中考数学专题复习——折叠剪切问题.doc

1、C DEBA图 （2）中考数学专题复习折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则CBD 的度数为（ ）A60 0 B75 0 C90 0 D95 0答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在 D、C的位置，若EFB65，则AED等于（ ）A50 B55 C60 D65答案：A 【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形，其中 度.答案：36二、折叠后求面积【4】

2、如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为AE，再将AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则CEF 的面积为（ ）A4 B6 C8 D10图（1）第 3 题图答案：C【5】如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A2 B4 C8 D10答案：B【6】如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB6cm，AD8cm，E 是 AD 上一点，且 AE6cm。操作：（1）将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与

3、AE 重合，得折痕 AF，如图 b；（2）将AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图 c。则GFC 的面积是（ ）EA A ABB BC C CGD D DFFF图 a 图 b 图 c第 6 题图A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 BC，则 CE 的长是（ ）（A） 103 （B） 103 （C） 5 （D） 2答案：D四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着

4、图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（ ）A矩形 B三角形 C梯形 D菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ） A. B. C. D. 答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )AB CDEF第 7 题图第 8 题图第 9 题图第 10 题图答案：D【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（

5、）答案：C【12】如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）答案：C【13】 如图，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边，ADBC，AD=BC. 将此三角形纸片沿 AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）A. 1 B. 2第 14 题图A B C D图 3图 1第 12 题图C. 3 D. 4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_

6、.”答案：180【15】从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形(如图 1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图 2)，上述操作所能验证的等式是（ ）A.a2b2 =(a+b)(a-b) .(ab) 2 = a22ab+b2 .(a+b) 2 = a2 +2ab+ b2 .a 2 + ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 ABa cm，宽 BCb cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折后，矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则 ab 等于（ ）A 1:2 B 2:1 C 1:3 D

7、 3:答案：A六、折叠和剪切的应用【17】将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图）.（1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DEDMEM=345；第 15 题图 （1）第 17 题图（2）A BCDEFMG第 19 题图（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问CMG 的周长是否与点 M 的位置有关？若有关，请把CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出 DE= AD83， M21， ADE85后证之.（2）注意到DE

8、MCMG，求出CMG 的周长等于 4a，从而它与点 M 在 CD 边上的位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?答案： 21.【19】用剪刀将形状如图 1 所示的矩形纸片 ABCD 沿着直线 CM 剪成两部分,其中 M 为 AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图 2 中的 RtBCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 RtBCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内 .(2)若利用这两部分纸片

9、拼成的 RtBCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边 AB和 BC 的长分别为 a 厘米、b 厘米,且 a、b 恰好是关于 x 的方程01)(2mx的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积 .答案：（1）如图（2）由题可知 ABCDAE，又 BCBEABAEBC2AB， 即 ab2由题意知 ,是方程 01)(mx的两根EBACBA MCDM图3图4图1图2 第 21 题图BACBA MCEM图3图 4E第 21 题答案图 12ma 消去 a，得 0732 解得 7或经检验：由于当 21， 23a，知 21m不符合题意，舍去.7m符合题意. 8abS矩 形答：原矩形纸片的面积为 8cm2.【20

10、】电脑 CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种 CPU 蕊片，需要长、宽都是 1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为 10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）答案：可以切割出 66 个小正方形。 方法一：（1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为 10.05cm 的圆内，如图中矩形 ABCD。AB1 BC10对角线 2AC1001101 205. （2）我们在矩形 ABCD 的上方和下方可以分别放入 9 个小

11、正方形。GFHEDCBA新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH，矩形 EFGH 的长为 9，高为 3，对角线 90813922EG 25.。但是新加入的这两排小正方形不能是每排 10 个，因为：10102 5. （3）同理： 64582 2.9 01可以在矩形 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方形已有了 5 层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7，那么新加入的这两排，每排都可以是 7 个但不能是 8 个。 98472 205.1368 （5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是

