1、2013 年全国高考数学试题分类汇编：数列一、选择题1（2013 年高考上海卷（理） ）在数列 中, ,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元na21n素 ,( )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ),ijijijaa1,27;ij A.18 B.28 C.48 D.63【答案】A. 2（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知数列 满足na,则 的前 10 项和等于12430,3nanaA. B. C. D.161039103103+【答案】C 3（2013 年高考新课标 1（理） ）设 的三边长分别为 , 的面积为 ,
2、nABCnabcnABCnS,若 , ,则( )1,23n 1,2bca11,22ncbA.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S 2n为递减数列 D.S2n-1为递减数列,S 2n为递增数列【答案】B 4（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）函数 的图像如图所示,在=()yfx区间 上可找到 个不同的数 使得 则 的取值范围是,ab(2)n12,.,nx12()()=,nffxfxA). B. C. D.3,42,343,452,3【答案】B 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）
3、）已知等比数列 的公比na为 q,记 (1)(1)2(1).,nmnmnbaa则以下结论一定正确的是( )*(1)()2().,nmc N AA.数列 为等差数列,公差为 B.数列 为等比数列,公比为nbmqnb2mqC.数列 为等比数列,公比为 D.数列 为等比数列,公比为c2c【答案】C 6（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）等比数列 na的前n项和为 nS,已知 1230a, 95,则 1aA.31 B. C. D. 91【答案】C 7. （2013 年高考新课标 1（理） ）设等差数列 的前 项和 ,则 ( )na11,2,0,3nm
4、mSSA.3 B.4 C.5 D.6【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）下面是关于公差 的0d等差数列 的四个命题: 其中的真命题为( )na1:p数 列 是 递 增 数 列 ； 2:npa数 列 是 递 增 数 列 ；3:n数 列 是 递 增 数 列 ； 4:3nd数 列 是 递 增 数 列 ；A. B. C. D.12,p34,p23,p14,p【答案】D 9. （2013 年高考江西卷（理） ）等比数列 x,3x+3,6x+6,的第四项等于( )A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 10. （2013 年高考四川卷（理
5、） ）在等差数列 中, ,且 为 和 的等比中项,求数列na2184a23的首项、公差及前 项和.nan【答案】解:设该数列公差为 ,前 项和为 .由已知,可得 .所dns21111, 8dad以 , 解得 ,或 ,即数列 的首相为 4,公11430a140a3an差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 项和 或 n4s2n11. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）等差数列 na的前n项和为 nS,已知 105,2S,则 n的最小值为_.【答案】 4912. （2013 年高考湖北卷（理） ）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各
6、种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第 个三角形数为 .记第 个 边形数为 ,以下列出n21nnk,Nnk3了部分 边形数中第 个数的表达式:k三角形数 2,3N正方形数 4n五边形数 21,5n六边形数 6N可以推测 的表达式,由此计算 _.nk10,24【答案】1000 13. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）在正项等比数列 中, , ,则满足 的最大正整数 的值为na215376a nnaa 2121n_.【答案】12 14. （2013 年高考湖南卷（理） ）设 为数列 的前 n 项和, 则nS(),2nnSN(1
7、) _; (2) _.3a1210【答案】 ; 160()15. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）当 时,有如下表1xR达式: 两边同时积分得:211.nxxx1 12222200000.ndddx从而得到如下等式: 31()().().ln2.n请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算: 0122311()().()_2 2nnnnCC【答案】 316. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）已知 na是等差数列, 1a,公差 0d, nS为其前 项和,若 125,a成等比数列,则 8_S【答案】 64 17.
