中考数学专题复习16 矩形折叠问题.doc

1、1中考数学专题复习16 矩形折叠问来源：家学网 【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】 2012年05月18日2012中考数学专题复习16矩形折叠问题一.知识要点折叠问题实质是轴对称问题，其主要特征有：1图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等。2点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。问题化归：1 直角三角形的三边关系（勾股定理）2 图形（三角形或四边形）的面积3 相似三角形的对应边成比例。由以上等量关系得出方程解决问题。二.例题精选 例1在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=10，将图形沿着 AE 对折，使得 D 点落在 BC 边上的 F 处，试求 EC 的长.2思

2、路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度）例2在长方形 ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着 AC 对折，如图所示：（1）请说明ABF CFF （2）求思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了. 例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。（1）说明 DE=DF3（2）求（3）求 EF 的长度思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路： 可说明全等； 可说明D

3、EF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰例4 如图，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P， 连接 EP(1)如图，若 M 为 AD 边的中点， ,AEM 的周长=_cm； 求证：EP=AE+DP；(2)随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置(点 M 不与 A、D 重合)，PDM 的周长是否发生变化?请说明理由思路分析：（1）设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在 RtAEM 中

4、，运用勾股定理求 AE；过点 F 作 FGAB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点 M 关于 EF对称，即 BMEF，又 AB=FG，A=EGF=90，可证ABMGFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设 AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在 RtAEM 中，由勾股定理得出 x、y 的关系式，可证 RtAEMRtDMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求DMP 的周长三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开4后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）.A2 B22 C12 D182.

5、如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点，BEG60，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，则与BEG 相等的角的个数为( )A4 B3 C2 D13.如图所示，把一长方形纸片沿 MN 折叠后，点 D， C 分别落在 D ， C 的位置若 AMD 36，则 NFD 等于（ ）（A）144 （B）126 （C）108 （D）724.如图，矩形纸片 ABCD 中， AB4， AD3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为DG，记与点 A 重合点为 A，则 A BG 的面积与该矩形的面积比为（ ）5A B C D

6、第4题图 第5题图5.如图，四边形 ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的处，点 A 对应点为 ，且 =3，则 AM 的长是（ ）A1.5 B2 C2.25 D2.56. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A，D处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）A18cm B36cm C40cm D72cm7. 如图，将边长为8的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN

7、，则线段 CN 的长是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm68. 小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图， ADCD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD边上的点 F 处，折痕为 AE（如图） ；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG（如图） 如果第二次折叠后， M 点正好在 NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 9.如图矩形纸片 ABCD，AB5cm，BC10cm，CD 上有一点 E，ED2cm，AD 上有一点P，PD3cm，过 P 作 PFAD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使

8、P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交于Q 点，则 PQ 的长是_cm.10.如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置， AB与 CD 交于点 E.（1）试找出一个与 AED 全等的三角形，并加以证明.（2）若 AB=8， DE=3， P 为线段 AC 上的任意一点， PG AE 于 G， PH EC 于 H，试求PG+PH 的值，并说明理由.思维拓展：71. 如图，折叠矩形的一边 AD，折痕为 AE，点 E 在边 CD上，折叠后点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，AD=10cm，求 AE 的长.2.如图，四边形 OABC 是一张放在平面

9、直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA的点 D 处已知折痕 ,且 ，求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；83.已知：在矩形 AOBC 中，OB=4,OA=3分别以OB,OA 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系F 是边 BC 上的一个动点（不与 B,C 重合） ，过 F 点的反比例函数 的图象与 AC 边交于点 E请探索：是否存在这样的点 F，使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由4.如图，在矩形 ABCD 中， AB=3,AD=1

10、,点 P 在线段 AB 上运动，设 AP= ，现将纸片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、 F 为折痕与矩形边的交点） ，再将纸片还原。（1）当 时，折痕 EF 的长为 ；当点E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为 ；（2）请写出使四边形 EPFD 为菱形的 的取值范围，并求出当 时菱形的边长；（3）令 ，当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时，写出 与 的函数关系式。当 取最大值时，判断 与 是否相似？若相似，求出 的值；若不相似，请说明理由。95.问题解决如图（1） ，将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合） ，压平后 得到折痕 当 时，求 的