12、 9，这两层，每排可以是 4 个但不能是 5 个。 978192 205.6现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5cm 的空间，因为矩形 ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。102928272466（个） 方法二：学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内，然后：（1）上下再加一层，每层 8 个，现在共有 6 层。（2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层。（3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共 10 层。这样共有：4928262166（个）【21】在一张长 12c

13、m、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对 边中 点 的 方 法 折 出 菱 形 EFGH（ 见 方 案 一 ） ， 张 丰 同 学 沿 矩 形 的 对 角 线 AC 折 出 CAE= DAC， ACF= ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一）4152562AEHSS矩 形菱 形30(cm) （方案二）设 BE=x，则 CE=12-x 225AEBx由 AECF 是菱形，则 AE2=CE225(1)x942ABESS矩 形菱 形 =19543.(m) 比较可知，方案二张丰同学所折的菱

14、形面积较大. 【22】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：A DEHFB CG（方案一）A DEFB C（方案二）第 23 题图第 24 题图（1）仿上面图示的方法，及韦达下列问题：操作设计：（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。答案：（1） （2）略。【23】如图，O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1 次剪裁，将圆形纸板等分为 4 个扇形；第 2 次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成

15、 4 个扇形；以后按第 2 次剪裁的作法进行下去 .(1)请你在O 中，用尺规作出第 2 次剪裁后得到的 7 个扇形(保留痕迹，不写作法).(2)请你通过操作和猜想，将第 3、第 4 和第 n 次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 n所得扇形的总个数(S) 4 7 (3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成 33 个扇形？为什么？第 24 题图（2） 第 24 题图（3）方法一： 方法二：第 24 题答案图（1） 第 24 题答案图（2）第 25 题图O答案：(1)由图知六边形各内角相等.(2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数

16、是奇数时(或当边数是 3，5，7，9，时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.【24】如图，若把边长为 1 的正方形 ABCD 的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形 A1B1C1D1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的 95，请说明理由(写出证明及计算过程 ).答案：剪法是：当 AA1=BB1=CC1=DD1= 3或 2时，四边形 A1B1C1D1 为正方形，且 S= 95.在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=1，A= B=C= D=90.AA 1=BB1=CC1=DD1，A 1B=B1C=C1D=D1A.D 1AA1A 1BB1B 1CC1

17、C 1DD1.D 1A1=A1B1=B1C1=C1D1，AD 1A1= BA1B1=CB 1C1=DC 1D1.AA 1D+BA 1B1=90，即D 1A1B1=90.四边形 A1B1C1D1 为正方形.设 AA1=x，则 AD1=1x.正方形 A1B1C1D1 的面积= 95，S AA1D1 =9即 2x(1x)= ，整理得 9x29x+2=0.解得 x1= 3，x 2= .当 AA1= 时，AD 1= ，当 AA1= 时，AD 1= .当 AA1=BB1=CC1=DD1= 3或 2时，四边形 A1B1C1D1 仍为正方形且面积是原面积的 95.折叠问题专题研究上虞市滨江中学 潘建德一、教学

18、目标：1、理解折叠问题的本质2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本的导向二、教学重点：通过动手操作、应用轴对称性解决折叠问题三、教学难点：折叠型综合题的分析四、教学过程：1、引入：出示 08 绍兴 8 题：将一张纸第一次翻折，折痕为 （如图 1），第二次翻折，折痕为AB（如图 2），第三次翻折使 与 重合，折痕为 （如图 3），第四次翻折使 与PQPAQPCPB重合，折痕为 （如图 4）此时，如果将纸复原到图 1 的形状，则 的大小是（ ）ADDA B C D096045此题凸显的主题是图形的折叠，折叠问题在近几年的中考中越来越常见，据统计

19、，在 08 年我省 11个地区的中考卷中有 7 个地区都出现了折叠型考题，其中有 5 个地区中考卷的压轴题是折叠型问题，包括绍兴地区，折叠问题已成为中考的热门问题之一点出课题2、解题策略（一）重过程“折”（1）如何迅速且准确地解决 08 绍兴卷第 8 题？（学生：动手折一折）学生动手操作，后教师归纳：题型一：考察空间想象能力与动手操作能力的实践操作题解题策略：重过程“折”（2）学生进一步尝试题 2：（2008 山东东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然A B C DAB CDFE后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是（ ）3、解题策略(二)重本质“叠”（1）本质探究

