x22ln x.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解 (1) f( x)6 x26 x36.由 f( x)0，得 6x26 x360，解得 x2；由 f( x)0，解得30，即 2 0，3x2 1x4解得 x .33令 f( x)0 和 f( x)0 的区间为增区间，定义域内满足 f( x)0，( x2) 20.由 f( x)0，得 x3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，)；由 f( x
6、)0 时，函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(1k， ) (0， 1k)2若 f(x) kxln x 在区间(1，)上不单调，则 k 的取值范围是_答案 (0,1)解析 由引申探究 1 知 k0，且 1，1k则 00(或 f( x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0，解得 x0，故选 D.2设函数 f(x)在定义域内可导， y f(x)的图象如图所示，则导函数 y f( x)的图象可能为( )考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析 由 f(x)的图象判断出 f(x)在区间(，0)上单调递增；在(0，)上先增再减再增，在区间(，0)上
7、f( x)0，在(0，)上先有 f( x)0，再有 f( x)0.只有 D 符合3 y xlnx 在(0,5)上是( )A增函数B减函数C在 上是减函数，在 上是增函数(0，1e) (1e， 5)D在 上是增函数，在 上是减函数(0，1e) (1e， 5)考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 C解析 yln x1，令 y0，则 x ，当 0 时， y0，所以函1e 1e 1e数 y xlnx 在 上为减函数，在 上是增函数(0，1e) (1e， 5)4已知函数 f(x) x3 ax 在1，)上是增函数，则 a 的最小值是( )A3 B28C2 D3考点 利用函数单调
8、性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 A解析 f( x)3 x2 a，函数 f(x) x3 ax 在1，)上是增函数， f( x)3 x2 a0 在1，)上恒成立， f( x)3 x2 a 在1，)上是增函数，3 x2 a31 2 a3 a，3 a0， a3.5判断函数 y ax31( aR)在(，)上的单调性考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间解 y( ax31)3 ax2.当 a0 时， y0，函数在 R 上单调递增；当 a0 和 f( x)0 在(0，)上恒成立， y xex在(0，)上为增函数对于 A，C，D 都存在 x0，使 y0 恒成立即可，只有选项 B 符
9、合题意，当 x(，2)时， y0 恒成立3函数 f(x) xln x 的单调递减区间为( )A(，1 B1，)C(0,1 D(0，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间答案 C解析 f( x)1 (x0)，令 f( x)0，解得 00，所以在(4,5)上 f(x)是增函数105函数 y f(x)的图象如图所示，则导函数 y f( x)的图象可能是( )考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析 函数 f(x)在(，0)，(0，)上都是减函数，当 x0 时， f( x)0 时，显然不合题意，当 a0 时，成立故 a0.7若 f(x) ，ef(
10、b)B f(a) f(b)C f(a)1考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 A解析 因为 f( x) ，1xx lnxx2 1 lnxx2当 x(e，)时，1ln xf(b)，故选 A.二、填空题8已知函数 f(x) kex1 x x2(k 为常数)，曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线与 x 轴12平行，则 f(x)的单调递减区间为_考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间答案 (，0)解析 f( x) kex1 1 x，曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线与 x 轴平行， f(0) ke1 10，解得 ke，故 f( x)e x
11、x1.令 f( x)0，故不等式 0，求证： xsinx.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式13证明 设 f(x) xsin x(x0)，则 f( x)1cos x0 对 x(0，)恒成立，函数f(x) xsin x 在(0，)上是单调增函数，又 f(0)0， f(x)0 对 x(0，)恒成立， xsinx(x0)13已知函数 f(x) x3 bx2 cx d 的图象经过点 P(0,2)，且在点 M(1， f(1)处的切线方程为 6x y70.(1)求函数 y f(x)的解析式；(2)求函数 y f(x)的单调区间考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间解
12、 (1)由 y f(x)的图象经过点 P(0,2)，知 d2， f(x) x3 bx2 cx2， f( x)3 x22 bx c.由在点 M(1， f(1)处的切线方程为 6x y70，知6 f(1)70，即 f(1)1， f(1)6.Error! 即Error!解得 b c3.故所求的解析式是 f(x) x33 x23 x2.(2)f( x)3 x26 x3.令 f( x)0，得 x1 ；2 2令 f( x)2x1 的解集为( )A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数求解不等式答案 C解析 令 g(x) f(x)2 x1，则 g( x) f(
13、 x)2g(1)0 时， x0，即 f(x)2x1 的解集为(，1)1415已知函数 f(x) x3 ax2( a1) x113 12(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)内为增函数，求实数 a 的取值范围考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数解 (1) f( x) x2 ax a1( x1) x( a1)，令 f( x)0，得 x11， x2 a1，当 a2 时， f( x)0，则 f(x)在 R 上单调递增，当 a0，则 f(x)的单调增区间为(， a1)，(1，)当 a2 时，当 x(1， a1)时， f( x)0，则 f(x)的单调增区间为(，1)，( a1，)(2)因为 f(x)在(1,4)内为减函数，所以当 x(1,4)时， f( x)0；因为 f(x)在(6，)内为增函数，所以当 x(6，)时， f( x)0.所以 4 a16，解得 5 a7.所以实数 a 的取值范围为5,715
