1、名校名 推荐43.1利用导数研究函数的单调性一、基础达标1命题甲：对任意x ( a， b) ，有 f (x)0 ；命题乙： f ( x) 在 ( a， b) 内是单调递增的，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析f ( x) x3 在 ( 1,1) 内是单调递增的，但f (x) 3x20( 1x1) ，故甲是乙的充分不必要条件，选A.1 22函数 y x lnx 的单调减区间是()A (0,1)B (0,1) ( ， 1)C ( ， 1)D ( ，)答案A1 21解析 y 2x lnx 的定义域为 (0 ， ) ， y x x，令 y0，1即
2、x x0，解得： 0x1 或 x0， 0x1，故选 A.3函数f(x) 32 ，其中a，c为实数，当2 3 0 时，f() 是xax bx cbabx()A增函数B减函数C常函数D既不是增函数也不是减函数答案A解析求函数的导函数f (x) 3x2 2ax b，导函数对应方程f (x) 0 的 4( a23b) 0，所以 f (x) 0 恒成立，故f ( x) 是增函数4下列函数中，在(0 ， ) 内为增函数的是()A y sinxB yxe21名校名 推荐C y x3 xD yln x x答案B解析显然 y sinx 在 (0 ， ) 上既有增又有减，故排除A；对于函数 y xe2，因 e2为
3、大于零的常数，不用求导就知y xe2 在 (0 ， ) 内为增函数；对于 C， y 3x2 13 x3x 3 ，33故函数在33上为增函数，3，3在 3，3 上为减函数；对于D，y 1 1 ( x 0) 33x故函数在 (1 ， ) 上为减函数，在(0,1)上为增函数故选B.5函数 y f ( x) 在其定义域3， 3内可导，其图象如图所示，记y f ( x) 的导函数为 y2( ) ，则不等式f( ) 0的解集为 _fxx答案1 2,3) ，136函数 y ln(x2 x 2) 的递减区间为 _答案( ， 1)解析( ) 2x1，令( ) 0 得x1 2，注意到函数定义域为 ( 2 1 或
4、fxx x2fx2 x， 1) (2 ， ) ，故递减区间为 ( ， 1) 7已知函数 f ( x) x3 ax 8 的单调递减区间为 ( 5,5)，求函数 yf ( x) 的递增区间解 f (x) 3x2 a.( 5,5) 是函数 yf ( x) 的单调递减区间，则 5,5是方程 3x2 a0 的根，a 75. 此时 f (x) 3x2 75，令 f (x) 0，则 3x2 75 0，解得 x 5 或 x 5，函数 y f ( x) 的单调递增区间为( ， 5) 和 (5 ， ) 二、能力提升8如果函数f ( x) 的图象如图，那么导函数y f (x) 的图象可能是2名校名 推荐()答案A解
5、析由 f ( x) 与 f (x) 关系可选 A.9设 f ( x) ，g( x) 在 a， b 上可导，且f (x) g(x) ，则当 a x b 时，有()A f ( x) g( x)B f ( x) g( x)C f ( x) g( a) g( x) f ( a)D f ( x) g( b) g( x) f ( b)答案C解析 f (x) g(x) 0， ( f ( x) g( x) 0， f ( x) g( x) 在 a， b 上是增函数，当 a x b 时 f ( x) g( x) f ( a) g( a) ， f ( x) g( a) g( x) f ( a) 21110(2013
6、 大纲版) 若函数f ( x) x ax x在 2，是增函数，则a 的取值范围是_答案3 ，)3名校名 推荐211解析因为 f( x) xax x在 2， 上是增函数，11故 f (x) 2x ax20在，上恒成立，211即 a x2 2x 在 2，上恒成立12令 h( x) x22x，则 h(x) x3 2，1当 x 2， 时， h(x) 0，则 h( x) 为减函数，1所以 h( x) h 2 3，所以 a3.11求下列函数的单调区间：(1) y x ln x；(2) y ln(2 x 3) x2.1解 (1) 函数的定义域为 (0 ， ) ， y 1 x，由 y 0，得 x 1；由 y
7、0，得 0 x 1.函数 yx lnx 的单调增区间为 (1 ， ) ，单调减区间为 (0,1) (2) 函数 ln(2x3) x2的定义域为3 ， .y2 y ln(2 x 3) x2，242 6x 2xxy 2x x2x 3.2x 32x 3当y 0，即3 1或x1时，2 x2函数 y ln(2x 3) x2 单调递增；当 y 0，即 1x 1时，2函数 y ln(2 x 3) x2 单调递减故函数 y ln(2 x 3) x2 的单调递增区间为3， 1 ， 1， ，单调递减区间221为 1，2 .12已知函数 f ( x) x3bx2 cx d 的图象经过点P(0,2)，且在点 M( 1
8、，f ( 1) 处的切线方程为6 7 0.xy(1) 求函数 y f ( x) 的解析式；(2) 求函数 y f ( x) 的单调区间4名校名 推荐解 (1) 由 y f ( x) 的图象经过点 P(0,2) ，知 d2，f ( x) x3bx2 cx 2， f (x) 3x2 2bx c.由在点 M( 1， f ( 1) 处的切线方程为6x y7 0，知 6 f ( 1) 7 0，即 f ( 1) 1，f ( 1) 6.3 2b c 6，2b c 3，即 1 b c 21，b c 0，解得 b c 3.故所求的解析式是f ( x) x3 3x2 3x 2.(2) f (x) 3x2 6x3.
9、 令 f (x) 0，得 x 1 2或 x1 2 ；令 f (x) 0，得 1 2 x 1 2.故 f ( x) x3 3x2 3x2 的单调递增区间为 ( ， 12) 和 (1 2， ) ，单调递减区间为 (1 2，1 2)三、探究与创新13已知函数f(x) 32(、R， 0) ，函数y(x) 的图象在点 (2 ，(2) 处的切mx nxm nmff线与 x 轴平行(1) 用关于 m的代数式表示 n；(2) 求函数 f ( x) 的单调增区间2解(1) 由已知条件得f (x) 3mx 2nx，又 f (2) 0， 3m n 0，故 n 3m.3 2(2) n 3m， f ( x) mx 3mx，2f (x) 3mx 6mx.2令 f (x) 0，即 3mx 6mx 0，当 m 0 时，解得 x0 或 x2，则函数 f ( x) 的单调增区间是 ( ， 0) 和 (2 ， ) ；当 m 0 时，解得 0x 2，则函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,2) 综上，当 m 0 时，函数 f ( x) 的单调增区间是( ， 0) 和(2 ， ) ；当 m 0 时，函数 f ( x) 的单调增区间是(0,2).5