20、：题 3：如图，长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使 D 落在边 BC 上的 F 点处，如果BAF=30，AD=2，则DAE=_，EF=_学生解决后讲解方法，教师：显然，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质那么折叠的本质是什么呢？学生讨论后教师归纳：折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质根据轴对称的性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角的相等）；（2）点的轴对称性：互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有 Rt，可应用勾股定理得方程）（2）初步应用：题 4：08 丽水 8

21、：如图，在三角形 ABC中， ， D、E分别是 AB、 C上的点， ADE沿线段 翻折，使点 落在边 上，记为若四边形 是菱形，则下列说法正确的是 （ ）A D是 的中位线 B 是 边上的中线 C 是 边上的高 D 是 的角平分线分析：此题虽有多种说明方法，即可应用折叠的全等性得到，也可根据折叠的点轴对称性得到（3）题 5：09 绍兴市属期末 23（本题满分 12 分）课堂上，老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形 ABCD 纸片中，AD25cm, AB 20cm 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长(1) 如图 1, 折痕为 AE;

22、(2) 如图 2, P，Q 分别为 AB，CD 的中点，折痕为 AE;(3) 如图 3, 折痕为 EFAB CDEA（第 8 题）分析：题（1）题（2）主要应用折叠的全等性，题（3）连结对称点的连线 BD，根据折叠中点的轴对称性得 EF 是 BD 的中垂线，BO= ，同时根据矩形的中心4125对称性知，EF=2E0，在 RtCDE 中，根据勾股定理可解得 DE= ,根据折叠全等性得 BE=DE= ,在 RtBOE 中根据勾股定理得 EO= ,故 EF= 由此241412题得心得：在解决折叠类计算题时，根据 Rt的勾股定理应用方程思想是常用方法题后说明：此题（2）是课本习题原题，（1）、（3）都

23、根据课本原题改变而成根据课本原题改变成中考题，是中考卷出题的一个新的方向，所以我们在中考复习中仍应以“本”为本，不断对课本习题进行探索和挖掘（4）题 6：08 绍兴 24 题（2）（3）（简述）：将一矩形纸片 放在平面直角坐标系中，OABC， ，(0)O， ()A， ， 3C， PtOQt（1）当 时，如图 1，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，求点tP D的坐标；D（2）连结 ，将 沿 翻折，得到 ，如图 2问： 与 能否垂A EQ PEAC直？若能，求出相应的 值；若不能，说明理由t此题（1）让学生自己解决，教师适当点拨题(2)根据情况可留作课后解决，教师点透解题的着眼点图 1O

24、P A xBDCQy（第 24题图）图 2O P A xBCQyE4、反思小结:折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题其中“折”是过程，“叠”是结果 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁初中几何综合复习（讲稿）矩形折叠问题同学们好，今天我和大家一起研究平面图形的折叠问题。首先，在最近几年的中考中题折叠问

25、题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们将对它们分别进行讨论一. 折叠的意义1折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折 180，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过

26、程，“叠”是结果。如图（1）是线段 AB 沿直线 l 折叠后的图形，其中 OB是 OB 在折叠前的位置；图（2）是平行四边形 ABCD 沿着对角线 AC 折叠后的图形，ABC 是ABC 在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形如图（1）中 OB=OB；如图（2），ABCABC；(3) 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 如图（1）OB和 OB 关于直线 l 成轴对称；如图（2）ABC 和ABC 关于直线 AC 成轴对称。二和折叠有关的问题图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的

27、位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。问题 1:将宽度为 a 的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分AEF.（a）AEF 是什么三角形？结论：三角形 AEF 是等腰三角形证明：方法一，图形在折叠前和折叠后是全等的,1= 2,又矩形的对边是平行的1=3,2=3,AE=AF三角形 AEF 是等腰三角形方法二：图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同表示矩形宽度的线段 EP 和 FQ 相等，即 AEF 的边 AE 和 AF 上的高相等，AE=AF三角形 AEF 是等腰三角形(b)改变折叠的角度 的大小

