1、第 1 页 共 152 页 江苏省高考数学试题分类解析汇编专题 1：集合和复数一、选择填空题1.（江苏 2004 年 5 分）设集合 P=1，2，3，4 ，Q=x|x|2，xR，则 PQ 等于【 】(A)1， 2 (B) 3，4 (C) 1 (D) 2，1，0，1，2【答案】A。【考点】交集及其运算，绝对值不等式的解法。【分析】先求出集合 P 和 Q，然后再求 PQ：P=1 ，2，3 ，4，Q=x|x|2 ，xR=2x2，xR=1 ，2 ，PQ=1，2 。故选 A。2.（江苏 2004 年 5 分）设函数 )(1)(Rxxf，区间 M= a， b( a， 1ln0xy。函数 ln,(1)yx的
2、反函数为； , , +xe。故选 B。3.（江苏 2003 年 5 分）设 20,afxbc，曲线 ()yf在点 0(,)Pxf处切线的倾斜角的取值范围为 ,4P则 到曲线 ()yf对称轴距离的取值范围为【】A 10,a B 10,2a C 0,2ba D 10,2ba【答案】B。第 7 页 共 152 页 【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离。【分析】由导数的几何意义，得到 0x的范围，再求出其到对称轴的范围：过 0(,)Pxf的切线的倾斜角的取值范围是 0,4 00()2fxab0，1 。 01, 2ba。又点 P到曲线 ()yfx对称轴 2ba的距离
3、 002bdxxa， 01, 2bdxa。故选 B。4.（江苏 2004 年 5 分）若函数 )1,0)(logabxya的图象过两点( 1，0)和(0，1) ，则【 】(A) a=2， b=2 (B) = ， =2 (C) =2， b=1 (D) a= ， b=2 2 2【答案】A。【考点】对数函数的单调性与特殊点。【分析】将两点代入即可得到答案：函数 y=log a（x+ b） （ 0， a1）的图象过两点（1，0）和（0，1） ，log （1+ ）=0 ，log （0+ b）=1。 =2， =2。故选 A。5.（江苏 2004 年 5 分）函数 13)(xf在闭区间 3，0上的最大值、最
4、小值分别是【 】(A)1，1 (B)1，17 (C)3，17 (D)9，19【答案】C。【考点】函数的最值及其几何意义。【分析】用导研究函数 13)(xf在闭区间 3，0上的单调性，利用单调性求函数的最值： 2()30, fx ，且在 3，1）上 ()0fx，在（1，0 上 ()0fx，则 22()(1)fx， 2()1fx。由2(1)(fxf得， (1)x2()1x，解得 0时， 20x，则 2()fx， 2()1fx。由2(1)(ff得 1 ()，无解。综上所述，满足不等式 2(1)(fxf的 x的范围是 (,2)。21.（江苏 2010 年 5 分）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平
5、行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积,则 S 的最小值是 。【答案】 32。【考点】求闭区间上函数的最值。【分析】设剪成的小正三角形的边长为 x，则：22(3)4(3)01)111xxS令 13,(23),(,)xtt，则：2 224441866318Sttt。当 138t时， 8t有最大值，其倒数有最小值。第 14 页 共 152 页 当 138t，即 1x时，S 的最小值是 32。本题还可以对函数 S 进行求导，令导函数等于 0 求出 x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。22.（江苏 2011 年 5 分）函数 )12
6、(log)(5xf的单调增区间是 _【答案】 ,21。【考点】对数函数图象和性质。【分析】由 01x，得 21x，所以函数的单调增区间是 ,21。23.（江苏 2011 年 5 分）已知实数 0a，函数 ,)(xaxf，若 )1()(aff，则 a 的值为 【答案】 34。【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。【分析】根据题意对 a分类：当 0时， 1,1a ， aa2)1()(2，解之得 23，不合舍去；当 a时， ,， )()(，解之得 4。14.（江苏 2011 年 5 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 P 是函数 )0(xef的图象上的动点，该图象在 P 处的切
7、线 l交 y 轴于点 M，过点 P 作 l的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 的最大值是 【答案】 )(211e。【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。【分析】设 P 点坐标为 )0(,m，由 xef)(得， l的方程为 )(mxeym，令 0得， mey。第 15 页 共 152 页 过点 P 的 l的垂线方程为 )(mxeym，令 0得， mey。 )(21meet。对函数 )求导，得 1()2xt ， t在 (0,1上单调增，在 ,)单调减，当 1时，函数 t(m)的最大值为 )(211e。15. （2012 年江苏省 5
