1、13.3.1 函数的单调性与导数学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间(重点)3.能根据函数的单调性求参数(难点)自 主 预 习探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间( a， b)内的函数 y f(x)f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递增f( x)0 这个说法正确吗？提示 不正确，应该是 f( x)0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y f(x)，在区间( a， b)上导数的绝对值 函数值变化 函数的图象越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
2、越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)基础自测1思考辨析(1)函数 f(x)在定义域上都有 f( x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )(3)函数值在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )(4)在区间( a， b)内， f( x)0 是 f(x)在此区间上单调递增的充要条件( )答案 (1) (2) (3) (4)2函数 y x3 x 的单调递增区间为( )A(0，) B(，1)C(1，) D(，)D y3 x210，故选 D.3若在区间( a， b)内， f( x)0，且 f(a)0，则在( a，
3、b)内有( ) 【导学号：97792146】2A f(x)0 B f(x)0 知函数 f(x)在区间( a， b)内是增函数，且 f(a)0，故 f(x)0.合 作 探 究攻 重 难函数的单调性与单调区间(1)函数 f(x)3 x22ln x 的单调递减区间为_ (2)设函数 f(x) x aln x(aR)，讨论 f(x)的单调性1x思路探究 (1)求 f( x)解不等式 f( x)0，故 00， g(x)0 的两根都小于 0.在(0，)上， f( x)0.故 f(x)在(0，)上单调递增当 a2 时， 0， g(x)0 的两根为x1 ， x2 .a a2 42 a a2 42当 00；当
4、x1x2时， f( x)0.故 f(x)分别在 ， 上单调递增，在(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )3上单调递减(a a2 42 ， a a2 42 )规律方法 求函数 y f(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数 y f(x)的定义域；(2)求导数 y f( x)；(3)解不等式 f( x)0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式 f( x)0，得 x1，所以函数的单调递增区间为13和 (1，)，故选 A. ( ， 13)(2)讨论函数 f(x) x2 aln x(aR， a0)的单调性12解 函数定义域为(0，)， f( x) x .ax当 a0 时， f( x)
5、 x 0 恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，)；ax当 a0 时，由 f( x) x 0，得 x ；由 f( x) x 0，得 0 xax a ax，所以当 a0 时，函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 a ( a， )(0， ) a综上，当 a0 时，单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当 a0 时，单调递增区间为( ，)，单调递减区间为(0， ) a a导数与函数图象的关系(1) f( x)是函数 y f(x)的导函数，若 y f( x)的图象如图 331 所示，则函数 y f(x)的图象可能是( )4图 331(2)已知函数 y f(x)的图象如图 332 所示，则函数 y
6、 f( x)的图象可能是图中的 ( )【导学号：97792147】图 332解析 (1)由 f( x)0(f( x)0 且越来越大 f( x)0 且越来越小函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢f( x)0(或 f( x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；.当 a0， y xex在(0，)内为增函数2在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图 335 所示，则关于 x 的不等式 xf( x)0 时， f( x)0，此时 x1，因此 xf( x)0 的解集为(，1)(0,1)3函数 f(x)( x1)e x的单调递增区间是_(0，) f( x)( x1)e x( x1)(e x) xex，
7、令 f( x)0，解得 x0，故 f(x)的增区间为(0，)4若函数 f(x) x3 x2 mx1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是_ f( x)3 x22 x m，由题意知 f(x)在 R 上单调递增，13， 412 m0， m .135设 f(x) ，其中 a 为正实数若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围. ex1 ax2【导学号：97792149】解 对 f(x)求导得 f( x)e x ，1 ax2 2ax 1 ax2 2若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f( x)在 R 上不变号，结合 a0，知 ax22 ax10 在 R 上恒成立，因此 4 a24 a4 a(a1)0，由此并结合 a0，知 0 a1.即 a 的取值范围为(0,1