28、，三角形 AEF 的面积是否会改变？为什么?答：不会改变。分析： 的改变影响了 AE 的长度，但却不能改变边 AE 上的高，三角形 AEF 的面积会随着 的确定而确定.例一：在上面的图中，标出点 A在折叠前对应的位置 A,四边形 AEAF 是什么四边形？分析：（1）由前面的分析可知 A与 A在折叠前的位置 A 关于折痕 EF 成轴对称,所以作 A关于 EF 的对称点即可找到点 A（过点 A作 AA EF 交矩形的边于点 A）。同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点 A。（2）四边形 AEAF 是菱形证法一： A 是 A在折叠前对应的位置,A 和 A关于直线 EF 轴对称,AAEF,且

29、AO=AO,又AEAF,EOOF=AOOA, EO=OF四边形 AEAF 是菱形证法二：A 是 A在折叠前对应的位置, AEFAEF,AE=AE,AF=AF，又 AEF 是等腰三角形（已证）,AE=AF,AE=AF=AE=AF,四边形 AEAF 是菱形.例 2.在上题的图中,若翻折的角度 =30,a=2,求图中被覆盖的部分AEF.的面积.。分析：图中被覆盖的部分AEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度 2,所以，本题的解题关键就是要求出腰 AF 或 AE 的长。答：S 四边形 AEAF2SAEF=(8/3)3（解答过程略）练一练：当 的大小分别 45、60时，图中被覆盖的部分AEF.的面

30、积是多少？例题 3. 如图：将矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，再沿 AE 折叠，把 B 点叠在 MN上，（如图中 1 的点 P）,若 AB=3,则折痕 AE 的长为多少？分析：折痕 AE 为直角三角形 ABE 的斜边，故解决本题的关键是求 PE(或 BE)的长。解法一：由折叠的意义可知，APEP,延长 EP 交 AD 于 F, 则 FE=FA(在问题一中已证) M、N分别是矩形的边 AB 和 CD 的中点，MNADBC且 EPPF=BNNA=11,又APE= D=90, AE=AFAE=AF=EF, 1= 2=30,1=30AE=2。 M、N 分别是矩形的边 AB 和 CD 的中点，MNA

31、D BC 且 AN 是 AP 的一半 MNANAE=AF又 FE=FA(问题 1 的结论)AE=AF=EF, 1=2=30,1=30AE=2。由 BCMNDA 且 M、N 分别为 CD 和 AB 的中点可得 EP=PF，EO=AOPO=AF，又 PO=AE，AE=AFAE=AF=EF，EAF=60（其余同上）例题 4.在例 3 中，若 M、N 分别为 CD、AB 的三等分点（如图），AB=5,其他条件不变，折痕AE 的长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN 由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出 EB(或 EP)的长解：延长 EP 交 AD 于 F, 则 F

32、E=FA(已证) M、N 分别是矩形的边 AB 和 CD 的三等分点MNADBC且 EPPF=BNNA=12,设 EP=x, 则 PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形 APF 中有AP+PF=AF5+(2x)=(3x), x=1, AE=1+5=6,AE=6例 4 如图 3,有一张边长为 3 的正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为 MN,再将点 B 折至折痕 MN 上,落在P 点的位置,折痕为 AE.(1)求 MP 的长;(2)求以 PE 为边长的正方形的面积.分析：将本题与例题 2 比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求 PE 和 PN 的长解法一：延长 EP 交

33、 AD 的延长线于 F, 则 FE=FA(已证)M、N 分别是矩形的边 AB 和 CD 的中点， MNAD BC 且 AN 是 AP 的一半MNANAE=AFAE=AF=EF, 1=2=30,1=30PN=(3/2)3，(1)MP=1-PN=3-(3/2)3,又 AP=3,EP=3，(2)以 EP 为边长的正方形的面积为 3。其他解法请同学们思考。例 5.如图，将矩形 ABCD 折叠，使 C 点落在边 AB 上，（如图中的 M 点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD 的面积分析：本题与上一题区别在于点 C 折叠后落在矩形的边 AB 上，由折叠的意义可以知道，ACN 和 AMN 是全等的