8、 分）函数 xxf6log1(的定义域为 【答案】 0 6乙。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 1266000 612loglog6=xxx。16. （2012 年江苏省 5 分）已 知 函 数 ()()fxabR， 的 值 域 为 0)， ， 若 关 于 x 的 不 等式()fxc的 解集为 (6)m， ，则实数 c 的值为 【答案】9。【考点】函 数 的 值 域 ， 不 等 式 的 解集。【解析】由值 域 为 0)， ， 当 2=0xab时有 240abV，即24a， 2222()4fxabx。2()fc解
9、得 2ac， 2axc。不 等 式 fx的 解集为 (6)m， ， ()()6，解得 9c。二、解答题1.（江苏 2003 年 12 分）已知 0,an为正整数 奎 屯王 新 敞新 疆第 16 页 共 152 页 （）设 ()nyxa，证明 1()nyxa；（）设 nnf，对任意 ，证明 1()1()nnff 奎 屯王 新 敞新 疆【答案】证明：（） knnCax0)(kxa)(， 10)(nnkyk0111()()nknxa。（）对函数 nnnaxf求导数：11()(),.0,.()().,1()nnnnnnfxxaafxxxaaAA乙 乙乙 )(11)()(1 nnnn af 1)()na
10、f。即对任意 1,()nnaff【考点】导数的运算，不等式的证明。【分析】 （I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积。（II）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数，再求 x用 +1 代替求出导函数值，易比较出两者的大小。2.（江苏 2005 年 12 分）已知 Ra，函数 |)(2axf 奎 屯王 新 敞新 疆当 2a时，求使 xf)(成立的 的集合；（4 分）求函数 y在区间 2,1上的最小值 奎 屯王 新 敞新 疆 （10 分）【答案】解：（1）由题意， |)(xf当 x时，由 )2，解得 0x或 1；当 2时，由 xf()，解得 2 奎 屯王 新 敞新
11、 疆第 17 页 共 152 页 综上，所求解集为 0, 12。（2）设此最小值为 m 奎 屯王 新 敞新 疆当 a时，在区间1，2上， 23)(axf， 0232)( xxf ， ),1(， 是区间1，2上的增函数，所以 f。当 1a时，在区间1 ，2上， 0|)(2ax，由 0)(f知，0)(afm。当 2时，在区间 1，2上， 32)(xf， 32)( xaxaxf 若 3，在区间（1，2）上， 0)(f，则 )(xf是区间 1，2上的增函数， )(fm。若 a，则 23a，当 x21时， 0)(xf，则 )(xf是区间1， a32上的增函数，当 3时， ，则 是区间 ，2上的减函数，当
12、 2a时， 1)(afm或 )2(4)f。当 7时， 24，故 a。当 3时， )(，故 1)(f。综上所述， ，所求函数的最小值 3712)(401am。【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。第 18 页 共 152 页 【分析】 （1）把 2a代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即 2x和 分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。（2）根据区间1，2和绝对值内的式子进行分类讨论，即 1a、 和 a三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当 3a时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的
13、大小，最后用分段函数表示函数的最小值。3.（江苏 2006 年 14 分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1O的距离为多少时，帐篷的体积最大？【答案】解：设 OO1 为 xm，则由题设可得正六棱锥底面边长为 2223(1)8xx底面正六边形的面积为 2 23()6)(8)4xA帐篷的体积为 2 331V()8()(1623xx。求导数，得 2()(1) 。令 ()0x解得 =2(不合题意，舍去)， x=2。当 1时，函数 yt, 2,的图象是开口向上的抛物线的一段，由10t时，
14、1a，此时 ()2ga, 1()2ga 。由 12a解得1a，由 0得 a。综上所述，满足 ()g的所有实数 为 2或 1。【考点】函数最值的应用【分析】 （I）由 t x1先求定义域，再求值域。由 21xt转化。（II）求 ()ga的最大值，即求函数 21, , mtatt的最大值严格按照二次函数求最值的方法进行。（III）要求满足 1()ga的所有实数 ，则必须应用 ()ga的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解。5.（江苏 2007 年 16 分）已知 ,bcd是不全为 0的实数，函数 2()fxbcd，32()gxabxc，方程 ()fx有实根，且 0的实数根都是 ()0