8、（2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 项和 _.nn=S【答案】 257618. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）在等差数列 中,已知na,则 _.3810a573a【答案】 219. （2013 年高考陕西卷（理） ）观察下列等式: 213262410照此规律, 第 n 个等式可为_ _. )1(2)-n1-32- n（）（【答案】 )()n1-32-112n（）（20. （2013 年高考新课标 1（理） ）若数列 na的前 n 项和为 Sn= 213a,则数列 n
9、a的通项公式是na=_.【答案】 n= 1(2). 21. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版） ）如图,互不-相同的点和 分别在角O的两条边上,所有 相互平行,且所有梯形12,nAX 12,nB nAB的面积均相等.设 若 则数列 的通项公式是_.1n .nAa12,a【答案】 *,23Nnan22. （2013 年高考北京卷（理） ）若等比数列 an满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_;前 n 项和Sn=_.【答案】2, 1223. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知等比数列 是递增数列,n
10、a是 的前 项和,若 是方程 的两个根,则 _.nSan13a， 2540x6S【答案】63 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）设函数,证明:22()1(,)3nnnxxfxRN()对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;nN13n(0nfx()对任意 ,由()中 构成的数列 满足 .px1np【答案】解: () 是224322 )(0 nxxxfnyn 是 单 调 递 增 的时 ，当x 的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. . 01)(,01nnff且0)(,10( 32nn xxxfx ， 且满 足存 在 唯 一 xf nnn 14142
11、),.( 222432时当,30)3(14)(0 nnnnn xxxxf综上,对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;(证毕) N2nnf() 由题知 0431)(,01 222 nxxxfx nnnpn )()1(432)( 22222 pxf npnpnpppnpn 上式相减: 2212242322432 )()(nxnxxxnxx ppppnpnnn ）（）（ 221224232 )()(- pnpnpnppnpn . nxnpp1-1方法二: 25. （2013 年高考上海卷（理） ）(3 分+6 分+9 分)给定常数 ,定义函数 ,数0c()2|4|fxcxc列 满足 .123,a *1()
12、,nnafN(1)若 ,求 及 ;(2)求证:对任意 ,;c23 *1,nac(3)是否存在 ,使得 成等差数列?若存在,求出所有这样的 ,若不存在,说明理由.11,n 1a【答案】:(1)因为 , ,故 , 0c()ac211()|4|2afcc312()|4|0f c(2)要证明原命题,只需证明 对任意 都成立, ()fxcxR()2|4|fxc即只需证明 |+xc若 ,显然有 成立; 0xc|=0xc若 ,则 显然成立 2|4| 4xcxc综上, 恒成立,即对任意的 , ()f*nN1na(3)由(2)知,若 为等差数列,则公差 ,故 n 无限增大时,总有 na0dc0na此时, 即 1
13、()24)()8nnfdc故 , 即 , 2111|cac1112|4|8c当 时,等式成立,且 时, ,此时 为等差数列,满足题意; 10ac2n0nna若 ,则 , 11|4|8acac此时, 也满足题意; 238,()n综上,满足题意的 的取值范围是 . 1,c26. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 10 分.设数列 ,即当12,344na： ， -， ， -， ， -， ， ， -1-1kk 个（ ） ， ， （ ）时, ,记 ,对于 ,定kk（ ） （ ） N1kna（ ） 12nnSa Nl义集合 lP
14、nSl是 的 整 数 倍 ， ， 且(1)求集合 中元素的个数;1(2)求集合 中元素的个数.20【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 的定义得: , , , , , , , ,na1a23a435a647a8, , 49a1051a , , , , , , , , , ,S23S0435S627S869S1051 , , , , 1a44051a66211a集合 中元素的个数为 5 P(2)证明:用数学归纳法先证 )()12(iSi事实上, 当 时, 故原式成立 1i 3)(3)12(i
15、 假设当 时,等式成立,即 故原式成立 m)12()12( mSm则: ,时, i2222)12(32)(11)(2 )()1()()() mSSm5综合得: 于是 )()12(ii)1(2)1()2(12)( iiiSii由上可知: 是 的倍数 (i)而 ,所以 是 ),112)(ijaji )()12()12(ijSiji的倍数 )2,)(iji又 不是 的倍数, (12)(iSi i而 )2,1)(jaji 所以 不是 的)2()1()2()12( ijiiSiji )2,1(12)( ijai倍数 故当 时,集合 中元素的个数为 )(illP2i-3）（于是当 时,集合 中元素的个数为
16、 ）（ 1i2j12lPj又 4730）（故集合 中元素的个数为 20P108473227. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在公差为 的等差数列d中,已知 ,且 成等比数列.na10325,a(1)求 ; (2)若 ,求dd.|321na【答案】解:()由已知得到: 2 2131()54()50()()5()aadd; 241346nnddaa或()由(1)知,当 时, , 0na当 时, 1n23123(10)(21)|nnaaaAA当 时, 1 12132231230| ()(10()()n nnaaa AAA所以,综上所述: ; 1232
17、(,()|10,12nan28. （2013 年高考湖北卷（理） ）已知等比数列 满足: , .na2310a235(I)求数列 的通项公式;na(II)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求 的最小值;若不存在,说明理由.m121maa【答案】解:(I)由已知条件得: ,又 , , 50q13q或所以数列 的通项或 na23nn(II)若 , ,不存在这样的正整数 ; 1q2105maa 或 m若 , ,不存在这样的正整数 . 3129913129. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）设等差数列 na的前 n 项和为nS,且 42, na.()求数列 的通项