34、，所以，求四边形 CNMD 的面积的关键就是求 DCN 或 DMN 的面积，所以本题的解题关键还是求出 NC(或 BN)的长.解:在直角三角形 ADM 中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得 AM=8.BM=10-8=2.设 NC=x,则 MN=x,BN=6-x,在 RtBMN 中，MN2=BN2+BM2x 2=（6-x） 2+4x=10/3S 四边形 CNMD=2SDCN =(10/3)*10=100/3例 6.将长为 8，宽为 6 的矩形 ABCD 折叠，使 B、D 重合，（1）求折痕 EF 的长。（2）求三角形 DEF 的面积分析：由矩形折叠的意义可知，EF 垂直平分 BD（

35、O 为 BD 的中点由 AB/DC 可得 EO:FO=BO:DO=1:1 O 为 EF 的中点，所以可设法先求出 EO 的长，或直接求 EF 的长,进而求三角形 DEF 面积。解（法一）：D、B 关于 EF 成轴对称EF 垂直平分 DB，又 DCCB,DOEDCB在 RtDCB 中，由勾股定理可得 BD=10又 ABDCEO:OF=DO:OBDO=5(1)由DOEDCB 得 DO:DC=DE:BCEO:6=5:8EO=15/4EF=15/2(2)SDEF =(1/2)EFDO=(1/2)(15/2)5=75/4解（法二）：(1)过 C 作 CPEF，交 AB 于 PEFDBCPDB易得CBPD

36、CBCP:BD=CB:DCCP=10*6/28=15/2EF=15/2(2)SDEF =(1/2)EFDO=(1/2)(15/2)5=75/4同学们，图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：1图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示的形状，图中重叠的部分AEF 是等腰三角形；4解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系；5充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方

37、程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。今天的讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好的成绩.中考专题复习折叠问题动手折一折，并思考：（1）用一张矩形的纸，通过折叠，使较短的边 AB 落在较长的边 AD 上，分析重叠部分展开后的形状。（2）将一张正方形纸，通过两次对折，成为一个正方形，再折叠一次，分析折痕所围成的图形。题组一：（1）如图（1），点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上的点，沿着 AE 折叠矩形 ABCD，使 D落在 BC 边上的 F 点处，如果BAF 60 o，则DEA _。（2）如图（2），已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将DCE 沿折

38、痕 DE向上翻折，使 DC 落在对角线 DB 上，则 EBCE_。（3）如图（3），AD 是ABC 的中线，ADC45 o，把ADC 沿 AD 对折，点 C 落在C的位置，若 BC2，则 BC_。图（1） 图（2） 题组二： 图（3）A BCDEAB CDAB CD（4）如图（4），已知矩形 ABCD 中，AD8，AB4。沿着对角线 BD 将矩形 ABCD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于 E。求出未知的线段。（5）如图（5），矩形 ABCD 的长、宽分别为 5 和 3，将顶点 C 折过来，使它落在AB 上的 C点（DE 为折痕），那么阴影部分的面积是_。图（4） 图（5）题组三：

39、 （6）如图（6），P 是以 AB 为直径的半圆上的一点，PA4，AB10，将半圆折叠使弦PA 正好落在 AB 上，则折痕 AC 的长为_。图（6）（7）如图（7），把正三角形 ABC 的外接圆对折，使点 A 落在弧 BC 的中点 A，若BC6，则折痕在ABC 内的部分 DE 的长为_。提高题 ： 图（7）(1)一张宽为 3、长为 4 的矩形纸片 ABCD，先沿对角线 BD 对折，点 C 落在 C的位置，BC交 AD 于 G（如图 8） 。再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD于点 M（如图 9） ，则 ME 的长为_。CAB CDAB CDABC PPAB CD

