1、3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数,一、情境设置:,过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。,二、函数单调性定义,一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为I ：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数.,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是减函数.,1.正确理解利用导数判断函数的单调性的 原理.（重点） 2.利用导数判断函数单调性.（难点） 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法.,
2、如图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,(1),(2),探究点：函数的单调性与其导函数的关系,(1),(2),a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1),(2),提示：,这种情况是否具有一般性？,(1)
3、观察图象,完成下列填空.图中的函数y=x的导函数y=_,此函数的单调增区间为_;图中的函数y=x2的导函数y=_,此函数的单调增区间为_;单调减区间为_;图中的函数y=x3的导函数y=_,此函数的单调增区间为_;图中的函数y= 的导函数y= ,此函数的单调减区间为_.,1,(-,+),2x,(-,0),3x2,(-,+),(-,0),(0,+),(0，+),(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正负有什么关系?提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时,此
4、时对应的函数为减函数.,思考:(1)在区间(a,b)上,如果f(x)0,则f(x)在该区间上单调递增,反过来也成立吗?提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但f(0)=0,即f(x)0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.(2)利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域?提示:首先需要确定函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.,【规律总结】1.函数的单调性与其导数正负的关系(1)充分条件:注意f(x)0(或f(x)0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件.(2)恒成立:在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是
5、f(x)0(或f(x)0)(x(a,b)恒成立且f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.,(3)常数函数:特别地,如果f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题(1)定义域:在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.,(2)端点值:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.(3)符号:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.(4)常数函数:如果函数在某个区间上,恒有f(x)=0,则f(x)为该区间上的常数函数,如f(x)=3,则f(x)=3=0.,设f(x)=x (x0)，则f(x)的单调增区间是 ( ) A. (，2) B. (2，0) C. (， ) D. ( ，0),C,【即时训练】,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4或 x 4 或 x 0,得函数单调递增区间; 解不等式f(x)0(或 0).(3)确认并指出递增区间（或递减区间）.,2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法(1)求 (2)确认 在(a,b)内的符号.(3)得出结论.,不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学,