18、公式;()设数列 nb前 n 项和为 nT,且 12na( 为常数).令 2ncb*()N.求数列 nc的前 n项和 R.【答案】解:()设等差数列 na的首项为 1,公差为 d, 由 42S, 1na得 11684()()dd, 解得, 1a, 2 因此 n*()N()由题意知: 12nnT所以 2时, 112nnnb故,121()4nnnc*()N所以01231()()()4 4nnR , 则1231()()()()()4nnn 两式相减得12313()()()(4444nnnR1()(4n整理得 13()9nnR所以数列数列 nc的前 n 项和 13(4)9nnR30. （2013 年普
19、通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 16 分.设 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和.记 , ,其nad)0(dnScnSb2*N中 为实数.c(1)若 ,且 成等比数列,证明: ( );0421b或 knkS2*,N(2)若 是等差数列,证明: .nb0c【答案】证明: 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和 nad)0(dnS dSn2)1(1) 0cdanSb21 成等比数列 421或 41b)23()2(dada 0da0)2(1da1a nnnS 22)(左边= 右边= kk2 akS左边=右边原式成
20、立 (2) 是等差数列设公差为 , 带入 得: nb1d11)(dnbncnSb2 对 恒成立 11)(dcSn2 )()2( 11131 bda Nn 0)(21011bdcad由式得: 2d01由式得: 法二:证:(1)若 ,则 , , . 0cdnan)(2)1(adnS2)1(adnb当 成等比数列, , 421b或 412b即: ,得: ,又 ,故 . 3dadad20ad由此: , , . nS2knk22)( knS2故: ( ). k*N(2) , cnadcnSb22)1adnad22)1()()1(. () cnadn2)1(2)(若 是等差数列,则 型. nbBAb观察(
21、)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有: ,即 ,而 0, 02)1(cnad02)1(adnc2)1(adn故 . 0c经检验,当 时 是等差数列. nb31. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）等差数列 的前na项和为 ,已知 ,且 成等比数列,求 的通项式.nnS23=a124Sna【答案】32. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）已知首项为 的等比数列32不是递减数列, 其前 n 项和为 , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. na(*)nSN() 求数列 的通项公式;
22、 na() 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值. *()1nTSnT【答案】33. （2013 年高考江西卷（理） ）正项数列a n的前项和a n满足: 22(1)()0nnss(1)求数列a n的通项公式 an;(2)令 ,数列b n的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有21()bnT*N564nT【答案】(1)解:由 ,得 . 2(1)()0nnSS2()(10nnSS由于 是正项数列,所以 . na0,于是 时, . 12221(1)()nna综上,数列 的通项 . n(2)证明:由于 . 22,()nnnaba则 . 222114()6()nb2222221163435()()
23、()nTnn . 22221115()6()()64n34. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设数列 的前 项和为na.已知 , , .nS1a213nSan*N() 求 的值;2() 求数列 的通项公式;n() 证明:对一切正整数 ,有 .1274naa【答案】.(1) 解: , . 23nSN当 时, 1n122a又 , a24(2)解: , . 213nSnN 21 122 3n nnaa当 时, 1nnS由 ,得 121nnnanaS1n数列 是以首项为 ,公差为 1 的等差数列. na1a21,n na当 时,上式显然成立. *,aN(
24、3)证明:由(2)知, 2*,na当 时, , 原不等式成立. 1n74当 时, , 原不等式亦成立. 2n1274a当 时, 321,1nnn22121 1342naa n 11134352n112717424nn当 时, 原不等式亦成立. 3综上,对一切正整数 ,有 . 12naa35. （2013 年高考北京卷（理） ）已知 an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项 , ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn .1n2(I)若 an为 2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为 4 的数列(即对任意 nN *, ),写出 d1,d2,d3,
25、d4的值;4na(II)设 d 为非负整数,证明: dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为 an为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则 an的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.【答案】(I) 1234,.(II)(充分性)因为 是公差为 的等差数列,且 ,所以 nad0d12.naa 因此 , , . nA1B1(23)nan(必要性)因为 ,所以 . 0(,23)nd nAB又因为 , ,所以 . 于是 , . a1n1nna1因此 ,即 是公差为 的等差数列. 1nBAdad(III)因为 ,所以 , .故对任意 . 12d
26、1211BA1,naB假设 中存在大于 2 的项. (2)na设 为满足 的最小正整数,则 ,并且对任意 ,. mm1,2kma又因为 ,所以 ,且 . 11mA2a于是 , . 2mBd1in,mB故 ,与 矛盾. 110d所以对于任意 ,有 ,即非负整数列 的各项只能为 1 或 2. nnana因此对任意 , ,所以 . 故 . 122nA2nBAd因此对于任意正整数 ,存在 满足 ,且 ,即数列 有无穷多项为 1. mma36. （2013 年高考陕西卷（理） ）设 是公比为 q 的等比数列. na() 导 的前 n 项和公式; () 设 q1, 证明数列 不是等比数列. 1na【答案】
27、解:() 分两种情况讨论. .1 111 aSaaq nn 的 常 数 数 列 ， 所 以是 首 项 为时 ， 数 列当 . nnn qaqS 2121 时 ，当上面两式错位相减: .)()()()- 113121 nnnqq（. aSnn-(.-11综上, )1(,)(,1qqnn() 使用反证法. 设 是公比 q1 的等比数列, 假设数列 是等比数列.则 na na当 =0 成立,则 不是等比数列. 1*naN， 使 得 1当 成立,则 0*nn， 使 得 恒 为 常 数1nnqa.这与题目条件 q1 矛盾. 1,111 aqa时当综上两种情况,假设数列 是等比数列均不成立,所以当 q1 时, 数列 不是等比数列. 1na 1na