40、EAB CD AB CDGCG图（9）图（8）(2)如图（10），在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，如图将矩形折叠使 B 点落在 AD 上，设为 B，顶点 C 到 C点，BC交 DF 于 G （1） 求证：AB ECGF；（2）若 ABx，S BEFCy，求 y 关于 x 之间的函数解析式；（3）当 B在何处时， y 的值最小， y 的最小值是多少？图（10）折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直

41、对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。1、（2009 年浙江省绍兴市）如图， 分别为 的 ， 边的中点，将此三DE， ABC角形沿 折叠，使点 落在 边上的点 处若 ，则 等于（ DECABP48EAPD）A B C D428528CAB CDEFBG图（7）（ 第 18题 图 ）MAC B2、（2009 湖北省荆门市）如图，RtABC 中，ACB=90 ，A=50，将其折叠，使点A 落在边 CB 上 A处， 折痕为 CD，则 （ ）DBA40 B30 C20 D103、（

42、2009 年日照市）将三角形纸片（ABC） 按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边AC 上，记为点 B，折痕 为 EF已知 ABAC3，BC 4，若以点B，F，C 为顶点的三角 形与ABC 相似，那么 BF 的长度是 4、（2009 年 衢州）在ABC 中，AB=12，AC =10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则DEF 的周长为A9.5 B10.5 C11 D15.55、（2009 泰安）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB，沿 ABC 的中线 CM 将 CMA 折叠，使点 A 落在点 D 处， 若 CD

43、恰好与 MB 垂直，则 tanA 的值 为 6、(2009 年上海市)在 中， 为边RtAC 903BAM， ，第 2 题图ABDAC上的点，联结 （如图 3 所示）如果将 沿直线 翻折后，点 恰好BCAMABM B落在边 的中点处，那么点 到 的距离是 CA图 3BMC7、(2009 宁夏) 如图：在 中， ， 是 边上的中线，将RtAB 90CDAB沿 边所在的直线折叠，使点 落在点 处，得四边形ADC DE BE求证： 8、（2009 年清远）如图，已知一个三角形纸片 ， 边的长为 8， 边上的高ABCBC为 ， 和 都为锐角， 为 一动点（点 与点 不重合），过点 作6BCM、 M，交

44、 于点 ，在 中，设 的长为 ， 上的高为 MN AN Nxh（1）请你用含 的代数式表示 xh（2）将 沿 折叠，使 落在四边形 所在平面，设点 落在平 A面的点为 ， 与四边形 重叠部分的面积为 ，当 为何值时， 最大，1 Byy最大值为多少？B CNMAE CBA D9、（2009 恩施市）如图，在 中， 的面积为 25，点ABC 901BCA， ， 为 边上的任意一点（ 不与 、 重合），过点 作 ，交 于点DABDDE C设 ，以 为折线将 翻折（使 落在四边形 所在的ExEE B平面内），所得的 与梯形 重叠部分的面积记为 y（1）用 表示 的面积；（2）求出 时 与 的函数关系式

45、；05x y（3）求出 时 与 的函数关系式；1（4）当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？EADB CAB CA提示：相似、二次函数10、（2009 年天津市）已知一个直角三角形纸片 ，其中 如图，将该纸片放OAB9024OAB， ，置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 交于点 ，与边 交于点 CD（）若折叠后使点 与点 重合，求点 的坐标；提示：画出图形，图中性质ACDBCD,BDCBOA,BC=ACxyBO A（）若折叠后点 落在边 上的点为 ，设 ， ，试写出 关于BOABOxCy的函数解析式，并确定 的取值范围；xy提示：画图，COB中由勾股定理得出函数关系式，由 x 取值范围确定 y 范围。xyBO AyO xCNBPMA（）若折叠后点 落在边 上的点为 ，且使 ，求此时点 的坐标 BOABDOB C提示：画图，COBBOAxyBO A11、（2009 年湖南长沙）如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于2yaxbc0ax两点，与 轴相交于点 连结 两点的坐标分别为 、AB、 yCABC、 ， 、 (30)A，且当 和 时二次函数的函数值 相等(03)C， 4x2y（1）求实数 的值；abc， ，（2）若点 同时从 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 边运MN、 BBC、动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 秒时，