15、gfx的根，反之， ()0f的实数根都是 的根，（1）求 d的值；（3 分）（2）若 a，求 c的取值范围；（6 分）第 21 页 共 152 页 （3）若 1,()0af，求 c的取值范围。 （7 分）【答案】解：（1）设 x是 0f的根，那么 0fx，则 0是 ()g的根，则 ,g即 0g， d。（2） a， 22,fxbcxbc，则 ()fx= x=0 的根也是0fxbc的根。（a）当 ， 0c时，此时 0fx的根为 0，而 ()0gfx的根也是 0，0c。（b）当 ， 时， f的根为 0，而 ()f的根也是 0。（c）当 0， c时， x的根为 0 和 cb，而 xc的根不可能为0 和
16、 b， fxc必无实数根， 240b，由 b解得 04c。综上所述，当 时， c；当 时， 。（3） 1,()af， ，即 fx的根为 0 和 1。 22cxcxc=0 必无实数根。（a）当 0时， t= 2=214cx，即函数 2htct在4ct， ht恒成立。又222 4ctctt， min04cht，即20,164c第 22 页 共 152 页 1603c。（b）当 时， t= 2cx=214cx，即函数 2htct在4ct， 0ht恒成立。又222 4ctctt， min02cht，即24c0，而 0c，240， 不可能小于 0。（c） ,则 ,b这时 fx的根为一切实数，而 0gfx
17、， ,c符合要求。综上所述， 1603c。【考点】函数与方程的综合运用。【分析】 （1）不妨设 0x为方程的一个根，即 0fx，则由题设得 0gfx，从而由0gd求解。（2）由（1）知 22,fxbcgxbc所以有 ()fxfbfxc= 2bxcc=0。而方程 0f。最后按方程的类型，分（）0， ， （） 0， ， （） ， c讨论。（3）由 1,()af得 bc，将函数的系数都用 表示，分 0c， ， 0c三种情况讨论。6.（江苏2008年16分）已知函数 11()3xpf， 22()3xpf（ 12,Rp为常数） 函数()fx定义为：对每个给定的实数 ， 122,()()()ffxff若若
18、（1）求 1()fx对所有实数 x成立的充分必要条件（用 1,p表示） ；（2）设 ,ab是两个实数，满足 ab，且 12,(,)pab若 ()fb，求证：函数 ()fx在区间第 23 页 共 152 页 Oyx(a,f(a)(b,f(b)图 1Oyx(a,f(a) (b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2,ab上的单调增区间的长度之和为 2ba（闭区间 ,mn的长度定义为 nm）【答案】解：（1）由 ()fx的定义可知， 1()fx（对所有实数 x）等价于12f（对所有实数 ）这又等价于 123xppA，即3log23xp对所有实数 均成立. （*）由于 121212()(
19、)()xpxpxR的最大值为 12p，故（*）等价于 13，即 3log，这就是所求的充分必要条件。（2）分两种情形讨论：（i）当 123plog时，由（1）知 1()fx（对所有实数 ,xab）则由 fafb及 pb易知 2ab， 再由111,()3px的单调性可知，函数 f在区间 ,ab上的单调增区间的长度为 2b（参见示意图 1）（ii） 13plog时，不妨设 12,p，则 213logp，于是当 x时，有 11()3()xxff，从而 1()fx；当 2时，有 31212122log()ppppxpfA从而 ()fx ；当 12p时， 11()3xpf，及 22()3pxf，由方程
20、123xppx解得 ()fx与 图象交点的横坐标为1203log 显然 12212()pxpp，这表明 0在 1与 之间。由易知第 24 页 共 152 页 101022(),()pxffx。综上可知，在区间 ,ab上， 012(),()axff b （参见示意图 2）故由函数 1()fx及 2f的单调性可知， ()f在区间 ,上的单调增区间的长度之和为012()xpb，由于 ()f，即 123pabp，得3loga故由、得 012123()()log2baxpb。综合（i） （ii）可知， f在区间 ,a上的单调增区间的长度和为 。【考点】指数函数综合题。【分析】 （1）根据题意，先证充分性
21、：由 ()fx的定义可知， 1()fx对所有实数成立，等价于2fxf对所有实数 x成立，等价于 123pxpA，即 23log23px对所有实数 均成立，分析容易得证。再证必要性： 123log23xp对所有实数 x均成立等价于 12p，即12logp。（2）分两种情形讨论（i ）当 123plog时，由中值定理及函数的单调性得到函数()fx在区间 ,ab上的单调增区间的长度；（ii） 123pl时， ,ab是两个实数，满足 ab，且 12,(,)ab，根据图象和函数的单调性得到函数 ()fx在区间 上的单调增区间的长度。7.（江苏 2009 年 16 分）设 a为实数，函数 2()fxax.
