1、2017_2018 学年高中数学第四章导数及其应用 4-3 导数在研究函数中的应用 4-3-1 利用导数研究函数的单调性分层训练湘教版选修 2_2一、基础达标1命题甲：对任意 x(a，b)，有 f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 f(x)x3 在(1,1)内是单调递增的，但 f(x)3x20(10，0x1，故选 A.3函数 f(x)x3ax2bxc，其中 a，b，c 为实数，当a23b0 时，f(x)是( )A增函数B减函数C常函数D既不是增函数也不是减函数答案 A解析 求函数
2、的导函数 f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0 的4(a23b)0，所以 f(x)0 恒成立，故 f(x)是增函数4下列函数中，在(0，)内为增函数的是( )Aysin xByxe2Cyx3xDyln xx答案 B解析 显然 ysin x 在(0，)上既有增又有减，故排除 A；对于函数 yxe2，因 e2 为大于零的常数，不用求导就知 yxe2在(0，)内为增函数；对于 C，y3x213，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于 D，y1 (x0)故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数故选 B.5函数 yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记 yf(x)的导函数为
3、 yf(x)，则不等式 f(x)0 的解集为_答案 2,3)6函数 yln(x2x2)的递减区间为_答案 (，1)解析 f(x)，令 f(x)0 得 x1 或x2，注意到函数定义域为(，1)(2，)，故递减区间为(，1)7已知函数 f(x)x3ax8 的单调递减区间为(5,5)，求函数yf(x)的递增区间解 f(x)3x2a.(5,5)是函数 yf(x)的单调递减区间，则5,5 是方程3x2a0 的根，a75.此时 f(x)3x275，令 f(x)0，则 3x2750，解得 x5 或 x5，函数yf(x)的单调递增区间为(，5)和(5，)二、能力提升8如果函数 f(x)的图象如图，那么导函数
4、yf(x)的图象可能是( )答案 A解析 由 f(x)与 f(x)关系可选 A.9设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f(x)g(x)，则当axb 时，有( )Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(a)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)答案 C解析 f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当 axb 时 f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)10(2013大纲版)若函数 f(x)x2ax在是增函数，则 a 的取值范围是_答案 3，)解析 因为 f(x)x2ax在上是增函数，故 f(x)2xa0
5、在上恒成立，即 a2x 在上恒成立令 h(x)2x，则 h(x)2，当 x时，h(x)0，则 h(x)为减函数，所以 h(x)h3，所以 a3.11求下列函数的单调区间：(1)yxln x；(2)yln(2x3)x2.解 (1)函数的定义域为(0，)，y1，由 y0，得 x1；由 y0，得 0x1.函数 yxln x 的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)函数 yln(2x3)x2 的定义域为.yln(2x3)x2，y2x.当 y0，即x1 或 x时，函数 yln(2x3)x2 单调递增；当 y0，即1x时，函数 yln(2x3)x2 单调递减故函数 yln(2x3)x2 的单调
6、递增区间为， ，单调递减区间为.12已知函数 f(x)x3bx2cxd 的图象经过点 P(0,2)，且在点 M(1，f(1)处的切线方程为 6xy70.(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)求函数 yf(x)的单调区间解 (1)由 yf(x)的图象经过点 P(0,2)，知 d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点 M(1，f(1)处的切线方程为 6xy70，知6f(1)70，即 f(1)1，f(1)6.即Error!解得 bc3.故所求的解析式是 f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令 f(x)0，得 x1或 x1；令 f(x)0，得 1x1.故 f(
7、x)x33x23x2 的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)三、探究与创新13已知函数 f(x)mx3nx2(m、nR，m0)，函数 yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线与 x 轴平行(1)用关于 m 的代数式表示 n；(2)求函数 f(x)的单调增区间解 (1)由已知条件得 f(x)3mx22nx，又 f(2)0，3mn0，故 n3m.(2)n3m，f(x)mx33mx2，f(x)3mx26mx.令 f(x)0，即 3mx26mx0，当 m0 时，解得 x0 或 x2，则函数 f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当 m0 时，解得 0x2，则函数 f(x)的单调增区间是(0,2)综上，当 m0 时，函数 f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当 m0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2).