11、值类比归纳在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ；若 （ 为整数） ，则 的值等于 （用含 的式子表示）10联系拓广如图（2） ，将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合） ，压平后得到折痕 设 则的值等于 （用含 的式子表示）参考答案例1 由题意可得：AD=BC=10，又由折叠可知：AF=AD=10 DE=EF 在 RtABF 中，根据勾股定理可得： BF=6， FC=10-6=4。 设 DE= ，则 ，故，在 RtCEF 中，根据勾股定理可得： ，解得： 即：DE=5另解：本题亦可以由长方形的面积 S 长方形 ABCD=SABF +SADE +SAEF +SEC

12、F 列出方程：11解得例2 解：（1）由题意可得：AD=BC=8，CD=AB=4又由折叠可知：AE=AD=8，CE=CD=4，E=D=90在ABF 与CEF 中：B=E=90 AFB=CFE（对顶角相等）AB=CE=4 ABF CFF（AAS）（2） ABF CFF，AF=FC，BF=EF设 EF= ，则 BF= ， 在 RtCEF 中，由勾股定理可得：解得： 即 EF=3此题中对于ABF，同样可以通过设未知数，利用勾股定理求解。例3 解：（1）方法一：由题意可得：CD=AB=3，ADC=90由折叠可得：DG=CD=3，G=C=90，GDF=B=90 1+2=90，3+2=90 1=312故在

13、DEG 与DCF 中：G=C（已证）DG=CD（已证） DEGDCF（ASA）1=3（已证） DE=DF方法二： 长方形 ABCD ADBC 4=6（两直线平行，内错角相等）又由折叠可知4=5 5=6（等量代换） DE=DF（等角对等边）（2）求 13解：由折叠可知：EG=AE设 ，则 ，故在 RtDEG 中，根据勾股定理可得：解得： 故 EG DE=例4 14能力训练答案1.B 2. B 3. B 4. C 5. B 6. B 7. A 8. 9. 10.（1） AED CEB证明：四边形 ABCD 是矩形， BC=B C=AD， B= B= D又 B EC= DEA AED CEB（2）延

14、长 HP 交 AB 于 M，则 PM AB1=2， PG AB PM=PG CD AB2=3151=3 AE=CH=8-3=5在 Rt ADE 中， DE=3AD= =4 PH+PM=AD PG+PH=AD=4.思维拓展答案：1.52.(16,0)3. 设存在这样的点 F，将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 边上的 M 点，过点 E 作 ENOB，垂足为 N由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3- 1/4k，EMN+FMB=FMB+MFB=90，EMN=MFB又ENM=MBF=90，EMNMFB EN/MB=EM/MF， 3/MB=(4-1/3k)/(

15、3-1/4k)=4(1-1/12k)/3(1-1/12k)，MB= 9/4MB+BF=MF， (9/4)+(k/4)=(3-1/4k)，解得 k= 21/8BF= k/4=21/32存在符合条件的点 F，它的坐标为（4， 21/32） 4. 解：（1）3， （2） 当 时，如图1，连接 ，为折痕， ，令 为 ，则 ，在 中， ，16，解得 ，此时菱形边长为 （3）如图2，过 作 ，易证 ，当 与点 重合时，如图3，连接 ， ，显然，函数 的值在 轴的右侧随 的增大而增大，当 时， 有最大值此时 ， 综上所述，当 取最大值时， ，175.解：方法一：如图（1-1） ，连接 由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称 垂直平分 四边形 是正方形， 设 则在 中， 解得 ，即在 和在 中， ，设 则 解得 即 分方法二：同方法一，如图（12） ，过点 做 交 于点 ，连接18 四边形 是平行四边形同理，四边形 也是平行四边形在 与 中类比归纳（或 ） ； ； 19联系拓广相关推荐 中考数学专题复习16矩形折叠问 2012-05-18 中考数学