22、学科网(1)若 (0)1f，求 的取值范围； 学科网(2)求 x的最小值； 学科网(3)设函数 (), +hfxa，直接写出( 不需给出演算步骤)不等式 ()1hx的解集.【答案】解（1）若 (0)1，则 |1第 25 页 共 152 页 当 0a时， 21， a；当 时， 无解。 的取值范围为 。（2）当 xa时， 22()3,fxax2min()0()3faf；当 时， 22(),f 2in()()0ffa综上2min0()3afx。（3）当 26(,)a时，解集为 (,)a;当 (,)时，解集为2233(,)aa;当 2,a时，解集为2,)a。【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法
23、。【分析】 （1） (0)|1fa再去绝对值求 a的取值范围。（2）分 x和 两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，最后综合即可。（3） ()1h转化为 22310xa，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。 (,)xa时，由 ()得 22x， 22418a当 6或 时， 0,(,)；当 2a时，0,得：2233()0aaxx。因此，讨论得：当 6(,)时，解集为 (,);第 26 页 共 152 页 当 62(,)a时，解集为2233(,)aa;当 ,时，解集为2,)。8.（江苏 2010 年 16 分）设 )(xf是定义在区间 ,
24、1(上的函数，其导函数为 )(xf。如果存在实数a和函数 )(xh，其中 对任意的 )都有 )xh0，使得 )1)(2ahf ，则称函数 f具有性质 )(aP。(1)设函数 )(x2ln1)bx，其中 b为实数。(i)求证：函数 f具有性质 (； (ii)求函数 )(xf的单调区间。(2)已知函数 )(xg具有性质 )2P。给定 1212,x设 m为实数，21m， (m，且 ，若| )(|0，对任意的 )(都有 ()0x， ()g在 ,)上递增。又 1212,xm，当 ,m时， ，且11212()()()()xxx，第 28 页 共 152 页 综上所述，所求 m的取值范围是（0，1） 。【考
25、点】利用导数研究函数的单调性。【分析】 （1）(i)先求出函数 )(xf的导函数 ()fx，然后将其配凑成 21f(x)h(bx)这种形式，再说明 h(x)对任意的 （1，+）都有 h0，即可证明函数 具有性质 P；(ii)设 2bx，分 2和 b两种情况讨论：根据(i)令 2()1xb，讨论对称轴与 2 的大小，当 时，对于 1， ()x0，所以 ()fx0，可得 f）在区间（1，+ ）上单调性，当 时， ()图象开口向上，对称轴 12b，可求出方程 ()x=0 的两根，判定两根的范围，从而确定 x的符号，得到 ()fx的符号，求出单调区间。（2）对 )(xg求导，由已知条件，应用不等式的性
26、质求解。9.（江苏 2011 年 14 分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB= xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问 x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3）最大，试问 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【答案】解：设包装盒的高为 )(cmh，底面边长为 )(cma。A60EFBxxCDP
27、第 29 页 共 152 页 由已知得 602 30 30xax,h(x),。（1） 1858)(842S ，当 5x时，S 取得最大值。（2） 22()(60)(30)30)Vxx， 620Vx。由 0得， (舍)或 。当 x,时 ；当 x,时 V，当 20时取得极大值，也是最大值，此时2x12ha乙60，即包装盒的高与底面边长的比值为 21。【考点】建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用【分析】 （1）可设包装盒的高为 )(cmh，底面边长为 )(cma，写出 a， h与 x的关系式，并注明 x的取值范围再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S 关于 x的函数解析式，最后求出何时它
28、取得最大值即可。（2）利用体积公式表示出包装盒容积 V 关于 的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可。10.（江苏 2011 年 16 分）已知 a， b是实数，函数 32f(x)a,g(x)b, )(xf和 g是)(,xgf的导函数，若 0)(xgf在区间 I 上恒成立，则称 f和 在区间 I 上单调性一致.（1）设 0a，若函数 )(f和 在区间 ),1上单调性一致,求实数 b的取值范围；（2）设 ,且 b，若函数 xf和 (g在以 a， b为端点的开区间上单调性一致，求| a b|的最大值.【答案】解：由 32f(x)a,() 得 232f(x)a,g(x)b 。（1）由题
29、意得 0xgf，在 ,1上恒成立。 0a， 2()。 2g(x)b，即 在区间 ,上恒成立。第 30 页 共 152 页 2b， 的取值范围是 ,2。（2）令 0)(xf，解得 3ax。若 b，由 a得 ),(b。又 )(gf，函数 )(xf和 g在 ),(ba上不是单调性一致的。 0。当 3,ax时， 0)(xg， )(xf。函数 )(xf和 g在 ),(ba上不是单调性一致的。当 03ax,时， 0)(xg， f(x)。函数 )(xf和 g在 ),(ba上是单调性一致的。由题设得 3a且 3ab，从而 01a，于是 031b。 1ba，且当 0,1时等号成立。又当 0,3时， 91(6)(2xgxf )，从而当 ,1x时， 0f，函数 (f和 )xg在 0,31上单调性一致的。 ba的最大值为 3。【考点】单调性概念，导数运算及应用，含参数不等式恒成立问题。【分析】 （1）先求出函数 )(xf和 g的导函数，再利用函数 )(xf和 g在区间1，+ ）上单调性一致即 0)(gxf在-1，+）上恒成立，以及 230a，来求实数 b的取值范围。（2）先求出 f的根 ax，讨论 b的取值范围，得到 。再讨论3,ax和 03ax,时两个单调性一致的情况，从而求得| ba|的最大值。
